Equações planas no espaço

Nesta página você encontrará as fórmulas para todas as equações do plano e como elas são calculadas. Você também descobrirá como encontrar a equação de qualquer plano com seu vetor normal. Além disso, você poderá ver exemplos e praticar com exercícios resolvidos das equações do plano.

Qual é a equação do plano?

Na geometria analítica, a equação de um plano é uma equação que permite que qualquer plano seja expresso matematicamente. Então, para encontrar a equação de um plano, você só precisa de um ponto e dois vetores linearmente independentes pertencentes a esse plano.

Antes de continuar com a explicação das equações planas, é fundamental que você entenda o que é plano (geometria) , pois caso contrário haverá coisas que você não entenderá. Caso não tenha ficado totalmente claro, você pode conferir neste link, onde concentramos tudo o que você precisa saber sobre o plano.

Quais são as equações do plano?

Como vimos na definição da equação de um plano, qualquer ponto de um plano pode ser expresso como uma combinação linear de 1 ponto e 2 vetores.

Porém, uma condição necessária para que a equação corresponda a um plano é que os dois vetores do plano tenham independência linear, ou seja, os dois vetores não podem ser paralelos entre si.

Assim, todos os tipos de equações do plano são: a equação vetorial , as equações paramétricas , a equação implícita (ou geral) e a equação canônica (ou segmental) do plano.

A seguir veremos detalhadamente a explicação e fórmula de todas as equações do plano.

Equação vetorial do plano

Considere um ponto e dois vetores de direção de um plano:

$\begin{array}{c} P(P_x,P_y,P_z) \\[2ex] \vv{\text{u}}=(\text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z)\\[2ex] \vv{\text{v}}=(\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z)\end{array}$

A fórmula para a equação vetorial de um plano é:

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} (x,y,z)=P+\lambda \vv{\text{u}} + \mu \vv{\text{v}} \end{empheq}$

Ou equivalente:

$(x,y,z)=(P_x,P_y,P_z)+\lambda (\text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z) + \mu (\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z)$

Ouro

$\lambda$

$\mu$

são dois escalares, ou seja, dois números reais.

Equações paramétricas do plano

A equação paramétrica de um plano pode ser determinada a partir de sua equação vetorial. Abaixo você pode ver a demonstração.

Seja a equação vetorial de qualquer plano:

$(x,y,z)=(P_x,P_y,P_z)+\lambda (\text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z) + \mu (\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z)$

Operamos e primeiro realizamos os produtos dos vetores pelos escalares:

$(x,y,z)=(P_x,P_y,P_z)+ (\lambda\text{u}_x,\lambda\text{u}_y,\lambda\text{u}_z) +(\mu\text{v}_x,\mu\text{v}_y,\mu\text{v}_z)$

A seguir, adicionamos os componentes:

$(x,y,z)=(P_x+\lambda \text{u}_x + \mu \text{v}_x,P_y+\lambda \text{u}_y + \mu \text{v}_y,P_z+\lambda \text{u}_z + \mu \text{v}_z)$

E, por fim, obtemos as equações paramétricas do plano assimilando as coordenadas correspondentes a cada variável separadamente:

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \displaystyle \begin{cases}x=P_x + \lambda \text{u}_x + \mu \text{v}_x \\[1.7ex] y=P_y + \lambda \text{u}_y + \mu \text{v}_y\\[1.7ex] z=P_z + \lambda\text{u}_z + \mu \text{v}_z \end{cases} \end{empheq}$

Ouro:

$\lambda$

E

$\mu$

são dois escalares, ou seja, dois números reais.
$\text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z$

são os componentes de um dos dois vetores norteadores do plano

$\vv{\text{u}}=(\text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z).$
$\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z$

são os componentes do outro vetor diretor do plano

$\vv{\text{v}}=(\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z).$

Equação implícita ou geral do plano

Considere um ponto e dois vetores de direção de um plano:

$\begin{array}{c} P(P_x,P_y,P_z) \\[2ex] \vv{\text{u}}=(\text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z)\\[2ex] \vv{\text{v}}=(\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z)\end{array}$

A equação implícita, geral ou cartesiana de um plano é obtida resolvendo o seguinte determinante e igualando o resultado a 0:

$\displaystyle \begin{vmatrix}\text{u}_x & \text{v}_x & x-P_x \\[1.1ex]\text{u}_y & \text{v}_y & y-P_y \\[1.1ex]\text{u}_z & \text{v}_z & z-P_z \end{vmatrix} = 0$

Assim, a equação implícita ou geral do plano resultante será a seguinte:

Este tipo de equação plana também é chamada de equação plana cartesiana.

