Equação vetorial do plano

Nesta página você encontrará a equação vetorial plana (fórmula) e exemplos de cálculo. Além disso, você poderá praticar exercícios e problemas resolvidos da equação vetorial do plano.

Qual é a equação vetorial de um plano?

Na geometria analítica, a equação vetorial de um plano é uma equação que permite que qualquer plano seja expresso matematicamente. Para encontrar a equação vetorial de um plano, precisamos apenas de um ponto e de dois vetores linearmente independentes pertencentes a esse plano.

Fórmula da equação vetorial do plano

Considere um ponto e dois vetores de direção de um plano:

$\begin{array}{c} P(P_x,P_y,P_z) \\[2ex] \vv{\text{u}}=(\text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z)\\[2ex] \vv{\text{v}}=(\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z)\end{array}$

A fórmula para a equação vetorial de um plano é:

$(x,y,z)=P+\lambda \vv{\text{u}} + \mu \vv{\text{v}}$

$(x,y,z)=(P_x,P_y,P_z)+\lambda (\text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z) + \mu (\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z)$

Ouro

$\lambda$

$\mu$

são dois escalares, ou seja, dois números reais.

Portanto, isto significa que qualquer ponto num plano pode ser expresso como uma combinação linear de 1 ponto e 2 vetores.

Além disso, uma condição necessária para que a equação anterior corresponda a um plano é que os dois vetores do plano tenham independência linear, ou seja, os dois vetores não podem ser paralelos entre si. outro.

Por outro lado, tenha em mente que além da equação vetorial, existem outras formas de expressar analiticamente um plano, como a equação paramétrica do plano e a equação implícita do plano . Você pode verificar o que é cada tipo de equação nos links.

Exemplo de como encontrar a equação vetorial de um plano

Depois de vermos a explicação do conceito de equação vetorial do plano, vamos ver como ela é calculada através de um exemplo:

Encontre a equação vetorial do plano que passa pelo ponto
$P(2,0,4)$

e contém os vetores

$\vv{\text{u}}=(1,3,-2)$

E

$\vv{\text{v}}=(5,0,1).$

Para determinar a equação vetorial do plano, basta aplicar sua fórmula:

$(x,y,z)=P+\lambda \vv{\text{u}} + \mu \vv{\text{v}}$

E agora substituímos o ponto e cada vetor na equação:

$\bm{(x,y,z)=(2,0,4)+\lambda (1,3,-2) + \mu (5,0,1)}$

Como você pode ver no exemplo, encontrar a equação vetorial de um plano é relativamente fácil. Porém, os problemas podem ficar um pouco complicados, então abaixo você tem vários exercícios resolvidos de diferentes dificuldades para você praticar.

Problemas resolvidos de equações vetoriais planas

Exercício 1

Determine a equação vetorial do plano que contém o vetor

$\vv{\text{u}}=(0,-2,3)$

e passa pelos dois pontos a seguir:

$A(1,3,-1)$

$B(2,-1,5).$

veja solução

Para saber a equação de um plano são necessários um ponto e dois vetores e neste caso só temos um vetor, devemos portanto encontrar outro vetor diretor do plano. Para fazer isso, podemos calcular o vetor que define os dois pontos do plano:

$\vv{AB} = B - A = (2,-1,5) - (1,3,-1) = (1,-4,6)$

Agora que já conhecemos dois vetores direções do plano e um ponto, usamos, portanto, a fórmula para a equação vetorial do plano:

$(x,y,z)=P+\lambda \vv{\text{u}} + \mu \vv{\text{v}}$

E substituímos os dois vetores e um dos dois pontos do plano na equação:

$\bm{(x,y,z)=(1,3,-1)+\lambda (0,-2,3) + \mu (1,-4,6)}$

Exercício 2

Encontre a equação vetorial do plano que contém os três pontos a seguir:

$A(2,-2,1) \qquad B(1,0,4) \qquad C(-1,3,-2)$

veja solução

Para encontrar a equação vetorial do plano, precisamos encontrar dois vetores linearmente independentes que se ligam no plano. E, para isso, podemos calcular dois vetores que são definidos pelos 3 pontos:

$\vv{AB} = B - A = (1,0,4) - (2,-2,1) = (-1,2,3)$

$\vv{AC} = C - A = (-1,3,-2) - (2,-2,1) = (-3,5,-3)$

As coordenadas dos dois vetores encontrados não são proporcionais, portanto são linearmente independentes um do outro.

Agora que já conhecemos dois vetores diretores e um ponto do plano, aplicamos a fórmula da equação vetorial do plano:

$(x,y,z)=P+\lambda \vv{\text{u}} + \mu \vv{\text{v}}$

E substituímos os dois vetores e um dos três pontos do plano na equação:

$\bm{(x,y,z)=(2,-2,1)+\lambda (-1,2,3) + \mu (-3,5,-3)}$

Exercício 3

Calcule 4 pontos no espaço que pertencem ao plano definido pela seguinte equação vetorial:

$(x,y,z)=(0,2,1)+\lambda (2,-1,4) + \mu (-1,3,0)$

veja solução

Para calcular um ponto em um plano, basta atribuir qualquer valor aos parâmetros

$\lambda$

$\mu .$

Ainda:

$\left. \begin{array}{c} \lambda =0 \\[2ex] \mu =0 \end{array} \right\} \longrightarrow \ (0,2,1)+0\cdot (2,-1,4) + 0\cdot (-1,3,0)= \bm{(0,2,1)}$

$\left. \begin{array}{c} \lambda =1 \\[2ex] \mu =0 \end{array} \right\} \longrightarrow \ (0,2,1)+1\cdot (2,-1,4) + 0\cdot (-1,3,0)= \bm{(2,1,5)}$

$\left. \begin{array}{c} \lambda =0 \\[2ex] \mu =1 \end{array} \right\} \longrightarrow \ (0,2,1)+0\cdot (2,-1,4) + 1\cdot (-1,3,0)= \bm{(-1,5,1)}$

$\left. \begin{array}{c} \lambda =1 \\[2ex] \mu =1 \end{array} \right\} \longrightarrow \ (0,2,1)+1\cdot (2,-1,4) + 1\cdot (-1,3,0)= \bm{(1,4,5)}$

Exercício 4

Encontre a equação vetorial do plano que contém a reta

$r$

e é paralelo à direita

$s.$

sendo as linhas:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} x=4+2t \\[1.7ex] y=-1+t\\[1.7ex] z=5-4t \end{cases} \qquad \qquad s: \ \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{4}= \frac{z+1}{-3}$