Distância entre duas linhas que se cruzam (fórmula)

Nesta página você descobrirá como determinar a distância entre duas linhas que se cruzam (fórmula). Além disso, você poderá ver exemplos e praticar com exercícios resolvidos de distâncias entre linhas que se cruzam.

O que são duas linhas que se cruzam?

Antes de ver como é calculada a distância entre duas linhas que se cruzam, vamos relembrar brevemente em que consiste exatamente esse tipo de posição relativa entre duas linhas:

Duas linhas que se cruzam, também chamadas de linhas que se cruzam, são duas linhas distintas que têm direções diferentes e não se cruzam em nenhum ponto . Portanto, duas linhas cruzadas não estão no mesmo plano.

distância entre duas linhas que cruzam 2 caixas

Por exemplo, na representação gráfica acima da linha

$s$

está sempre à frente da linha

$r$

, então eles nunca se tocarão.

Como calcular a distância entre duas linhas que se cruzam

Existem vários métodos para determinar a distância entre duas linhas que se cruzam no espaço. Nesta página explicaremos apenas um procedimento, o mais fácil, pois os outros dois métodos são mais longos e complicados, na verdade, raramente são utilizados.

Seja o vetor de direção e qualquer ponto de duas linhas que se cruzam:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} \vv{\text{u}} \\[2ex] A\end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} \vv{\text{v}} \\[2ex] B\end{cases}$

A fórmula para a distância entre duas linhas que se cruzam é:

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert}$

Ouro

$\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|$

é o valor absoluto do produto misto dos vetores

$\vv{\text{u}}, \vv{\text{v}}$

e o vetor definido pelos pontos

$A$

$B$

. E por outro lado,

$\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert$

é a magnitude do produto vetorial dos vetores de direção das duas linhas cruzadas.

Portanto, para encontrar a distância entre 2 linhas que se cruzam, você precisa saber como calcular o produto escalar triplo (ou produto misto de três vetores) e o produto vetorial (ou produto vetorial de dois vetores). Você pode revisar como isso foi feito nos links anteriores, onde encontrará as fórmulas correspondentes, exemplos e exercícios resolvidos.

Exemplo de como encontrar a distância entre duas linhas que se cruzam

Para que você veja como determinar a distância entre duas linhas cruzadas, resolveremos um problema como exemplo:

Qual é a distância entre as próximas duas linhas que se cruzam?

$r: \ \cfrac{x-1}{2} = \cfrac{y-2}{4} = \cfrac{z+2}{-1}$

$s: \ \cfrac{x-3}{1} = \cfrac{y+1}{3} = \cfrac{z-1}{-2}$

Primeiro, precisamos identificar o vetor diretor e um ponto em cada reta. As duas retas são expressas na forma de uma equação contínua, portanto:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} \vv{\text{u}} =(2,4,-1) \\[2ex] A(1,2,-2) \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} \vv{\text{v}}=(1,3,-2) \\[2ex] B(3,-1,1)\end{cases}$

E agora aplicamos a fórmula para a distância entre duas linhas que se cruzam:

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert}$

Por um lado resolvemos o produto misto:

$\vv{AB} = B - A = (3,-1,1) - (1,2,-2) = (2,-3,3)$

$\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right| =\left| \begin{vmatrix} 2&4&-1 \\[1.1ex] 1&3&-2 \\[1.1ex] 2&-3&3 \end{vmatrix}\right| = \left| -13 \right| =13$

E, por outro lado, encontramos a magnitude do produto vetorial:

$\vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} =\begin{vmatrix} \vv{i}& \vv{j}& \vv{k} \\[1.1ex] 2&4&-1 \\[1.1ex] 1&3&-2 \end{vmatrix}=-5\vv{i} +3\vv{j}+2\vv{k}$

$\left| \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \right| =\sqrt{5^2+3^2+2^2} = \sqrt{25+9+4} = \sqrt{38}$

Por fim, substituímos o valor de cada termo na fórmula pela distância entre duas linhas cruzadas:

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert} = \cfrac{13}{\sqrt{38}}= \bm{2,11}$

Resolvendo problemas de distância entre duas linhas que se cruzam

Exercício 1

Encontre a distância entre as duas linhas a seguir que se cruzam em um ponto:

$r: \ \cfrac{x-1}{2} = \cfrac{y+1}{1} = \cfrac{z+3}{2}$

$s: \ \cfrac{x-2}{3} = \cfrac{y-4}{-1} = \cfrac{z-1}{2}$

veja solução

Primeiro, precisamos encontrar o vetor diretor e um ponto em cada reta. As duas retas são definidas na forma de uma equação contínua, portanto:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} \vv{\text{u}} =(2,1,2) \\[2ex] A(1,-1,-3) \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} \vv{\text{v}}=(3,-1,2) \\[2ex] B(2,4,1)\end{cases}$

E agora usamos a fórmula para a distância entre duas linhas que se cruzam:

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert}$

Determinamos o produto misto:

$\vv{AB} = B - A = (2,4,1) - (1,-1,-3) = (1,5,4)$

$\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right| =\left| \begin{vmatrix} 2&1&2 \\[1.1ex] 3&-1&2 \\[1.1ex] 1&5&4 \end{vmatrix}\right| = \left| -6 \right| =6$

A seguir, calculamos a magnitude do produto vetorial:

$\vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} =\begin{vmatrix} \vv{i}& \vv{j}& \vv{k} \\[1.1ex] 2&1&2 \\[1.1ex] 3&-1&2 \end{vmatrix}=4\vv{i} +2\vv{j}-5\vv{k}$

$\left| \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \right| =\sqrt{4^2+2^2+(-5)^2} = \sqrt{16+4+25} = \sqrt{45}$

E, finalmente, substituímos o valor de cada termo na fórmula para a distância entre duas linhas que se cruzam:

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert} = \cfrac{6}{\sqrt{45}}= \bm{0,89}$

Exercício 2

Calcule a distância entre as duas linhas que se cruzam:

$r: \ \cfrac{x-2}{3} = \cfrac{y-4}{1} = \cfrac{z+2}{-1}$

$s: \ \cfrac{x+1}{2} = \cfrac{y+2}{-2} = \cfrac{z-1}{5}$

veja solução

Primeiro, precisamos identificar o vetor diretor e um ponto em cada reta. As duas retas são expressas na forma de uma equação contínua, portanto:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} \vv{\text{u}} =(3,1,-1) \\[2ex] A(2,4,-2) \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} \vv{\text{v}}=(2,-2,5) \\[2ex] B(-1,-2,1)\end{cases}$

E agora usamos a fórmula para a distância entre duas linhas que se cruzam:

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert}$

Determinamos o produto misto:

$\vv{AB} = B - A = (-1,-2,1) - (2,4.-2) = (-3,-6,3)$

$\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right| =\left| \begin{vmatrix} 3&1&-1 \\[1.1ex] 2&-2&5 \\[1.1ex] -3&-6&3 \end{vmatrix}\right| = \left| 69 \right| =69$

A seguir, calculamos a magnitude do produto vetorial:

$\vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} =\begin{vmatrix} \vv{i}& \vv{j}& \vv{k} \\[1.1ex] 3&1&-1 \\[1.1ex] 2&-2&5 \end{vmatrix}=3\vv{i} -17\vv{j}-8\vv{k}$

$\left| \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \right| =\sqrt{3^2+(-17)^2+(-8)^2} = \sqrt{9+289+64} = \sqrt{362}$

E por fim, substituímos o valor de cada incógnita na fórmula pela distância entre duas linhas cruzadas:

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert} = \cfrac{69}{\sqrt{362}}= \bm{3,63}$

Exercício 3

Encontre a distância entre as duas linhas que se cruzam:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} x= -4t \\[1.7ex] y=2+3t \\[1.7ex] z=-1+t \end{cases}$

$\displaystyle s: \ (x,y,z)=(4,2,1)+t(3,2,-5)$

veja solução

Primeiro, precisamos encontrar o vetor diretor e um ponto em cada reta. o certo

$r$

está na forma de equações paramétricas e a reta

$s$

na forma de equação vetorial, portanto:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} \vv{\text{u}} =(-4,3,1) \\[2ex] A(0,2,-1) \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} \vv{\text{v}}=(3,2,-5) \\[2ex] B(4,2,1)\end{cases}$

E agora usamos a fórmula para a distância entre duas linhas que se cruzam:

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert}$

Determinamos o produto escalar triplo:

$\vv{AB} = B - A = (4,2,-1) - (0,2,1) = (4,0,-2)$

$\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right| =\left| \begin{vmatrix} -4&3&1 \\[1.1ex] 3&2&-5 \\[1.1ex] 4&0&-2 \end{vmatrix}\right| = \left| -34 \right| =34$

A seguir, calculamos a magnitude do produto vetorial:

$\vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} =\begin{vmatrix} \vv{i}& \vv{j}& \vv{k} \\[1.1ex] -4&3&1 \\[1.1ex] 3&2&-5 \end{vmatrix}=-17\vv{i} -17\vv{j}-17\vv{k}$

$\left| \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \right| =\sqrt{(-17)^2+(-17)^2+(-17)^2} = \sqrt{289+289+289} = \sqrt{867}$

E, finalmente, substituímos o valor de cada termo na fórmula para a distância entre duas linhas que se cruzam:

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert} = \cfrac{34}{\sqrt{867}}= \bm{1,15}$

O que são duas linhas que se cruzam?

Como calcular a distância entre duas linhas que se cruzam

Exemplo de como encontrar a distância entre duas linhas que se cruzam

Resolvendo problemas de distância entre duas linhas que se cruzam

Exercício 1

Exercício 2

Exercício 3

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