Menor, assistente e auxiliar matricial complementar

Nesta seção veremos o que são e como calcular uma matriz complementar menor, uma adjunta e a matriz adjunta . Além disso, você encontrará exemplos, para que você entenda perfeitamente, e exercícios resolvidos passo a passo, para que você possa praticar.

Qual é o menor complementar?

É chamado de complemento menor de um elemento.

a_{ij}

ao determinante obtido excluindo a linha

i

e a coluna

j

de uma matriz.

Como calcular o complementar menor de um elemento?

Vamos ver como o menor complementar de um elemento é calculado usando alguns exemplos:

Exemplo 1:

Calcule o complemento menor de 1 da seguinte matriz quadrada 3 × 3:

\displaystyle A = \left( \begin{array}{ccc} 6 & 1 & 7 \\[1.1ex] 3 & 2 & 0 \\[1.1ex] 5 & 8 & 4 \end{array} \right)

O complementar menor de 1 é o determinante da matriz que permanece ao eliminar a linha e coluna onde está localizado o 1. Ou seja, removendo a primeira linha e a segunda coluna:

\left( \begin{tabular}{ccc} \cellcolor[HTML]{F5B7B1}6 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}1 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}7 \\ & \cellcolor[HTML]{F5B7B1} & \\[-2ex] 3 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}2 & 0 \\ & \cellcolor[HTML]{F5B7B1} & \\[-2ex] 5 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}8 & 4 \end{tabular} \right)

\text{Menor complementario de 1} = \begin{vmatrix} 3 & 0 \\[1.1ex] 5 & 4 \end{vmatrix} = \bm{12}

Exemplo 2:

Desta vez calcularemos o complementar menor de 0 da mesma matriz de antes:

\displaystyle A = \left( \begin{array}{ccc} 6 & 1 & 7 \\[1.1ex] 3 & 2 & 0 \\[1.1ex] 5 & 8 & 4 \end{array} \right)

O complementar menor de 0 é o determinante da matriz removendo a linha e a coluna onde o 0 está:

\left( \begin{tabular}{ccc} 6 & 1 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}7 \\ & & \cellcolor[HTML]{F5B7B1} \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{F5B7B1} 3 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}2 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}0 \\ & &\cellcolor[HTML]{F5B7B1} \\[-2ex] 5 & 8 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}4 \end{tabular} \right)

\text{Menor complementario de 0} = \begin{vmatrix} 6 & 1 \\[1.1ex] 5 & 8 \end{vmatrix} = \bm{43}

Exercícios resolvidos para menores complementares

Exercício 1

Calcule o menor complemento de 3 da seguinte matriz 3×3:

\displaystyle \begin{pmatrix} 5 & 1 & 2 \\[1.1ex] 3 & 4 & 7 \\[1.1ex] -1 & 6 & 7 \end{pmatrix}

O complementar menor de 3 é o determinante da matriz que permanece após a remoção da linha e coluna onde está o 3:

\text{Menor complementario de 3} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\[1.1ex] 6 & 7 \end{vmatrix} = \bm{-5}

Exercício 2

Encontre o complementar menor de 5 da seguinte matriz de ordem 3:

\displaystyle \begin{pmatrix} -2 & 4 & -2 \\[1.1ex] 1 & 3 & 4 \\[1.1ex] 5 & 8 & 1 \end{pmatrix}

O complementar menor de 5 é o determinante da matriz que obtemos excluindo a linha e a coluna onde está o 5:

\text{Menor complementario de 5} = \begin{vmatrix} 4 & -2 \\[1.1ex] 3 & 4 \end{vmatrix} = \bm{22}

Exercício 3

Calcule o complemento menor de 6 da seguinte matriz 4×4:

\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & 4 \\[1.1ex] 2 & 6 & -1 & 8 \\[1.1ex] 3 & 9 & -1 & 4 \\[1.1ex] 5 & 4 & 1 & 3 \end{pmatrix}

O complementar menor de 6 é o determinante da matriz que permanece após a remoção da linha e coluna onde está o 6:

\text{Menor complementario de 6} = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\[1.1ex] 3 & -1 & 4 \\[1.1ex] 5& 1 & 3 \end{vmatrix}

Resolvemos o determinante com a regra de Sarrus:

\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\[1.1ex] 3 & -1 & 4 \\[1.1ex] 5 & 1 & 3 \end{vmatrix}=-3+60+12+20-4-27 = \bm{58}

Qual é o adjunto de um elemento de array?

O deputado de

a_{ij}

, ou seja, item de linha

i

e a coluna

j

, é obtido com a seguinte fórmula:

\text{Adjunto de } a_{ij} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } a_{ij}

Como obter o adjunto de um elemento do array?