Equação canônica ou segmentar do plano

A fórmula para a equação canônica ou segmentar de um plano é a seguinte:

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \displaystyle \cfrac{x}{a}+\cfrac{y}{b} + \cfrac{z}{c} = 1 \end{empheq}$

Ouro:

$a$

é o ponto de intersecção entre o plano e o eixo X.
$b$

é o ponto de intersecção entre o plano e o eixo Y.
$c$

É aqui que o plano cruza o eixo Z.

A equação canônica (ou equação segmental) do plano também pode ser obtida a partir de sua equação geral:

$Ax+By+Cz+D=0$

Primeiro, resolvemos o coeficiente D da equação:

$Ax+By+Cz=-D$

Em seguida, dividimos toda a equação do plano pelo valor do parâmetro D com sinal alterado:

$\cfrac{Ax+By+Cz}{-D}=\cfrac{-D}{-D}$

$\cfrac{Ax}{-D}+\cfrac{By}{-D}+\cfrac{Cz}{-D}=1$

E, utilizando as propriedades das frações, chegamos à seguinte expressão:

$\cfrac{x}{-\frac{D}{A}}+\cfrac{y}{-\frac{D}{A}}+\cfrac{z}{-\frac{D}{A}}=1$

Deduzimos, portanto, desta expressão as fórmulas que permitem calcular diretamente os termos da equação canônica ou segmentar de um plano:

$a=-\cfrac{D}{A} \qquad b=-\cfrac{D}{B} \qquad c=-\cfrac{D}{C}$

conseqüentemente, para poder formar esta variante das equações do plano, os coeficientes A, B e C devem ser diferentes de zero, evitando assim indeterminações das frações.

Como calcular a equação de um plano a partir de seu vetor normal

Um problema muito típico nas equações de um plano é descobrir como é a equação de um determinado plano, dado um ponto e seu vetor normal (ou perpendicular). Então, vamos ver como funciona.

Mas primeiro você deve saber que as componentes X, Y, Z do vetor normal a um plano coincidem respectivamente com os coeficientes A, B, C da equação implícita (ou geral) do referido plano.

$\displaystyle \color{orange} \boxed{ \color{black} \quad \pi : \ Ax+By+C+D = 0 \quad \iff \quad \vv{n} = (A,B,C) \quad \vphantom{\Bigl(}}$

Ouro

$\vv{n}$

é o vetor ortogonal ao plano

$\pi.$

Uma vez conhecida a relação anterior, vamos ver um exemplo de resolução deste tipo de problemas de equações planas:

Determine a equação implícita ou geral do plano que passa pelo ponto
$P(1,0,-2)$

e um de seus vetores normais é

$\vv{n}=(3,-1,2) .$

A fórmula para a equação implícita, geral ou cartesiana de um plano é:

$Ax+By+Cz+D=0$

Assim, a partir do vetor normal, podemos encontrar os coeficientes A, B e C porque são equivalentes às componentes do seu vetor normal:

$\vv{n}=(3,-1,2) \ \longrightarrow \ 3x-1y+2z+D=0$

Embora precisemos apenas encontrar o parâmetro D. Para isso, substituímos as coordenadas do ponto que pertence ao plano na equação:

$P(1,0,-2)$

$3\cdot 1-0+2\cdot (-2)+D=0$

$3-4+D=0$

$-1+D=0$

$D=1$

Portanto, a equação implícita ou geral do plano é:

$\bm{3x-y+2z+1 = 0}$

Problemas resolvidos de equações planas

Exercício 1

Determine a equação vetorial do plano que contém o vetor

$\vv{\text{u}}=(0,-2,3)$

e passa pelos dois pontos a seguir:

$A(1,3,-1)$

$B(2,-1,5).$

veja solução

Para saber a equação de um plano são necessários um ponto e dois vetores e neste caso só temos um vetor, devemos portanto encontrar outro vetor diretor do plano. Para fazer isso, podemos calcular o vetor que define os dois pontos do plano:

$\vv{AB} = B - A = (2,-1,5) - (1,3,-1) = (1,-4,6)$

Agora que já conhecemos dois vetores direções do plano e um ponto, usamos, portanto, a fórmula para a equação vetorial do plano:

$(x,y,z)=P+\lambda \vv{\text{u}} + \mu \vv{\text{v}}$

E substituímos os dois vetores e um dos dois pontos do plano na equação:

$\bm{(x,y,z)=(1,3,-1)+\lambda (0,-2,3) + \mu (1,-4,6)}$

Exercício 2

Encontre as equações paramétricas do plano que contém os três pontos a seguir:

$A(4,1,0) \qquad B(2,-3,-1) \qquad C(1,5,3)$

veja solução

Para encontrar as equações paramétricas do plano, precisamos encontrar dois vetores linearmente independentes que se ligam no plano. E, para isso, podemos calcular dois vetores que são definidos pelos 3 pontos:

$\vv{AB} = B - A = (2,-3,-1) - (4,1,0) = (-2,-4,-1)$

$\vv{AC} = C - A = (1,5,3) - (4,1,0) = (-3,4,3)$

As coordenadas dos dois vetores encontrados não são proporcionais, portanto são linearmente independentes um do outro.

Agora que já conhecemos dois vetores de direção e um ponto no plano, aplicamos a fórmula da equação paramétrica do plano:

$\displaystyle \begin{cases}x=P_x + \lambda \text{u}_x + \mu \text{v}_x \\[1.7ex] y=P_y + \lambda \text{u}_y + \mu \text{v}_y \\[1.7ex] z=P_z + \lambda\text{u}_z + \mu \text{v}_z \end{cases}$

E substituímos os dois vetores e um dos três pontos do plano na equação:

$\displaystyle \begin{cases}x=4 + \lambda \cdot (-2)+ \mu \cdot (-3) \\[1.7ex] y=1 + \lambda \cdot (-4) + \mu \cdot 4 \\[1.7ex] z=0 + \lambda\cdot (-1) + \mu \cdot 3 \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases}\bm{x=4 -2 \lambda-3\mu } \\[1.7ex] \bm{y=1-4 \lambda+4 \mu } \\[1.7ex] \bm{z=-\lambda + 3\mu } \end{cases}$

Exercício 3

Encontre a equação implícita ou geral do plano que passa pelo ponto

$P(-2,1,3)$

e contém os vetores

$\vv{\text{u}}=(4,1,3)$

$\vv{\text{v}}=(5,3,-1).$

veja solução

Para calcular a equação geral ou implícita do plano é necessário resolver o seguinte determinante formado pelos dois vetores, pelas três variáveis e pelas coordenadas do ponto:

$\displaystyle\begin{vmatrix}\text{u}_x & \text{v}_x & x-P_x \\[1.1ex]\text{u}_y & \text{v}_y & y-P_y \\[1.1ex]\text{u}_z & \text{v}_z & z-P_z \end{vmatrix} =0$

Então, substituímos os vetores e o ponto na fórmula:

$\displaystyle\begin{vmatrix}4 & 5 & x+2 \\[1.1ex]1 & 3 & y-1 \\[1.1ex]3& 1 & z+1 \end{vmatrix} =0$

E agora resolvemos o determinante da matriz 3×3 com o método de sua escolha:

$12(z+1)+15(y-1)+1(x+2)-9(x+2)-4(y-1)-5(z+1) = 0$

Por fim, realizamos as operações e agrupamos termos semelhantes:

$-8(x+2)+11(y-1)+7(z+1) = 0$

$-8x-16+11y-11+7z+7=0$

$-8x+11y+7z-20= 0$

Portanto, a equação implícita ou geral do plano é:

$\bm{-8x+11y+7z-20 = 0}$

Exercício 4

Determine se o ponto

$P(-1,5,-3)$

pertence ao seguinte plano:

$\pi : \ 2x+y+6z-5=0$

veja solução

Para que o ponto esteja no plano, sua equação deve ser verificada. Portanto, precisamos substituir as coordenadas cartesianas do ponto na equação do plano e verificar se a equação é cumprida:

$2x+y+6z-5=0$

$P(-1,5,-3)$

$2\cdot (-1)+5+6\cdot (-3)-5=0$

$-2+5-18-5=0$

$-20\neq 0$

O ponto não respeita a equação do plano, portanto não faz parte deste plano.

