Equação implícita ou geral (ou cartesiana) da reta

Nesta página você descobrirá como a equação implícita da reta, também chamada de equação geral ou cartesiana da reta, é calculada. Além disso, você poderá ver vários exemplos e poderá até praticar com exercícios em linha reta resolvidos passo a passo.

Qual é a equação implícita, geral ou cartesiana da reta?

Lembre-se de que a definição matemática de uma reta é um conjunto de pontos consecutivos representados na mesma direção, sem curvas ou ângulos.

Assim, a equação implícita da reta , também conhecida como equação geral ou cartesiana , é uma forma de expressar matematicamente qualquer reta. Para fazer isso, tudo que você precisa é do vetor de direção da reta e de um ponto pertencente à reta.

Fórmula para a equação implícita, geral ou cartesiana da reta

Sim

$\vv{\text{v}}$

é o vetor de direção da linha e

$P$

um ponto que pertence à direita:

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P}_1,P_2)$

A fórmula para a equação implícita, geral ou cartesiana da reta é:

$Ax+By+C=0$

Ouro:

$x$

E

$y$

são as coordenadas cartesianas de qualquer ponto da linha.
o coeficiente
$A$

é o segundo componente do vetor de direção:

$A=\text{v}_2}$
o coeficiente
$B$

é o primeiro componente do sinal alterado do vetor de direção:

$B=-\text{v}_1}$
o coeficiente
$C$

é calculado substituindo o ponto conhecido

$P$

na equação da reta.

equação implícita geral ou cartesiana da reta no espaço (em R3)

Por outro lado, tenha em mente que além da equação implícita (ou geral), existem outras maneiras de expressar analiticamente uma reta: a equação vetorial, as equações paramétricas, a equação contínua, a equação explícita e a equação ponto-inclinação de Aline. Você pode conferir o que é cada um deles em nosso site.

Exemplo de cálculo da equação implícita, geral ou cartesiana da reta

Só de olhar a fórmula pode parecer que esse tipo de equação da reta é um pouco difícil de encontrar. Mas para que você possa ver que é exatamente o contrário, veremos como encontrar a equação geral (ou implícita) da reta através de um exemplo:

Encontre a equação implícita da reta que passa pelo ponto
$P$

e tem

$\vv{\text{v}}$

como vetor orientador:

$\vv{\text{v}}= (2,3) \qquad P(5,-1)$

Como vimos na seção acima, a fórmula para a equação implícita da reta é:

$Ax+By+C=0$

Devemos, portanto, encontrar os coeficientes A, B e C. As incógnitas A e B são obtidas a partir das coordenadas do vetor diretor da reta, pois sempre se verifica a seguinte igualdade:

$\vv{\text{v}}= (-B,A)$

Consequentemente, o coeficiente A é a segunda coordenada do vetor, e o coeficiente B é a primeira coordenada do sinal alterado do vetor:

$\left.\begin{array}{c}\vv{\text{v}}= (-B,A) \\[2ex] \vv{\text{v}}= (2,3) \end{array} \right\}\longrightarrow \begin{array}{l}A=3 \\[2ex] B=-2 \end{array}$

A equação implícita da reta será, portanto, a seguinte:

$Ax+By+C=0 \ \xrightarrow{A=3 \ ; \ B=-2} \ 3x-2y+C=0$

Portanto, só precisamos encontrar o coeficiente C. Para isso, devemos substituir o ponto que sabemos que pertence à reta em sua equação:

$P(5,-1)$

$3x-2y+C=0 \ \xrightarrow{x=5 \ ; \ y=-1} \ 3\cdot 5-2\cdot (-1)+C=0$

E agora resolvemos a equação resultante:

$3\cdot 5-2\cdot (-1)+C=0$

$15+2+C=0$

$17+C=0$

$C=-17$

Portanto, a equação implícita, geral ou cartesiana da reta é:

$\bm{3x-2y-17=0}$

Encontre a equação implícita (geral ou cartesiana) da equação contínua

Acabamos de ver uma maneira de determinar a equação geral de uma reta. Porém, existe outro método que parte de sua equação contínua. Vamos ver como isso é feito com um exemplo:

Calcule a equação geral (ou implícita) da seguinte reta definida por sua equação contínua:

