Discussão de sistemas de equações com parâmetros -

Nesta página veremos como discutir e resolver um sistema de equações com parâmetros . Além disso, você encontrará exemplos e exercícios resolvidos de sistemas de equações lineares para praticar.

Por outro lado, para analisar sistemas de equações lineares é importante que você saiba o que é a regra de Cramer e o que é o teorema de Rouché–Frobenius , pois os utilizaremos constantemente.

Exemplo de sistema de equações lineares com parâmetros

Discuta e resolva o seguinte sistema de equações em termos do parâmetro m :

$\begin{cases} x+y+2z= 2 \\[1.5ex] -x+my+2z=0 \\[1.5ex] 3x+mz = 4\end{cases}$

Primeiro fazemos a matriz A e a matriz estendida A’ do sistema:

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc}1 & 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & m & 2 \\[1.1ex] 3 & 0 & m \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 2 \\[1.1ex] -1 & m & 2 & 0 \\[1.1ex] 3 & 0 & m & 4 \end{array} \right)$

Agora resolvemos o determinante de A usando a regra de Sarrus, para ver qual é a classificação da matriz:

$\displaystyle\begin{aligned} \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & m & 2 \\[1.1ex] 3 & 0 & m \end{vmatrix} & =m^2+6+0-6m-0+m \\ & = m^2-5m+6 \end{aligned}$

Portanto, o resultado do determinante de A depende do valor de m . Veremos, portanto, para quais valores de m o determinante desaparece. Para fazer isso, definimos o resultado igual a 0 :

$\displaystyle m^2-5m+6 = 0$

E resolvemos a equação quadrática com a fórmula:

$\displaystyle m = \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$\displaystyle m = \cfrac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2-4\cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \cfrac{5 \pm \sqrt{25-24}}{2} =\cfrac{5 \pm 1}{2} = \begin{cases} \bm{m = 3} \\[2ex] \bm{m =2} \end{cases}$

Então quando m for igual a 2 ou 3, o determinante de A será 0. E quando m for diferente de 2 e diferente de 3, o determinante de A será diferente de 0.

Devemos, portanto, analisar cada caso separadamente:

m≠3 e m≠2:

Como acabamos de ver, quando o parâmetro m é diferente de 2 e 3, o determinante da matriz A é diferente de 0. Portanto, o posto de A é 3 .

$\displaystyle rg(A)=3$

Além disso, o posto da matriz A’ também é 3 , porque dentro dela existe uma submatriz 3×3 cujo determinante é diferente de 0. E não pode ser de posto 4 pois ‘não podemos fazer um determinante 4×4.

$\displaystyle rg(A')=3$

Então, como o posto da matriz A é igual ao posto da matriz A’ e ao número de incógnitas do sistema (3), pelo teorema de Rouché-Frobenius sabemos que se trata de um Sistema Determinado Compatível (SCD) :

$\displaystyle \begin{array}{c} \begin{array}{c} \color{black}rg(A) = 3 \\[1.3ex] \color{black}rg(A')=3 \\[1.3ex] \color{black}\text{N\'umero de inc\'ognitas} = 3 \end{array}} \\ \\ \color{blue} \boxed{ \color{black}\phantom{^9_9} rg(A) = rg(A') = n = 3 \color{blue} \ \bm{\longrightarrow} \ \color{black} \bm{SCD}\phantom{^9_9}} \end{array}$

Uma vez que sabemos que o sistema é um Sistema Determinado Compatível (DCS), aplicamos a regra de Cramer para resolvê-lo. Para fazer isso, lembre-se que a matriz A, seu determinante e a matriz A’ são:

$\displaystyle \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & m & 2 \\[1.1ex] 3 & 0 & m \end{vmatrix} = m^2-5m+6$

Para calcular x com a regra de Cramer, trocamos a primeira coluna do determinante da matriz A pela coluna dos termos independentes e dividimos pelo determinante de A:

