Equação canônica, segmentar ou simétrica da reta

Aqui você encontrará a explicação do que é a fórmula da equação canônica (ou segmentar) da reta, também chamada de equação simétrica. Além disso, você poderá ver exemplos e praticar com exercícios resolvidos. E, ainda, você descobrirá como a equação canônica é calculada a partir da equação geral (ou implícita) da reta.

Qual é a equação canônica ou segmentar da reta?

Lembre-se de que a definição matemática de uma reta é um conjunto de pontos consecutivos representados na mesma direção, sem curvas ou ângulos.

Assim, a equação canônica da reta , também chamada de equação segmentar da reta , é uma forma de expressar matematicamente qualquer reta. Para isso, basta conhecer os pontos de intersecção com os eixos coordenados da referida reta.

Por outro lado, em geometria analítica, a equação canônica (ou segmentar) da reta também é chamada de equação simétrica da reta .

Fórmula da equação canônica ou segmentar da reta

A equação canônica ou segmentar da reta é a expressão algébrica da reta que pode ser determinada conhecendo os valores onde a reta intercepta o eixo x e o eixo y.

Se uma linha intercepta os eixos cartesianos nos seguintes pontos:

Ponto de intersecção com o eixo X:

$(a,0)$

Ponto de intersecção com o eixo Y:

$(0,b)$

A fórmula para a equação canônica (ou segmentar) da reta é:

$\cfrac{x}{a}+ \cfrac{y}{b}= 1$

equação canônica segmentar ou simétrica da reta no espaço

Deve-se notar que não existe equação canônica (ou segmentar) da reta em nenhum dos três casos a seguir:

Quando a linha é vertical, ou seja, paralela ao eixo OY. Como a equação de uma reta vertical é
$x=k.$
Quando a linha é horizontal, ou seja, paralela ao eixo OX. Como a equação de uma reta horizontal é
$y=k.$
Quando a linha passa pela origem da coordenada (ponto
$(0,0)$

), pois teríamos então duas indeterminações na equação da reta.

Exemplo de como encontrar a equação canônica ou segmentar da reta

Para que você entenda melhor o conceito, resolveremos um problema de equação segmental (ou canônica) da reta:

Encontre a equação canônica ou segmentar da reta que passa pelos dois pontos a seguir:

$A(0,4) \qquad \qquad B(-2,0)$

Neste caso, a declaração não nos dá 2 pontos, mas sim os dois pontos de intersecção com os eixos.

Ponto de intersecção da linha com o eixo X:

$(-2,0)$

Ponto de intersecção da linha com o eixo Y:

$(0,4)$

Assim, como já conhecemos os dois pontos de intersecção com os eixos, basta aplicar a fórmula da equação canônica ou segmentar da reta:

$\cfrac{x}{a}+ \cfrac{y}{b}= 1$

E por fim, substituímos o valor dos parâmetros

$a$

$b$

na fórmula:

$\cfrac{\bm{x}}{\bm{-2}}\bm{+} \cfrac{\bm{y}}{\bm{4}}\bm{= 1}$

Agora você sabe qual é a equação canônica (ou segmentar) da reta. Porém, você deve saber que existem outras formas de expressar uma reta, e dentre elas se destaca a equação explícita . Este tipo de equação linear é difícil de entender completamente, por isso explicamos tudo sobre ela em detalhes na página do link.

Calcule a equação canônica ou segmentar da reta a partir de sua equação geral

Acabamos de ver uma maneira de determinar a equação canônica ou segmentar da reta, mas também existem outros métodos:

A equação canônica ou segmentar de uma reta pode ser obtida a partir da equação geral (ou implícita) desta mesma reta:

$Ax+By+C=0$

Primeiro, mudamos de lado no coeficiente C:

$Ax+By=-C$

A seguir, dividimos a equação inteira pelo valor do parâmetro C com sinal alterado:

$\cfrac{Ax+By}{-C}=\cfrac{-C}{-C}$

$\cfrac{Ax}{-C}+\cfrac{By}{-C}=1$

E, através das propriedades das frações, chegamos à fórmula da equação canônica ou segmentar da reta:

$\cfrac{x}{-\frac{C}{A}}+\cfrac{y}{-\frac{C}{B}}=1$

Portanto, segue-se desta fórmula que os termos

$a$

$b$

da equação canônica de uma reta são equivalentes às seguintes expressões:

$a= -\cfrac{C}{A} \qquad \qquad b= -\cfrac{C}{B}$

Problemas resolvidos da equação canônica ou segmentar da reta

Exercício 1

Quais são os pontos de intersecção com os eixos coordenados da linha a seguir?

$\cfrac{x}{3}+ \cfrac{y}{-1}= 1$

veja solução

A reta do exercício é expressa na forma de uma equação canônica ou segmentar da reta, cuja fórmula é:

$\cfrac{x}{a}+ \cfrac{y}{b}= 1$

Portanto, os pontos onde a linha cruza os eixos coordenados são:

Ponto de intersecção com o eixo X:

$\bm{(3,0)}$

Ponto de intersecção com o eixo Y:

$\bm{(0,-1)}$

Exercício 2

Qual é a equação canônica ou segmentar da linha representada graficamente?

equação canônica segmentar ou simétrica no plano

veja solução

A partir do gráfico podemos saber os pontos onde a reta cruza os eixos coordenados:

Ponto de intersecção da linha com o eixo X:

$(5,0)$

Ponto de intersecção da linha com o eixo Y:

$(0,3)$

Assim, uma vez que já conhecemos os 2 pontos de intersecção com os eixos, basta utilizar a fórmula da equação canônica ou segmentar da reta:

$\cfrac{x}{a}+ \cfrac{y}{b}= 1$

E por fim, substituímos o valor dos parâmetros

$a$

$b$

na fórmula:

$\cfrac{\bm{x}}{\bm{5}}\bm{+} \cfrac{\bm{y}}{\bm{3}}\bm{= 1}$

Exercício 3

Calcule a equação canônica ou segmentar da reta determinada pela seguinte equação geral (ou implícita):

$3x-2y+6=0$

veja solução

Para passar de uma equação geral para uma equação segmental, devemos primeiro isolar o termo independente da equação:

$3x-2y+6=0$

$3x-2y=-6$

Segundo, dividimos a equação inteira pelo coeficiente do lado direito da equação:

$\cfrac{3x-2y}{-6}=\cfrac{-6}{-6}$

$\cfrac{3x}{-6}+\cfrac{-2y}{-6}=\cfrac{-6}{-6}$

A expressão acima é equivalente ao seguinte:

$\cfrac{x}{\frac{-6}{3}}+\cfrac{y}{\frac{-6}{-2}}=1$

Para que a equação canônica, segmentar ou simétrica da reta seja:

$\cfrac{\bm{x}}{\bm{-2}}\bm{+} \cfrac{\bm{y}}{\bm{3}}\bm{= 1}$

Exercício 4

Determine a equação canônica ou segmentar cujo vetor de direção é

$\vv{\text{v}}=(4,-3)$

e passa pelo ponto

$P(-1,5).$

veja solução

Primeiro encontramos facilmente a equação contínua da reta a partir de seu vetor direção e um ponto que pertence à reta:

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1} = \cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

$\cfrac{x-(-1)}{4} = \cfrac{y-5}{-3}$

$\cfrac{x+1}{4} = \cfrac{y-5}{-3}$

Agora vamos calcular a equação geral da reta multiplicando as frações transversalmente e agrupando os termos resultantes:

$-3(x+1) = 4(y-5)$

$-3x-3 = 4y-20$

$-3x-3 - 4y+20 =0$

$-3x - 4y+17 =0$

É, portanto, suficiente converter a equação geral da reta em uma equação canônica. Para fazer isso, primeiro excluímos o termo independente da equação:

$-3x - 4y=-17$