$\cfrac{x-1}{-2}=\cfrac{y+4}{6}$

Primeiro, cruzamos e multiplicamos frações:

$(x-1)\cdot 6 = (y+4) \cdot (-2)$

Segundo, resolvemos os parênteses usando a propriedade distributiva:

$6x-6=-2y-8$

A seguir, movemos todos os termos para o lado esquerdo da equação:

$6x-6+2y+8=0$

E, por fim, agrupamos os termos e assim obtemos a equação geral da reta:

$\bm{6x+2y+2=0}$

Problemas resolvidos da equação implícita ou geral (ou cartesiana)

Exercício 1

Escreva a equação geral da reta que passa pelo ponto

$P$

e tem

$\vv{\text{v}}$

como vetor orientador:

$\vv{\text{v}}= (-1,2) \qquad P(4,0)$

veja solução

A fórmula para a equação geral da reta é:

$Ax+By+C=0$

Devemos portanto encontrar A, B e C. As variáveis A e B são obtidas a partir das coordenadas do vetor diretor da reta, pois sempre se verifica a seguinte igualdade:

$\vv{\text{v}}= (-B,A)$

Consequentemente, o coeficiente A é a segunda coordenada do vetor, e o coeficiente B é a primeira coordenada do sinal alterado do vetor:

$\left.\begin{array}{c}\vv{\text{v}}= (-B,A) \\[2ex] \vv{\text{v}}= (-1,2) \end{array} \right\}\longrightarrow \begin{array}{l}A=2 \\[2ex] B=1 \end{array}$

A equação implícita da reta será, portanto, a seguinte:

$Ax+By+C=0 \ \xrightarrow{A=2 \ ; \ B=1} \ 2x+y+C=0$

Portanto, precisamos apenas encontrar o coeficiente C. Para fazer isso, precisamos substituir o ponto que sabemos que pertence à reta na equação da reta e resolver a equação resultante:

$P(4,0)$

$2x+y+C=0 \ \xrightarrow{x=4 \ ; \ y=0} \ 2\cdot 4+0+C=0$

$8+C=0$

$C=-8$

Resumindo, a equação implícita, geral ou cartesiana da reta é:

$\bm{2x+y-8=0}$

Exercício 2

Calcule a equação cartesiana da seguinte reta:

$\cfrac{x+3}{4}=\cfrac{y-2}{5}$

veja solução

A equação é expressa como uma equação contínua, portanto, para encontrar sua equação implícita, precisamos cruzar as frações e colocar todos os termos em um lado da equação:

$\cfrac{x+3}{4}=\cfrac{y-2}{5}$

$(x+3)\cdot 5 = (y-2) \cdot 4$

$5x+15=4y-8$

$5x+15-4y+8=0$

$\bm{5x-4y+23=0}$

Exercício 3

Determine um ponto na linha seguinte e seu vetor de direção. A reta é expressa por sua equação geral:

$-x-3y+6= 0$

veja solução

As componentes do vetor direção da reta podem ser obtidas a partir dos coeficientes A e B da equação geral da reta: a primeira componente do vetor corresponde ao sinal alterado do coeficiente B e a segunda componente do vetor é igual ao coeficiente A. ENTÃO:

$\vv{\text{v}}= (-B,A)$

$\vv{\mathbf{v}}=\bm{(3,-1)}$

Por outro lado, para calcular um ponto na reta, é necessário atribuir um valor a uma variável. Por exemplo, fazemos

$x=0$

e resolvemos a equação resultante:

$-x-3y+6= 0 \ \xrightarrow{x \ = \ 0} \ -0 -3y+6=0$

$-3y +6 =0$

$-3y =-6$

$y =\cfrac{-6}{-3}$

$y =2$

Então o ponto da reta é:

$\bm{P(0,2)}$

Você pode ter chegado a um ponto diferente porque depende do valor que você dá à variável X (ou à variável Y), mas se você seguiu o mesmo procedimento também está correto. Por outro lado, o vetor direção da reta deve ser idêntico ao calculado.

Exercício 4

Encontre a equação implícita da reta que passa pelos dois pontos a seguir:

$A(4,-1) \qquad B(-2,3)$

veja solução

Neste caso, não sabemos o vetor diretor da reta, então primeiro precisamos encontrar seu vetor diretor e depois a equação da reta.