$\displaystyle\bm{x} = \cfrac{\begin{vmatrix} 2 & 1 & 2\\[1.1ex]0&m&2 \\[1.1ex] 4 & 0 & m \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{2m^2+8-8m}{m^2-5m+6}$

Para calcular y com a regra de Cramer, trocamos a segunda coluna do determinante de A pela coluna dos termos independentes e dividimos pelo determinante de A:

$\displaystyle \bm{y} = \cfrac{\begin{vmatrix}1 & 2 & 2 \\[1.1ex] -1 & 0 & 2 \\[1.1ex] 3 & 4 & m \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}}=\cfrac{-4+2m}{m^2-5m+6}$

Para calcular z com a regra de Cramer, trocamos a terceira coluna do determinante de A pela coluna dos termos independentes e dividimos pelo determinante de A:

$\displaystyle \bm{z} = \cfrac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & m & 0 \\[1.1ex] 3 & 0 & 4\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{-2m+4}{m^2-5m+6}$

Portanto, a solução do sistema de equações para o caso m≠3 e m≠2 é:

$\displaystyle \bm{x =} \cfrac{\bm{2m^2+8-8m}}{\bm{m^2-5m+6}} \qquad \bm{y=} \cfrac{\bm{-4+2m}}{\bm{m^2-5m+6}} \qquad \bm{z =} \cfrac{\bm{-2m+4}}{\bm{m^2-5m+6}}$

Como você pode ver, neste caso a solução do sistema de equações é função de m.

Uma vez encontrada a solução para quando m é diferente de 2 e 3, resolveremos o sistema para quando m é igual a 2:

m=2:

Analisaremos agora o sistema quando o parâmetro m for igual a 2. Neste caso as matrizes A e A’ são:

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc}1 & 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & 2 & 2 \\[1.1ex] 3 & 0 & 2 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 2 \\[1.1ex] -1 & 2 & 2 & 0 \\[1.1ex] 3 & 0 & 2 & 4 \end{array} \right)$

Como vimos anteriormente, quando m=2 o determinante de A é 0. Portanto, a matriz A não é de posto 3. Mas dentro dela possui 2×2 determinantes diferentes de 0, por exemplo:

$\displaystyle \begin{vmatrix}1 & 1 \\[1.1ex] -1 & 2 \end{vmatrix} = 2 - (-1)=3 \neq 0$

Então, neste caso , a classificação de A é 2 :

$\displaystyle rg(A)=2$

Uma vez conhecida a classificação da matriz A, calculamos a classificação de A’. O determinante das 3 primeiras colunas dá 0, então tentamos os outros determinantes 3×3 possíveis na matriz A’:

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \\[1.1ex] 2 & 2 & 0 \\[1.1ex] 0 & 2 & 4 \end{vmatrix} = 0 \qquad \begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \\[1.1ex] -1 & 2 & 0 \\[1.1ex] 3 & 2 & 4 \end{vmatrix}=0\qquad \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & 2 & 0 \\[1.1ex] 3 & 0 & 4\end{vmatrix}=0$

Todos os determinantes possíveis de dimensão 3×3 dão 0. Mas, obviamente, a matriz A’ tem o mesmo determinante 2×2 diferente de 0 que a matriz A:

$\displaystyle \begin{vmatrix}1 & 1 \\[1.1ex] -1 & 2 \end{vmatrix} = 2 - (-1)=3 \neq 0$

Portanto, a matriz A’ também é de posto 2 :

$\displaystyle rg(A')=2$

Assim, como o posto da matriz A é igual ao posto da matriz A’ mas estes dois são menores que o número de incógnitas do sistema (3), sabemos pelo teorema de Rouché-Frobenius que este é um sistema indeterminadamente compatível (ICS):

