Transpor matriz (ou transpor)

Nesta página veremos como calcular a matriz de transposição (ou transposição) . Você também verá exercícios resolvidos para não ter dúvidas de como transpor uma matriz.

Como calcular a matriz transposta (ou transposição)?

A matriz transposta , também chamada de matriz transposta, é a matriz obtida pela transformação de linhas em colunas . A matriz transposta é representada colocando um “t” no canto superior direito da matriz (A ^t ).

Por exemplo , vamos transpor a seguinte matriz:

$\displaystyle A= \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\[1.1ex] 4 & 5 & 0 \end{pmatrix}$

Para transpor a matriz A, basta trocar as linhas pelas colunas . Em outras palavras, a primeira linha da matriz torna-se a primeira coluna da matriz e a segunda linha da matriz torna-se a segunda coluna da matriz:

$\displaystyle A^t= \begin{pmatrix} 2 & 4 \\[1.1ex] 3 & 5 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix}$

Aqui estão vários exemplos práticos de como encontrar a matriz transposta:

Exemplos de matrizes transpostas

Exemplo 1

$\displaystyle B= \begin{pmatrix} 1 & 5\\[1.1ex] 7 & 2 \end{pmatrix}$

veja solução

$\displaystyle B^t= \begin{pmatrix} 1 & 7\\[1.1ex] 5 & 2 \end{pmatrix}$

Exemplo 2

$\displaystyle C= \begin{pmatrix} -1 & 4 & 3 \\[1.1ex] 5 & 3 & 2 \\[1.1ex] 6 & 0 & 9 \end{pmatrix}$

veja solução

$\displaystyle C^t= \begin{pmatrix} -1 & 5 & 6 \\[1.1ex] 4 & 3 & 0 \\[1.1ex] 3 & 2 & 9 \end{pmatrix}$

Exemplo 3

$\displaystyle D= \begin{pmatrix} 2 & 6 & -1 \end{pmatrix}$

veja solução

$\displaystyle D^t= \begin{pmatrix}2 \\[1.1ex] 6 \\[1.1ex] -1 \end{pmatrix}$

Exemplo 4

$\displaystyle E= \begin{pmatrix} 9 & 0 \\[1.1ex] 2 & -1 \\[1.1ex] 5 & 3 \end{pmatrix}$

veja solução

$\displaystyle E^t= \begin{pmatrix} 9 & 2 & 5 \\[1.1ex] 0 & -1 & 3 \end{pmatrix}$

Um dos usos da transposição de matrizes é calcular a matriz inversa com a fórmula matricial anexada ou por determinantes . Embora para utilizar este método você também precise saber resolver determinantes, na página vinculada você encontrará uma explicação de todo o procedimento e também poderá ver exemplos e exercícios resolvidos passo a passo.

Propriedades da matriz transposta

A matriz transposta possui as seguintes características:

Propriedade involucional: A transposta de uma matriz transposta é igual à matriz original.

$\left(A^t\right)^t = A$

Propriedade distributiva: adicionar duas matrizes e depois transpor o resultado equivale primeiro a transpor cada matriz e depois adicioná-las:

$\left(A+B\right)^t = A^t+B^t$

Propriedade linear (produto de matrizes): Multiplicar duas matrizes e depois transpor o resultado é equivalente a primeiro transpor cada matriz e depois multiplicá-las, mas alternando sua ordem de multiplicação:

$\left(A\cdot B\right)^t = B^t\cdot A^t$

Propriedade linear (constante): Transpor o resultado do produto de uma matriz por uma constante equivale a multiplicar a matriz já transposta pela constante.

$\left(c\cdot A\right)^t = c\cdot A^t$

Matriz simétrica: Se a transposta de uma matriz for igual à matriz sem transposta, dizemos que é uma matriz simétrica:

$\left.\begin{pmatrix} 7 & 1 & 3 \\[1.1ex] 1 & 4 & 2 \\[1.1ex] 3 & 2 & 5 \end{pmatrix} \right.^t = \begin{pmatrix} 7 & 1 & 3 \\[1.1ex] 1 & 4 & 2 \\[1.1ex] 3 & 2 & 5 \end{pmatrix}$

Propriedade antissimétrica: Se ao transpor uma matriz matemática obtemos a mesma matriz mas com todos os elementos alterados de sinal, é uma matriz antissimétrica:

$\left.\begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 \\[1.1ex] -2 & 0 & 6 \\[1.1ex] -4 & -6 & 0 \end{pmatrix}\right.^t = \begin{pmatrix} 0 & -2 & -4 \\[1.1ex] 2 & 0 & -6 \\[1.1ex] 4 & 6 & 0 \end{pmatrix}$

Como calcular a matriz transposta (ou transposição)?

Exemplos de matrizes transpostas

Exemplo 1

Exemplo 2

Exemplo 3

Exemplo 4

Propriedades da matriz transposta

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