Para encontrar o vetor direção da reta, basta calcular o vetor definido pelos dois pontos dados:

$\vv{AB}=B-A= (-2,3)- (4,-1) = (-6,4)$

E uma vez conhecido o vetor diretor da reta, podemos agora determinar sua equação implícita (ou geral ou cartesiana) a partir de sua fórmula:

$Ax+By+C=0$

As incógnitas A e B são obtidas a partir das coordenadas do vetor de direção da reta, pois o coeficiente A é a segunda coordenada do vetor, e o coeficiente B é a primeira coordenada do sinal alterado do vetor:

$\left.\begin{array}{c}\vv{\text{v}}= (-B,A) \\[2ex] \vv{\text{v}}= (-6,4) \end{array} \right\}\longrightarrow \begin{array}{l}A=4 \\[2ex] B=6 \end{array}$

A equação implícita da reta será, portanto, a seguinte:

$Ax+By+C=0 \ \xrightarrow{A=4 \ ; \ B=6} \ 4x+6y+C=0$

Basta, portanto, encontrar o coeficiente C. Para isso, devemos substituir na equação da reta um ponto que sabemos que pertence à reta e resolver a equação resultante:

$A(4,-1)$

$4x+6y+C=0\ \xrightarrow{x=4 \ ; \ y=-1} \ 4\cdot 4+6\cdot (-1)+C=0$

$16-6+C=0$

$10+C=0$

$C=-10$

Finalmente, a equação implícita, geral ou cartesiana da reta é:

$\bm{4x+6y-10=0}$

Exercício 5

Encontre a equação implícita da reta perpendicular à reta

$r$

e o que acontece além do ponto

$P(2,2).$

$r: \; 3x-2y+4=0$

veja solução

Duas retas perpendiculares têm vetores de direção ortogonais entre si, então precisamos encontrar o vetor de direção da reta

$r$

então um vetor que é perpendicular a ele.

Os componentes do vetor de direção da linha

$r$

Eles podem ser obtidos a partir dos coeficientes A e B da equação geral da reta: a primeira componente do vetor corresponde ao sinal alterado do coeficiente B e a segunda componente do vetor é igual ao coeficiente A.

$r: \; 3x-2y+4=0$

$\vv{\text{v}}= (-B,A)$

$\vv{\text{v}}_r=(2,3)$

Agora precisamos encontrar um vetor perpendicular. Para isso, basta inserir as coordenadas do vetor e alterar o sinal de uma delas:

$\vv{\text{v}}_\perp=(-3,2)$

Este será, portanto, o vetor diretor da reta perpendicular a

$r.$

E uma vez conhecido o vetor diretor da reta, podemos agora determinar sua equação implícita (ou geral ou cartesiana) a partir de sua fórmula:

$Ax+By+C=0$

$\left.\begin{array}{c}\vv{\text{v}}= (-B,A) \\[2ex] \vv{\text{v}}_\perp= (-3,2) \end{array} \right\}\longrightarrow \begin{array}{l}A=2 \\[2ex] B=3 \end{array}$

A equação implícita da reta será, portanto, a seguinte:

$Ax+By+C=0 \ \xrightarrow{A=2 \ ; \ B=3} \ 2x+3y+C=0$

Basta, portanto, encontrar o coeficiente C. Para isso, devemos substituir na equação da reta um ponto que sabemos que pertence à reta e resolver a equação resultante:

$P(2,2)$

$2x+3y+C=0\ \xrightarrow{x=2 \ ; \ y=2} \ 2\cdot 2+3\cdot 2+C=0$

$4+6+C=0$

$10+C=0$

$C=-10$

Portanto, a equação implícita, geral ou cartesiana da reta é:

$\bm{2x+3y-10=0}$

Qual é a equação implícita, geral ou cartesiana da reta?

Fórmula para a equação implícita, geral ou cartesiana da reta

Exemplo de cálculo da equação implícita, geral ou cartesiana da reta

Encontre a equação implícita (geral ou cartesiana) da equação contínua

Problemas resolvidos da equação implícita ou geral (ou cartesiana)

Exercício 1

Exercício 2

Exercício 3

Exercício 4

Exercício 5

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