Esta página explica o que são transformações de função e como encontrá-las. Existem três tipos de transformações: translações (ou deslocamentos), simetrias e expansões (ou contrações). Você também encontrará exercícios resolvidos passo a passo para que possa praticar e entender os conceitos sem deixar dúvidas.
O que são transformações de função?
Às vezes, podemos ser solicitados a representar graficamente funções elementares muito semelhantes a outras que já conhecemos. Bem, em vez de representar novamente a função semelhante, podem ser usadas técnicas para passar da representação de uma função para outra de maneira fácil e rápida.
Assim, as transformações de funções são técnicas que permitem passar da representação gráfica de uma função à representação gráfica de outra função muito semelhante através de operações elementares.
Basicamente, existem três tipos de transformações de funções elementares:
- Translações ou movimentos : uma função pode ser movida verticalmente e horizontalmente.
- Reflexões ou simetrias : Uma função pode ser refletida usando o eixo X ou o eixo Y como eixo de simetria.
- Expansões e compressões : Uma função pode ser ampliada ou reduzida.
Depois de vermos o conceito de transformação de uma função, nos aprofundaremos em cada tipo de modificação.
Translações ou movimentos de funções
Começaremos com mudanças de função. Existem dois tipos: translações verticais e translações horizontais.
Translação ou movimento vertical de uma função
Para transladar ou mover uma função verticalmente (ao longo do eixo Y), você deve adicionar ou subtrair uma constante à função:
Movemos uma função k unidades para cima adicionando ka à função:
Deslocamos uma função k unidades para baixo subtraindo ka da função:
Como você pode ver no gráfico, adicionar uma constante a qualquer função desloca as unidades adicionadas para cima (função verde). Por outro lado, ao subtrair um número de uma função, as unidades subtraídas são movidas para baixo (função vermelha).
Observe que neste tipo de movimentos apenas as coordenadas Y dos pontos de função são alteradas, enquanto as coordenadas X permanecem as mesmas.
Tradução ou movimento horizontal de funções
Para transladar ou deslocar uma função horizontalmente (ao longo do eixo X), você deve adicionar ou subtrair uma constante à variável independente x :
O gráfico de
é o gráfico de
moveu k unidades para a esquerda.
O gráfico de
é o gráfico de
deslocou k unidades para a direita.
Como você pode ver no gráfico, ao adicionar uma constante diretamente à variável x , a função desloca as unidades adicionadas para a esquerda (função vermelha). Por outro lado, ao subtrair um número da variável x , a função desloca as unidades subtraídas para a direita (função verde).
Observe que neste tipo de movimentos apenas as coordenadas X dos pontos de função são alteradas, enquanto as coordenadas Y continuam com o mesmo valor.
Exemplo de tradução ou movimentação de uma função
- Mova a seguinte função 4 unidades para cima e 3 unidades para a direita:
Para mover a função 4 unidades para cima, precisamos adicionar 4 unidades à função:
E para também mover a função 3 unidades para a direita devemos calcular
. Portanto, onde há um
pudermos
A função deslocada 4 unidades para cima e 3 unidades para a direita é, portanto:
Abaixo você tem a função original e a função transformada representadas graficamente para que você possa ver a diferença entre elas:
Alguns matemáticos chamam de deslocamento oblíquo ou translação quando os dois tipos de movimento ocorrem ao mesmo tempo.
Reflexão ou simetria de uma função em relação aos eixos coordenados
Podemos representar a função simétrica em relação a qualquer eixo cartesiano da seguinte maneira:
Para refletir uma função em relação ao eixo x, precisamos alterar o sinal da função, ou seja, precisamos calcular
Para refletir uma função em relação ao eixo y, devemos negar a variável independente x , ou seja, devemos calcular
Como você pode ver no gráfico anterior, ao multiplicar uma função por -1, nós a invertemos graficamente (função laranja), ou seja, a espelhamos em relação ao eixo X.
Como pode ser visto no gráfico anterior, ao negar a variável x , espelhamos a função em relação ao eixo Y (função verde claro).
Exemplo de espelhamento de uma função
- Calcule a função simétrica em torno do eixo OX e a função simétrica em torno do eixo OY da seguinte função quadrática:
Para encontrar a função simétrica em relação ao eixo X, devemos fazer
:
E para encontrar a função simétrica em relação ao eixo Y devemos fazer
. Portanto, substituímos onde há um
na função original pelo termo
Abaixo você representou a função original e as funções simétricas encontradas:
Expansões e contrações de função
Tal como acontece com as translações, existem dois tipos de expansões ou contrações: verticais e horizontais.
Expansão e contração vertical de uma função
Multiplicando uma função inteira por um coeficiente, podemos fazê-la expandir ou contrair:
Para expandir (ou dilatar) uma função no eixo Y, precisamos multiplicá-la por um número maior que 1:
Para reduzir uma função no eixo Y, precisamos multiplicá-la por um número positivo menor que 1:
Para reduzir uma função no eixo X, precisamos multiplicar todos os x por um número maior que 1:
Como você pode ver no gráfico anterior, se multiplicarmos todos os x de uma função por um coeficiente maior que 0 mas menor que 1 (função verde) ampliamos ao longo do eixo OX, por outro lado, se multiplicarmos uma função por um coeficiente maior que 1 (função vermelha), reduzimos ao longo do eixo OX.
Exemplo de como expandir ou recolher uma função
- Duplique a seguinte função irracional vertical e horizontalmente:
Para estender a função no eixo y por dois, devemos multiplicar a função inteira por 2:
E para também expandir a função por dois no eixo x, devemos multiplicar todos os x da função por
A função duplicada nos dois eixos coordenados é, portanto:
Abaixo você tem a função original e a transformada representada graficamente para que você possa ver as diferenças entre elas:
Como você pode ver, o novo recurso (cor roxa) é duas vezes maior que o recurso original (cor azul) tanto vertical quanto horizontalmente, portanto, o recurso foi expandido.
Exercícios resolvidos sobre transformações de funções
Exercício 1
Mova a seguinte função de terceiro grau 5 unidades para cima:
Exercício 2
Encontre a função simétrica em torno do eixo Y da seguinte função quadrática:
Exercício 3
Execute uma compressão horizontal da seguinte função para um terço de sua representação:
Exercício 4
Calcule a função simétrica em relação ao eixo OX da seguinte função transladada 4 unidades para a direita:
Exercício 5
Desloque a seguinte função 2 unidades para a esquerda e expanda-a verticalmente por um fator de 4:
Exercício 6
Da função
determinar qual das representações no gráfico corresponde à função
Exercício 7
Da função
determine qual parábola é a representação da função