Matrizes comutáveis

Nesta página explicamos o que são matrizes comutáveis. Além disso, você poderá ver exemplos para entender bem o conceito e, por fim, encontrará um exercício resolvido passo a passo no qual aprendemos a calcular todas as matrizes que comutam com qualquer matriz.

O que são matrizes comutáveis?

Duas matrizes são comutáveis se o resultado do seu produto não depender da ordem de multiplicação. Em outras palavras, matrizes comutáveis satisfazem a seguinte condição:

$\displaystyle A\cdot B = B \cdot A$

Esta é a definição de matrizes comutáveis, agora vamos ver um exemplo:

Exemplo de matrizes comutáveis

As duas matrizes a seguir de dimensão 2×2 podem ser alternadas entre elas:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 0\\[1.1ex] 1 & -1 \end{pmatrix} \quad B= \begin{pmatrix} 3& 0\\[1.1ex] 1 & 0\end{pmatrix}$

A comutabilidade das duas matrizes poderia ser demonstrada calculando seu produto em ambas as direções:

exemplo de matrizes comutáveis de dimensão 2x2

Como você pode ver, o resultado de ambas as multiplicações é o mesmo, independentemente da ordem em que são multiplicadas. Então as matrizes

$A$

$B$

eles são comutáveis.

Exercício de troca de matriz resolvido

A seguir veremos passo a passo como resolver um exercício de matriz comutável:

Determine todas as matrizes que comutam com a seguinte matriz quadrada:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & 1\\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix}$

Para resolver este problema criaremos uma matriz desconhecida:

$\displaystyle B=\begin{pmatrix} a & b\\[1.1ex] c & d \end{pmatrix}$

Devemos, portanto, encontrar esta matriz desconhecida.

Para fazer isso, aproveitaremos a propriedade que todas as matrizes comutadas satisfazem:

$\displaystyle A\cdot B = B \cdot A$

$\displaystyle \begin{pmatrix}3 & 1\\[1.1ex] 1 & 0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} a & b\\[1.1ex] c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b\\[1.1ex] c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 1\\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix}$

Agora multiplicamos as matrizes em ambos os lados da equação:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 3a+c &3b+d\\[1.1ex] a & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3a+b & a\\[1.1ex] 3c+d & c \end{pmatrix}$

Portanto, para que a igualdade seja válida, as seguintes equações devem ser atendidas:

$\left.\begin{array}{l} 3a+c=3a+b \\[2ex] 3b+d=a \\[2ex] a=3c+d\\[2ex] b= c \end{array}\right\}$

Então tudo o que precisamos fazer é resolver o sistema de equações. Da última equação podemos deduzir que

$b$

deve ser igual a

$c$

$b=c$

E se estas duas incógnitas forem equivalentes, a terceira equação se repete com a segunda, podemos portanto eliminá-la:

$\left.\begin{array}{l} 3a+c=3a+b \\[2ex] 3b+d=a \\[2ex] \cancel{a=3c+d}\\[2ex] b= c \end{array}\right\}$

Além disso, da primeira equação não podemos tirar quaisquer conclusões, porque:

$3a+c=3a+b \ \xrightarrow{b \ = \ c} \ 3a+b=3a+b$

$3a=3a$

$a=a$

Portanto, ficamos apenas com a segunda e última equação:

$\left.\begin{array}{l} 3b+d=a \\[2ex] b= c \end{array}\right\}$

Para que as matrizes comutando com a matriz

$A$

são todos aqueles que verificam as duas equações anteriores. Portanto, substituindo as expressões encontradas na matriz desconhecida desde o início, podemos encontrar a forma das matrizes que comutam com

$A:$

$\displaystyle \begin{pmatrix} a & b\\[1.1ex] c & d \end{pmatrix} \ \longrightarrow \ \begin{pmatrix} 3b+d & b \\[1.1ex] b & d \end{pmatrix}$

Ouro

$b$

$d$

são dois números reais.

Então, um exemplo de uma matriz que comutaria com a matriz

$A$

seria o seguinte:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 6 & 1 \\[1.1ex] 1 & 3 \end{pmatrix}$

Propriedades de matrizes comutáveis

Matrizes comutáveis possuem as seguintes características:

Matrizes comutáveis não possuem a propriedade transitiva . Em outras palavras, mesmo que a matriz
$A$

comutar com matrizes

$B$

E

$C$

, isso não significa que

$B$

E

$C$

são comutáveis entre eles.

Matrizes diagonais comutam entre si, ou seja, uma matriz diagonal comuta com qualquer outra matriz diagonal.

Da mesma forma, uma matriz escalar comuta igualmente com todas as matrizes. Por exemplo, a matriz Identidade ou Unidade comuta com todas as matrizes.

Duas matrizes Hermitianas comutam se seus autovetores (ou autovetores) coincidirem.

Obviamente, a matriz zero também comuta com todas as matrizes.

Se o produto de duas matrizes simétricas dá outra matriz simétrica, então as duas matrizes devem comutar.

Se a diagonalização de duas matrizes puder ser feita simultaneamente, elas deverão ser comutáveis. Portanto, essas duas matrizes também compartilham a mesma base ortonormal de autovetores ou autovetores.

O que são matrizes comutáveis?

Exemplo de matrizes comutáveis

Exercício de troca de matriz resolvido

Propriedades de matrizes comutáveis

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