$\displaystyle \begin{array}{c} \begin{array}{c} \color{black}rg(A) = 2 \\[1.3ex] \color{black}rg(A')=2 \\[1.3ex] \color{black}\text{N\'umero de inc\'ognitas} = 3 \end{array}} \\ \\ \color{blue} \boxed{ \color{black}\phantom{^9_9} rg(A) = rg(A') = 2 \ < \ n =3 \color{blue} \ \bm{\longrightarrow} \ \color{black} \bm{SCI}\phantom{^9_9}} \end{array}$

Por se tratar de um ICS, precisamos transformar o sistema para resolvê-lo. Para isso, devemos primeiro eliminar uma equação do sistema, neste caso iremos deletar a última equação:

$\begin{cases} x+y+2z= 2 \\[1.5ex] -x+2y+2z=0 \\[1.5ex] \cancel{3x+2z = 4} \end{cases} \longrightarrow \quad \begin{cases} x+y+2z= 2 \\[1.5ex] -x+2y+2z=0\end{cases}$

Agora vamos converter a variável z em λ:

$\begin{cases}x+y+2z= 2 \\[1.5ex] -x+2y+2z=0 \end{cases} \xrightarrow{z \ = \ \lambda}\quad \begin{cases} x+y+2\lambda= 2 \\[1.5ex] -x+2y+2\lambda=0\end{cases}$

E colocamos os termos com λ com os termos independentes:

$\begin{cases}x+y=2-2\lambda \\[1.5ex] -x+2y=-2\lambda \end{cases}$

Portanto, a matriz A e a matriz A’ do sistema permanecem:

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 \\[1.1ex] -1 & 2 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 2 -2\lambda \\[1.1ex] -1 & 2 & -2\lambda \end{array} \right)$

Finalmente, uma vez transformado o sistema, aplicamos a regra de Cramer . Para fazer isso, primeiro resolvemos o determinante de A:

$\displaystyle \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 1 \\[1.1ex] -1 & 2\end{vmatrix} =2-(-1)=3$

Para calcular x com a regra de Cramer, trocamos a primeira coluna do determinante de A pela coluna dos termos independentes e dividimos pelo determinante de A:

$\displaystyle \bm{x} = \cfrac{\begin{vmatrix} 2 -2\lambda & 1 \\[1.1ex] -2\lambda & 2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{4-4\lambda-(-2\lambda)}{3} = \cfrac{\bm{4-2\lambda}}{\bm{3}}$

Para calcular y com a regra de Cramer, trocamos a segunda coluna do determinante de A pela coluna dos termos independentes e dividimos pelo determinante de A:

$\displaystyle \bm{y} = \cfrac{\begin{vmatrix} 1 & 2 -2\lambda \\[1.1ex] -1 & -2\lambda \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}}=\cfrac{-2\lambda -(-2+2\lambda)}{3} = \cfrac{\bm{2-4\lambda} }{\bm{3}}$

De modo que quando m=2 a solução do sistema de equações é função de λ, pois é um SCI e portanto possui infinitas soluções:

$\displaystyle \bm{x =} \cfrac{\bm{4-2\lambda}}{\bm{3}} \qquad \bm{y=}\cfrac{\bm{2-4\lambda}}{\bm{3}} \qquad \bm{z=\lambda}$

Já analisamos a solução do sistema quando o parâmetro m é diferente de 2 e 3, e quando é igual a 2. Portanto, precisamos apenas do último caso: quando m assume o valor de 3:

m=3:

Analisaremos agora o que acontece quando o parâmetro m é 3. Neste caso as matrizes A e A’ são:

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc}1 & 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & 3 & 2 \\[1.1ex] 3 & 0 & 3 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 2 \\[1.1ex] -1 & 3 & 2 & 0 \\[1.1ex] 3 & 0 & 3 & 4 \end{array} \right)$

Como vimos anteriormente, quando m=3 o determinante de A é 0. Portanto a matriz A não é de posto 3. Mas dentro dela possui 2×2 determinantes diferentes de 0, por exemplo:

$\displaystyle \begin{vmatrix}1 & 1 \\[1.1ex] -1 & 3 \end{vmatrix} = 3 - (-1)=4 \neq 0$