Vamos ver como o adjunto de um elemento é calculado através de vários exemplos:

Exemplo 1:

Calcule o adjunto de 4 da seguinte matriz de ordem 3:

\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 4 & 5 & 6 \\[1.1ex] 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}

\text{Adjunto de } 4 = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } 4

O 4 está na linha 2 e na coluna 1 , então neste caso

i = 2

E

j = 1 :

\text{Adjunto de } 4 = \displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } 4

E, como vimos anteriormente, o complemento menor de 4 é o determinante da matriz, eliminando a linha e a coluna onde está localizado o 4. Portanto:

\text{Adjunto de} 4 = \displaystyle(-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] 8 & 9 \end{vmatrix}

Agora resolvemos o determinante e encontramos o adjunto de 4:

\text{Adjunto de } 4 = (-1)^{3} \bm{\cdot} (-5) = -1 \cdot (-6) = \bm{6}

Lembre-se de que um número negativo elevado a um expoente par é positivo. Portanto, se o -1 for elevado a um número par, ele se tornará positivo.

\bm{\longrightarrow}(-1)^2=\bm{+1}

Por outro lado, se um número negativo for elevado a um expoente ímpar, ele será negativo. Portanto, se o -1 for elevado a um número ímpar, será sempre negativo.

\bm{\longrightarrow}(-1)^3=\bm{-1}

Exemplo 2:

Encontraremos o deputado de 5 da mesma matriz anterior:

\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 4 & 5 & 6 \\[1.1ex] 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}

\text{Adjunto de } 5 = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } 5

\text{Adjunto de} 5 = \displaystyle(-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 7 & 9 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-12) = \bm{-12}

Exemplo 3:

Vamos fazer o deputado de 3 da mesma matriz:

\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 4 & 5 & 6 \\[1.1ex] 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}

\text{Adjunto de } 3 = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } 3

\text{Adjunto de} 3 \displaystyle = (-1)^{1+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 & 5 \\[1.1ex] 7 & 8 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-3) = \bm{-3}

O adjunto de um elemento é utilizado para calcular determinantes, como veremos mais adiante, e para calcular a matriz adjunta, que é o que veremos agora.

Exercícios resolvidos para assistentes

Exercício 1

Calcule o adjunto de 2 da seguinte matriz 3×3:

\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\[1.1ex] -1 & -3 & 5 \\[1.1ex] 5 & 3 & 1 \end{pmatrix}

Para obter o resultado do adjunto de 2, basta aplicar a fórmula do adjunto de um elemento:

\text{Adjunto de 2} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de 2}

\text{Adjunto de 2} \displaystyle = (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -3 & 5 \\[1.1ex] 3 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-18) = \bm{-18}

Exercício 2

Encontre o adjunto de 4 da seguinte matriz de ordem 3:

\displaystyle \begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 \\[1.1ex] 2 & 9 & 4 \\[1.1ex] 6 & 5 & -3 \end{pmatrix}

Para obter o deputado de 4, devemos utilizar a fórmula do deputado de um elemento:

\text{Adjunto de 4} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de 4}

\text{Adjunto de 4} \displaystyle = (-1)^{2+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 & 1 \\[1.1ex] 6 & 5 \end{vmatrix} = -1 \cdot 9 = \bm{-9}

Exercício 3

Encontre o deputado de 7 da seguinte matriz 4×4:

\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 & -2 \\[1.1ex] 3 & 1 & -3 & 3 \\[1.1ex] 2 & -1 & 4 & 0 \\[1.1ex] 2 & 7 & 9 & -4 \end{pmatrix}

Para fazer o adjunto de 7 aplicamos a fórmula do adjunto de um elemento:

\text{Adjunto de 7}=(-1)^{4+2} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de 7}

\text{Adjunto de 7} \displaystyle = (-1)^{4+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 5 & -2 \\[1.1ex] 3 & -3 & 3 \\[1.1ex] 2 & 4 & 0\end{vmatrix}

Aplicamos a regra de Sarrus para resolver o determinante de terceira ordem:

\displaystyle = (-1)^{6} \bm{\cdot} \bigl[0+30-24-12-12-0\bigr]

\displaystyle = 1 \bm{\cdot} \bigl[-18 \bigr] = \bm{-18}

Qual é a matriz anexa?

A matriz anexada é uma matriz na qual todos os seus elementos foram substituídos por seus substitutos.

Como calcular a matriz adjunta?

Para calcular a matriz de deputados , precisamos substituir todos os elementos da matriz pelos seus deputados.