Exercício 5

Encontre a equação segmental do plano cuja equação geral (ou implícita) é:

$3x-2y-6z+6=0$

veja solução

Primeiro, excluímos o termo independente da equação:

$3x-2y-6z=-6$

Em seguida, dividimos toda a equação do plano pelo valor do coeficiente D com sinal alterado:

$\cfrac{3x-2y-6z}{-6}=\cfrac{-6}{-6}$

$\cfrac{3x}{-6}+\cfrac{-2y}{-6}+\cfrac{-6z}{-6}=1$

E, utilizando as propriedades das frações, chegamos à seguinte expressão:

$\cfrac{x}{\frac{-6}{3}}+\cfrac{y}{\frac{-6}{-2}}+\cfrac{z}{\frac{-6}{-6}}=1$

Portanto, a equação segmentar (ou canônica) do plano é:

$\cfrac{\bm{x}}{\bm{-2}}+\cfrac{\bm{y}}{\bm{3}}+\cfrac{\bm{z}}{\bm{1}}=1$

Exercício 6

Calcula a equação implícita ou geral do plano no espaço que passa pelo ponto

$P(3,4,-3)$

e um de seus vetores normais é

$\vv{n}=(5,-2,-3) .$

veja solução

A fórmula para a equação implícita, geral ou cartesiana de um plano é:

$Ax+By+Cz+D=0$

Bom, a partir do vetor normal podemos encontrar os coeficientes A, B e C, pois são respectivamente iguais às componentes do vetor normal:

$\vv{n}=(5,-2,-3) \ \longrightarrow \ 5x-2y-3z+D=0$

Portanto, só precisamos encontrar o parâmetro D. Para isso, substituímos as coordenadas do ponto que pertence ao plano na equação:

$P(3,4,-3)$

$5\cdot 3-2\cdot 4-3\cdot (-3)+D=0$

$15-8+9+D=0$

$16+D=0$

$D=-16$

Concluindo, a equação implícita ou geral do plano é:

$\bm{5x-2y-3z-16 = 0}$

Exercício 7

Encontre as equações paramétricas do plano que contém a reta

$r$

e é paralelo à direita

$s.$

sendo as linhas:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} x=1+t \\[1.7ex] y=2-3t\\[1.7ex] z=4+2t \end{cases} \qquad \qquad s: \ \frac{x-4}{2} = \frac{y+3}{2}= \frac{z-2}{-3}$

veja solução

Para encontrar as equações paramétricas do plano, precisamos conhecer dois vetores diretores e um ponto no plano. A declaração nos diz que contém a linha

$r$

Portanto, podemos pegar o vetor direção e um ponto nesta reta para definir o plano. Além disso, a afirmação nos diz que o plano é paralelo à linha

$s,$

então também podemos usar o vetor diretor desta reta para a equação do plano.

o certo

$r$

é expresso na forma de equações paramétricas, então os componentes de seu vetor de direção são os coeficientes dos termos dos parâmetros

$t:$

$\vv{r} =(1,-3,2)$

E as coordenadas cartesianas de um ponto nesta mesma reta são os termos independentes das equações paramétricas:

$P(1,2,4)$

Por outro lado, a linha reta

$s$

está na forma de uma equação contínua, tal que os componentes de seu vetor de direção são os denominadores das frações:

$\vv{s} =(2,2,-3)$

Portanto, as equações paramétricas do plano são:

$\displaystyle \begin{cases}x=P_x + \lambda \text{u}_x + \mu \text{v}_x \\[1.7ex] y=P_y + \lambda \text{u}_y + \mu \text{v}_y \\[1.7ex] z=P_z + \lambda\text{u}_z + \mu \text{v}_z \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases}x=1 + \lambda \cdot 1+ \mu \cdot 2 \\[1.7ex] y=2 + \lambda \cdot (-3) + \mu \cdot 2 \\[1.7ex] z=4 + \lambda\cdot 2 + \mu \cdot (-3) \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases}\bm{x=1 + \lambda+2\mu } \\[1.7ex] \bm{y=2-3 \lambda+2 \mu } \\[1.7ex] \bm{z=4+2\lambda -3\mu } \end{cases}$

Qual é a equação do plano?

Quais são as equações do plano?

Equação vetorial do plano

Equações paramétricas do plano

Equação implícita ou geral do plano

Equação canônica ou segmentar do plano

Como calcular a equação de um plano a partir de seu vetor normal

Problemas resolvidos de equações planas

Exercício 1

Exercício 2

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Exercício 4

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Exercício 6

Exercício 7

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