Então, neste caso , a classificação de A é 2 :

$\displaystyle rg(A)=2$

Uma vez conhecida a classificação da matriz A, calculamos a classificação de A’. O determinante das 3 primeiras colunas dá 0, portanto tentamos outro determinante 3×3 que está dentro da matriz A’, por exemplo o das 3 últimas colunas:

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \\[1.1ex] 3 & 2 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3 & 4\end{vmatrix}=2$

Por outro lado, a matriz A’ contém um determinante cujo resultado é diferente de 0, portanto a matriz A’ é de posto 3 :

$\displaystyle rg(A')=3$

Assim, quando m = 3, o posto da matriz A é inferior ao posto da matriz A’. Assim, do teorema de Rouché-Frobenius, deduzimos que o sistema é um Sistema Incompatível (SI) :

$\displaystyle \begin{array}{c} \begin{array}{c} \color{black}rg(A) = 2 \\[1.3ex] \color{black}rg(A')=3 \\[1.3ex] \color{black}\text{N\'umero de inc\'ognitas}=3\end{array}} \\ \\ \color{blue} \boxed{ \color{black}\phantom{^9_9} rg(A)=2 \ \neq \ rg(A') = 3 \color{blue} \ \bm{\longrightarrow} \ \color{black} \bm{SI}\phantom{^9_9}} \end{array}$

Portanto, o sistema de equações não tem solução quando m = 3.

Resumo do exemplo:

Como vimos, a solução do sistema de equações depende do valor do parâmetro m . Aqui está o resumo de todos os casos possíveis:

m≠3 e m≠2:

$\displaystyle \bm{SCD} \longrightarrow \begin{cases} x = \cfrac{2m^2+8-8m}{m^2-5m+6} \\[3.5ex] y =\cfrac{-4+2m}{m^2-5m+6} \\[3.5ex] z = \cfrac{-2m+4}{m^2-5m+6} \end{cases}$

m=2:

$\displaystyle \bm{SCI} \longrightarrow \begin{cases} x = \cfrac{4-2\lambda}{3} \\[3.5ex] y= \cfrac{2-4\lambda}{3} \\[3.5ex] z = \lambda \end{cases}$

m=3:

$\displaystyle \bm{SI} \longrightarrow$

O sistema não tem solução.

Aqui fizemos todo o processo usando o teorema de Rouche e a regra de Cramer, mas sistemas de equações com parâmetros também podem ser discutidos e resolvidos pelo método de Gauss (com exercícios) . Você pode aprender mais sobre este método na página do link, onde encontrará uma explicação detalhada do procedimento, bem como exemplos e exercícios resolvidos passo a passo.

Problemas de discussão resolvidos de sistemas de equações lineares com parâmetros

Exercício 1

Discuta e resolva o seguinte sistema de equações lineares dependentes de parâmetros:

exercício resolvido de sistemas de equações com parâmetros

veja solução

Primeiro fazemos a matriz A e a matriz estendida A’ do sistema:

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} 4 & -1 & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 & -3 \\[1.1ex] 3 & -2 & -m \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c}4 & -1 & 1 & 0 \\[1.1ex] 1 & 1 & -3 & 0 \\[1.1ex] 3 & -2 & -m & 0\end{array} \right)$

Devemos agora encontrar o posto da matriz A. Para isso, verificamos se o determinante de toda a matriz é diferente de 0:

$\displaystyle \begin{aligned}\begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 4 & -1 & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 & -3 \\[1.1ex] 3 & -2 & -m \end{vmatrix} & =-4m+9-2-3-24-m \\ & =-5m-20 \end{aligned}$

O resultado do determinante de A depende do valor de m. Veremos, portanto, para quais valores de m o determinante desaparece. Para fazer isso, igualamos o resultado resultante a 0 e resolvemos a equação:

$-5m-20 = 0$

$-5m = 20$

$m = \cfrac{20}{-5} = -4$

Assim, quando m for -4, o determinante de A será 0. E quando m for diferente de -4, o determinante de A será diferente de 0. Devemos, portanto, analisar cada caso separadamente:

m≠-4:

Como acabamos de ver, quando o parâmetro m é diferente de -4, o determinante da matriz A é diferente de 0. Portanto, o posto de A é 3.

