Distância entre duas linhas paralelas

Nesta página você descobrirá como determinar a distância entre duas linhas paralelas. Além disso, você poderá ver exemplos e praticar com exercícios resolvidos de distâncias entre retas paralelas.

O que são duas linhas paralelas?

Antes de ver como é calculada a distância entre duas retas paralelas, lembremos muito brevemente a noção de paralelismo entre duas retas:

Linhas paralelas são aquelas que nunca se cruzam, ou seja, mesmo que suas trajetórias se estendam ao infinito, nunca se tocam. Portanto, os pontos de duas retas paralelas estão sempre à mesma distância entre si e, além disso, duas retas paralelas não têm pontos em comum.

Por exemplo, as duas linhas a seguir são paralelas:

Geralmente indicamos que duas linhas são paralelas a 2 barras verticais || entre as linhas

Por outro lado, apesar de duas retas paralelas nunca se cruzarem, em geometria analítica dizemos que formam um ângulo de 0º porque têm a mesma direção.

Como calcular a distância entre duas linhas paralelas no plano

Para encontrar a distância entre duas retas paralelas no plano (em R2), basta pegar um ponto em uma das duas retas e calcular a distância deste ponto até a outra reta.

Podemos fazer isso desta forma porque duas retas paralelas estão sempre à mesma distância uma da outra.

Então, para encontrar a distância entre duas retas paralelas, você precisa conhecer a fórmula da distância entre um ponto e uma reta . Se você não lembra como era, no link você pode revisar como é determinada a distância entre um ponto e uma reta, além disso poderá ver exemplos e exercícios resolvidos passo a passo.

Por outro lado, se ao usar a fórmula obtivermos uma distância de 0 unidades, isso significa que as retas se tocam em algum ponto e, portanto, as retas não são paralelas, mas se cruzam, coincidentes ou perpendiculares. Se quiser, você pode conferir as diferenças entre esse tipo de linha em nosso site.

Exemplo de como encontrar a distância entre duas linhas paralelas

Vamos agora ver como resolver um problema de distância entre duas retas paralelas usando um exemplo:

Encontre a distância entre as duas linhas paralelas a seguir:

$r: \ 2x-4y-6=0 \qquad \qquad s: \ -x+2y+4=0$

A primeira coisa que precisamos fazer é marcar um ponto em uma das linhas (a que você deseja). Neste caso, calcularemos um ponto na reta

$s.$

Para fazer isso, devemos dar um valor a uma das variáveis, faremos por exemplo

$x=0:$

$-x+2y+4 =0 \ \xrightarrow{x \ = \ 0} \ -0+2y+4=0$

E agora limpamos a outra variável (

$y$

) da equação obtida para saber quanto vale neste momento:

$2y=-4$

$y= \cfrac{-4}{2}$

$y= -2$

Portanto, o ponto obtido da reta

$s$

Leste:

$P(0,-2)$

E uma vez que já temos um ponto em uma reta, calculamos a distância desse ponto até a outra reta usando a fórmula da distância de um ponto a uma reta:

$d(P,r)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

$d(P,r)= \cfrac{\lvert 2\cdot 0 + (-4)\cdot (-2) +(-6)\rvert}{\sqrt{2^2+(-4)^2}}= \cfrac{\lvert 0+8-6\rvert}{\sqrt{4+16}}={\cfrac{2}{\sqrt{20}}=\bm{0,45}$

A distância entre as duas linhas paralelas é, portanto, equivalente a 0,45 unidades .

Resolvendo problemas de distância entre duas linhas paralelas

Exercício 1

Qual é a distância entre as duas linhas paralelas a seguir?

$r: \ x+3y-4=0 \qquad \qquad s: \ 2x+6y+6=0$

veja solução

Primeiro, verificaremos se se trata de duas retas paralelas. Para isso, os coeficientes das variáveis

$x$

$y$

devem ser proporcionais entre si, mas não aos termos independentes:

$\cfrac{1}{2} = \cfrac{3}{6}\neq \cfrac{-4}{6} \ \longrightarrow \ \text{Paralelas}$

Na verdade, as linhas são paralelas, podemos, portanto, aplicar o procedimento.