Vamos ver como é feita a matriz unida através de um exemplo:

Exemplo:

Calcule a matriz adjunta da seguinte matriz quadrada de dimensão 2×2:

\displaystyle A = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\[1.1ex] 3 & 2 \end{pmatrix}

Para calcular a matriz adjunta, devemos calcular o adjunto de cada elemento da matriz . Portanto, primeiro resolveremos as conjunções de todos os elementos com a fórmula:

\text{Adjunto de } a_{ij} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } a_{ij}

\text{Adjunto de } 4 =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 = \bm{2}

\text{Adjunto de -1} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot 3 = \bm{-3}

\text{Adjunto de } 3 =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -1 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-1) = \bm{1}

\text{Adjunto de } 2 =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 = \bm{4}

Agora só precisamos substituir cada elemento do array

A

pelo seu substituto para encontrar a matriz suplente de

\bm{A} :

\text{Adj} (A) = \begin{pmatrix} \bm{2} & \bm{-3} \\[1.1ex] \bm{1} & \bm{4} \end{pmatrix}

E assim se encontra o deputado de uma matriz. Mas você provavelmente está se perguntando para que servem todos esses cálculos? Bem, uma das utilidades da junção de matrizes é calcular o inverso de uma matriz . Na verdade, o método mais comum para encontrar a matriz inversa é o método da matriz adjunta.

Problemas de matriz adjunta resolvidos

Exercício 1

Calcule a matriz adjunta da seguinte matriz quadrada 2×2:

\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] -4 & 1 \end{pmatrix}

Para calcular a matriz adjunta, devemos calcular o adjunto de cada elemento da matriz. Portanto, primeiro resolveremos as conjunções de todos os elementos com a fórmula:

\text{Adjunto de 2} =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 = \bm{1}

\text{Adjunto de 3} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -4 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-4) = \bm{4}

\text{Adjunto de -4} =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot 3 = \bm{-3}

\text{Adjunto de 1} =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 = \bm{2}

Agora só precisamos substituir cada elemento do array

A

pelo seu substituto para encontrar a matriz suplente de

A :

\text{Adj} (A) = \begin{pmatrix} \bm{1} & \bm{4} \\[1.1ex] \bm{-3} & \bm{2} \end{pmatrix}

Exercício 2

Encontre a matriz adjunta da seguinte matriz de segunda ordem:

\displaystyle \begin{pmatrix} 6 & -2 \\[1.1ex] 3 & -7 \end{pmatrix}

Para calcular a matriz adjunta, devemos calcular o adjunto de cada elemento da matriz. Portanto, primeiro resolveremos as conjunções de todos os elementos com a fórmula:

\text{Adjunto de 6} =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -7 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-7) = \bm{-7}

\text{Adjunto de -2} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot 3 = \bm{-3}

\text{Adjunto de 3} =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -2 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-2) = \bm{2}

\text{Adjunto de -7} =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 6 \end{vmatrix} = 1 \cdot 6 = \bm{6}

Agora só precisamos substituir cada elemento do array

A

pelo seu substituto para encontrar a matriz suplente de

A :

\text{Adj} (A) = \begin{pmatrix} \bm{-7} & \bm{-3} \\[1.1ex] \bm{2} & \bm{6} \end{pmatrix}

Exercício 3

Calcule a matriz adjunta da seguinte matriz 3×3:

\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 0 \\[1.1ex] 5 & 0 & -2 \end{pmatrix}

Para calcular a matriz adjunta, devemos calcular o adjunto de cada elemento da matriz. Portanto, primeiro resolveremos as conjunções de todos os elementos com a fórmula:

\text{Adjunto de 1} = \displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 & 0 \\[1.1ex] 0 & -2\end{vmatrix} = 1 \cdot (-8) = \bm{-8}

\text{Adjunto de 3} = \displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2 & 0 \\[1.1ex] 5 & -2\end{vmatrix} = -1 \cdot (-4) = \bm{4}

\text{Adjunto de -1} = \displaystyle (-1)^{1+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2 & 4 \\[1.1ex] 5 & 0\end{vmatrix} = 1 \cdot (-20) = \bm{-20}

\text{Adjunto de 2} = \displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 & -1 \\[1.1ex] 0 & -2\end{vmatrix} = -1 \cdot (-6) = \bm{6}

\text{Adjunto de 4} = \displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\[1.1ex] 5 & -2\end{vmatrix} = 1 \cdot 3 = \bm{3}

\text{Adjunto de 0} = \displaystyle (-1)^{2+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 5 & 0 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-15) = \bm{15}

\text{Adjunto de 5} = \displaystyle (-1)^{3+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 & -1 \\[1.1ex] 4 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 = \bm{4}

\text{Adjunto de 0} = \displaystyle (-1)^{3+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\[1.1ex] 2 & 0\end{vmatrix} = -1 \cdot 2 = \bm{-2}

\text{Adjunto de -2} = \displaystyle (-1)^{3+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 2 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-2) = \bm{-2}

Agora só precisamos substituir cada elemento do array

A

pelo seu substituto para encontrar a matriz suplente de

A :

\text{Adj} (A) = \begin{pmatrix} \bm{-8} & \bm{4} & \bm{-20} \\[1.1ex] \bm{6} & \bm{3} & \bm{15} \\[1.1ex] \bm{4} & \bm{-2} & \bm{-2} \end{pmatrix}

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