$\displaystyle rg(A)=3$

Além disso, o posto da matriz A’ também é 3, porque dentro dela existe uma submatriz 3×3 cujo determinante é diferente de 0. E não pode ser de posto 4 pois ‘não podemos fazer um determinante 4×4.

$\displaystyle rg(A')=3$

Portanto, aplicando o teorema de Rouché-Frobenius, sabemos que este é um sistema determinado compatível (SCD), pois o contradomínio de A é igual ao contradomínio de A’ e ao número de incógnitas.

Uma vez sabendo que o sistema é um SCD, aplicamos a regra de Cramer para resolvê-lo. Para fazer isso, lembre-se que a matriz A, seu determinante e a matriz A’ são:

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} 4 & -1 & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 & -3 \\[1.1ex] 3 & -2 & -m \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c} 4 & -1 & 1 & 0 \\[1.1ex] 1 & 1 & -3 & 0 \\[1.1ex] 3 & -2 & -m & 0\end{array} \right)$

$\displaystyle \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 4 & -1 & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 & -3 \\[1.1ex] 3 & -2 & -m\end{vmatrix} =-5m-20$

Para calcular xatex] com a regra de Cramer, trocamos a primeira coluna do determinante de A pela coluna de termos independentes e dividimos pelo determinante de A:

$\displaystyle \bm{x} = \cfrac{\begin{vmatrix} 0 & -1 & 1 \\[1.1ex] 0 & 1 & -3 \\[1.1ex] 0 & -2 & -m\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{0}{-5m-20} = \bm{0}$

Para calcular a incógnita e com a regra de Cramer, trocamos a segunda coluna do determinante de A pela coluna de termos independentes e dividimos pelo determinante de A:

$\displaystyle \bm{y} = \cfrac{\begin{vmatrix} 4 & 0 & 1 \\[1.1ex] 1 & 0 & -3 \\[1.1ex] 3 & 0 & -m \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{0}{-5m-20} = \bm{0}$

Para calcular z com a regra de Cramer, trocamos a terceira coluna do determinante de A pela coluna dos termos independentes e dividimos pelo determinante de A:

$\displaystyle \bm{z} = \cfrac{\begin{vmatrix}4 & -1 & 0 \\[1.1ex] 1 & 1 & 0 \\[1.1ex] 3 & -2 & 0 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{0}{-5m-20} = \bm{0}$

Portanto, a solução do sistema de equações para o caso m≠-4 é:

x=0 y=0 z=0

m=-4:

Analisaremos agora o sistema quando o parâmetro m for -4. Neste caso as matrizes A e A’ são:

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} 4 & -1 & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 & -3 \\[1.1ex] 3 & -2 & 4 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c}4 & -1 & 1 & 0 \\[1.1ex] 1 & 1 & -3 & 0 \\[1.1ex] 3 & -2 & 4 & 0\end{array} \right)$

Como vimos anteriormente, quando m=-4 o determinante de A é 0. Portanto, a matriz A não é de posto 3. Mas dentro dela possui 2×2 determinantes diferentes de 0, por exemplo:

$\displaystyle \begin{vmatrix}4 & -1 \\[1.1ex] 1 & 1 \end{vmatrix} =4-(-1)=5 \neq 0$

Como a matriz possui um determinante de ordem 2 diferente de 0, a matriz A é de posto 2:

$\displaystyle rg(A)=2$

Uma vez conhecida a classificação de A, calculamos a classificação de A’. Já sabemos que o determinante das 3 primeiras colunas dá 0, então tentamos os outros determinantes 3×3 possíveis:

$\displaystyle \begin{vmatrix} -1 & 1 & 0 \\[1.1ex] 1 & -3 & 0 \\[1.1ex] -2 & 4 & 0 \end{vmatrix} = 0 \quad \begin{vmatrix}4 & 1 & 0 \\[1.1ex] 1 & -3 & 0 \\[1.1ex] 3 & 4 & 0 \end{vmatrix} = 0 \quad \begin{vmatrix}4 & -1 & 0 \\[1.1ex] 1 & 1 & 0 \\[1.1ex] 3 & -2 & 0\end{vmatrix} = 0$

Todos os determinantes 3×3 da matriz A’ são 0, então a matriz A’ também não terá classificação 3. Porém, dentro dele possui determinantes de ordem 2 diferentes de 0. Por exemplo:

$\displaystyle \begin{vmatrix}4 & -1 \\[1.1ex] 1 & 1 \end{vmatrix} =4-(-1)=5 \neq 0$

Portanto, a matriz A’ será de posto 2:

$\displaystyle rg(A')=2$

A extensão da matriz A é igual à extensão da matriz A’ mas estas duas são menores que o número de incógnitas no sistema (3), portanto, de acordo com o teorema de Rouché-Frobenius, c é um Sistema Compatível Indeterminado (ICS):

É um sistema ICS, então precisamos transformar o sistema para resolvê-lo. Primeiro eliminamos uma equação, que neste caso será a última:

$\begin{cases} 4x-y+z= 0 \\[1.5ex] x+y-3z=0 \\[1.5ex] \cancel{3x-2y+4z = 0} \end{cases} \longrightarrow \quad \begin{cases} 4x-y+z= 0 \\[1.5ex] x+y-3z=0\end{cases}$

Agora vamos converter a variável z em λ:

$\begin{cases}4x-y+z= 0 \\[1.5ex] x+y-3z=0 \end{cases} \xrightarrow{z \ = \ \lambda}\quad \begin{cases} 4x-y+\lambda= 0 \\[1.5ex] x+y-3\lambda=0\end{cases}$

E colocamos os termos com λ com os termos independentes:

$\begin{cases} 4x-y=-\lambda \\[1.5ex] x+y=3\lambda \end{cases}$

Tal que a matriz A e a matriz A’ do sistema permanecem:

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} 4 & -1 \\[1.1ex] 1 & 1 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{cc|c} 4 & -1 & -\lambda \\[1.1ex] 1 & 1 & 3\lambda \end{array} \right)$

Finalmente, uma vez transformado o sistema, aplicamos a regra de Cramer. Para fazer isso, primeiro resolvemos o determinante de A:

$\displaystyle \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 4 & -1 \\[1.1ex] 1 & 1 \end{vmatrix} = 4-(-1)=5$

Para calcular x com a regra de Cramer, trocamos a primeira coluna do determinante de A pela coluna dos termos independentes e dividimos pelo determinante de A:

$\displaystyle \bm{x} = \cfrac{\begin{vmatrix}-\lambda & -1 \\[1.1ex] 3\lambda & 1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{-\lambda-(-3\lambda)}{5} =\cfrac{\bm{2\lambda}}{\bm{5}}$

Para calcular a incógnita e com a regra de Cramer, trocamos a segunda coluna do determinante de A pela coluna de termos independentes e dividimos pelo determinante de A:

$\displaystyle \bm{y} = \cfrac{\begin{vmatrix} 4 & -\lambda \\[1.1ex] 1 & 3\lambda \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{12\lambda-(-\lambda)}{5}=\cfrac{\bm{13\lambda}}{\bm{5}}$

De modo que quando m=-4 a solução do sistema de equações é função de λ, pois é um SCI e portanto possui infinitas soluções:

$\displaystyle \bm{x =}\cfrac{\bm{2\lambda}}{\bm{5}}\qquad \bm{y=}\cfrac{\bm{13\lambda}}{\bm{5}} \qquad \bm{z=\lambda}$