Agora precisamos pegar um ponto de uma das retas (a que você deseja). Neste caso, calcularemos um ponto na reta

$s.$

Para fazer isso, você deve atribuir um valor a uma das variáveis, por exemplo faremos

$x=0:$

$2x+6y+6=0 \ \xrightarrow{x \ = \ 0} \ 2\cdot 0+6y+6=0$

E agora limpamos a outra variável (

$y$

) da equação obtida para saber seu valor neste ponto:

$6y=-6$

$y= \cfrac{-6}{6}$

$y= -1$

Para que o ponto obtido da reta

$s$

Leste:

$P(0,-1)$

Depois de conhecermos um ponto em uma reta, calculamos a distância desse ponto até a outra reta com a fórmula:

$d(P,r)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

$d(P,r)= \cfrac{\lvert 1\cdot 0 + 3\cdot (-1) +(-4)\rvert}{\sqrt{1^2+3^2}}= \cfrac{7}{\sqrt{10}}=\bm{2,21}$

Exercício 2

Calcule a distância entre as duas linhas paralelas a seguir:

$r: \ 2x+y+5=0 \qquad \qquad s: \ 8x+4y-4=0$

veja solução

Primeiro, verificaremos se se trata de duas retas paralelas. Para isso, os coeficientes das variáveis

$x$

$y$

devem ser proporcionais entre si, mas não aos termos independentes:

$\cfrac{2}{8} = \cfrac{1}{4}\neq \cfrac{5}{-4} \ \longrightarrow \ \text{Paralelas}$

Na verdade, as linhas são paralelas, podemos, portanto, aplicar o procedimento.

Agora precisamos pegar um ponto de uma das retas (a que você deseja). Neste caso, calcularemos um ponto na reta

$s.$

Para fazer isso, você deve atribuir um valor a uma das variáveis, por exemplo faremos

$x=0:$

$8x+4y-4=0 \ \xrightarrow{x \ = \ 0} \ 8\cdot 0+4y-4=0$

E agora limpamos a outra variável (

$y$

) da equação resultante para encontrar seu valor neste ponto:

$4y=4$

$y= \cfrac{4}{4}$

$y= 1$

Para que o ponto obtido da reta

$s$

Leste:

$P(0,1)$

Depois de conhecermos um ponto em uma reta, calculamos a distância desse ponto até a outra reta com a fórmula:

$d(P,r)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

$d(P,r)= \cfrac{\lvert 2\cdot 0 + 1\cdot 1 +5\rvert}{\sqrt{2^2+1^2}}= \cfrac{6}{\sqrt{5}}=\bm{2,68}$

Exercício 3

Calcule o valor da incógnita

$k$

então a distância entre as próximas duas linhas é de 5 unidades.

$r: \ 6x-8y+10=0 \qquad \qquad s: \ -3x+4y+k=0$

veja solução

Como estamos trabalhando em duas dimensões, para que a distância entre as duas retas seja diferente de zero, elas devem ser paralelas. Portanto, estabeleceremos a equação tentando calcular a distância entre as duas retas com a fórmula da distância entre um ponto e uma reta, e a partir desta equação obteremos o valor de

$k.$

Para fazer isso, precisamos calcular um ponto na reta

$r:$

$6x-8y+10=0 \ \xrightarrow{x \ = \ 1} \ 6\cdot 1 -8y+10=0$

$6-8y+10=0$

$-8y=-16$

$y=\cfrac{-16}{-8} = 2$

Então, um ponto na linha

$r$

Leste:

$P(1,2)$

Agora tentamos calcular a distância entre o ponto que pertence à reta

$r$

(apontar

$P$

) e a linha

$s$

com a fórmula:

$d(P,s)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

Substituímos cada termo pelo seu valor e simplificamos a expressão:

$d(P,s)= \cfrac{\lvert -3\cdot 1 + 4\cdot 2+k\rvert}{\sqrt{(-3)^2+4^2}}= \cfrac{\lvert -3+8+k\rvert}{\sqrt{9+16}}=\cfrac{\lvert 5+k\rvert}{\sqrt{25}}=\cfrac{\lvert 5+k\rvert}{5}$

A declaração do problema nos diz que a distância entre as duas linhas deve ser igual a 5, então igualamos a expressão anterior a 5:

$\cfrac{\lvert 5+k\rvert}{5}=5$

E resolvemos a equação resultante. No numerador da fração existe um valor absoluto, portanto, devemos analisar separadamente quando o valor absoluto é positivo e quando é negativo:

$\cfrac{+(5+k)}{5}=5$