Exercício 2

Discuta e encontre a solução para o seguinte sistema de equações lineares dependentes de parâmetros:

exercício resolvido sistema passo a passo de equações lineares com parâmetros

veja solução

A primeira coisa a fazer é a matriz A e a matriz estendida A’ do sistema:

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} m & 2 & 1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 \\[1.1ex] 1 & -2 & m\end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c}m & 2 & 1 & 2 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 & 0 \\[1.1ex] 1 & -2 & m & 3\end{array} \right)$

Devemos agora encontrar o posto da matriz A. Para isso, verificamos se o determinante de toda a matriz é diferente de 0:

$\displaystyle \begin{aligned}\begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}m & 2 & 1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 \\[1.1ex] 1 & -2 & m\end{vmatrix} & =4m^2+4-4-4+4m-4m \\ & =4m^2-4 \end{aligned}$

$4m^2-4 = 0$

$4m^2=4$

$m^2 = \cfrac{4}{4}$

$m^2 = 1$

$m = \pm 1$

Assim, quando m for +1 ou -1, o determinante de A será 0. E quando m for diferente de +1 e -1, o determinante de A será diferente de 0. Devemos, portanto, analisar cada caso por:

m≠+1 e m≠-1:

Como acabamos de ver, quando o parâmetro m é diferente de +1 e -1, o determinante da matriz A é diferente de 0. Portanto, o posto de A é 3.

$\displaystyle rg(A)=3$

$\displaystyle rg(A')=3$

Uma vez sabendo que o sistema é um SCD, aplicamos a regra de Cramer para resolvê-lo. Para fazer isso, lembre-se que a matriz A, seu determinante e a matriz A’ são:

$\displaystyle \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}m & 2 & 1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 \\[1.1ex] 1 & -2 & m\end{vmatrix}=4m^2-4$

Para calcular x com a regra de Cramer, trocamos a primeira coluna do determinante de A pela coluna dos termos independentes e dividimos pelo determinante de A:

$\displaystyle \bm{x} = \cfrac{\begin{vmatrix} 2& 2 & 1 \\[1.1ex] 0 & 4 & 2 \\[1.1ex] 3 & -2 & m\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{\bm{8m+8}}{\bm{4m^2-4}}$

Para calcular a incógnita e com a regra de Cramer, trocamos a segunda coluna do determinante de A pela coluna de termos independentes e dividimos pelo determinante de A:

$\displaystyle \bm{y} = \cfrac{\begin{vmatrix} m & 2 & 1 \\[1.1ex] 2 & 0 & 2 \\[1.1ex] 1 & 3 & m\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{\bm{-10m+10}}{\bm{4m^2-4}}$

Para calcular z com a regra de Cramer, trocamos a terceira coluna do determinante de A pela coluna dos termos independentes e dividimos pelo determinante de A:

$\displaystyle \bm{z} = \cfrac{\begin{vmatrix}m & 2 & 2 \\[1.1ex] 2 & 4 & 0 \\[1.1ex] 1 & -2 & 3 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{\bm{12m-28}}{\bm{4m^2-4}}$

Portanto, a solução do sistema de equações para o caso m≠+1 e m≠-1 é:

$\displaystyle \bm{x = }\cfrac{\bm{8m+8}}{\bm{4m^2-4}} \qquad \bm{y=}\cfrac{\bm{-10m+10}}{\bm{4m^2-4}}\qquad \bm{z =} \cfrac{\bm{12m-28}}{\bm{4m^2-4}}$

m=+1:

Analisaremos agora o sistema quando o parâmetro m for igual a 1. Neste caso as matrizes A e A’ são:

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 \\[1.1ex] 1 & -2 & 1 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c}1 & 2 & 1 & 2 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 & 0 \\[1.1ex] 1 & -2 & 1 & 3\end{array} \right)$

Como vimos anteriormente, quando m=+1 o determinante de A é 0. Portanto a matriz A não é de posto 3. Mas dentro dela possui 2×2 determinantes diferentes de 0, por exemplo:

$\displaystyle \begin{vmatrix}2 & 4\\[1.1ex] 1 & -2 \end{vmatrix} =-4-4=-8 \neq 0$

Como a matriz possui um determinante de ordem 2 diferente de 0, a matriz A é de posto 2:

$\displaystyle rg(A)=2$

Uma vez conhecida a classificação de A, calculamos a classificação de A’. Já sabemos que o determinante das 3 primeiras colunas dá 0, então agora tentamos, por exemplo, com o determinante das 3 últimas colunas:

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2 & 1 & 2 \\[1.1ex] 4 & 2 & 0 \\[1.1ex] -2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 16$

Por outro lado, a matriz A’ contém um determinante 3×3 cujo resultado é diferente de 0, de modo que a matriz A’ é de posto 3:

$\displaystyle rg(A')=3$

Assim, quando m=+1 o posto da matriz A é menor que o posto da matriz A’. Assim, do teorema de Rouché-Frobenius, deduzimos que o sistema é um Sistema Incompatível (SI):

$\displaystyle \begin{array}{c} \begin{array}{c} \color{black}rg(A) = 2 \\[1.3ex] \color{black}rg(A')=3 \\[1.3ex] \color{black}\text{N\'umero de inc\'ognitas} = 3 \end{array}} \\ \\ \color{blue} \boxed{ \color{black}\phantom{^9_9} rg(A) = 2 \ \neq \ rg(A') = 3 \color{blue} \ \bm{\longrightarrow} \ \color{black} \bm{SI}\phantom{^9_9}} \end{array}$

Portanto, o sistema de equações não tem solução quando m=+1 , pois é um sistema incompatível.

m=-1:

Analisaremos agora o sistema quando o parâmetro m for -1. Neste caso as matrizes A e A’ são:

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} -1 & 2 & 1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 \\[1.1ex] 1 & -2 & -1 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c}-1 & 2 & 1 & 2 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 & 0 \\[1.1ex] 1 & -2 & -1 & 3\end{array} \right)$

Como vimos anteriormente, quando m=-1 o determinante de A é 0. Portanto, a matriz A não é de posto 3. Mas dentro dela possui 2×2 determinantes diferentes de 0, por exemplo:

$\displaystyle \begin{vmatrix}-1 & 2\\[1.1ex] 2 & 4 \end{vmatrix} =-4-4=-8 \neq 0$

Como a matriz possui um determinante de ordem 2 diferente de 0, a matriz A é de posto 2:

$\displaystyle rg(A)=2$

$\displaystyle \begin{vmatrix} -1 & 1 & 2 \\[1.1ex] 2 & 2 & 0 \\[1.1ex] 1 & -1 & 3\end{vmatrix} = -20$

Por outro lado, a matriz A’ contém um determinante 3×3 cujo resultado é diferente de 0, de modo que a matriz A’ é de posto 3:

$\displaystyle rg(A')=3$

Assim, quando m = -1, o posto da matriz A é inferior ao posto da matriz A’. Assim, do teorema de Rouché-Frobenius, deduzimos que o sistema é um Sistema Incompatível (SI):

$\displaystyle \begin{array}{c} \begin{array}{c} \color{black}rg(A) = 2 \\[1.3ex] \color{black}rg(A')=3 \\[1.3ex] \color{black}\text{N\'umero de inc\'ognitas} = 3 \end{array}} \\ \\ \color{blue} \boxed{ \color{black}\phantom{^9_9} rg(A) = 2 \ \neq \ rg(A') = 3 \color{blue} \ \bm{\longrightarrow} \ \color{black} \bm{SI}\phantom{^9_9}} \end{array}$

Portanto, o sistema de equações não tem solução quando m=-1 , pois é um sistema incompatível.

Exemplo de sistema de equações lineares com parâmetros

Resumo do exemplo:

Problemas de discussão resolvidos de sistemas de equações lineares com parâmetros

Exercício 1

Exercício 2

Deixe um comentário Cancelar resposta