Diferenciabilidade de uma função

setembro 17, 2023

Neste artigo você aprenderá como estudar a diferenciabilidade de uma função, ou seja, se uma função é diferenciável ou não. Além disso, veremos a relação entre diferenciabilidade e continuidade de uma função. E, finalmente, estudaremos a diferenciabilidade de uma função por partes.

Diferenciabilidade e continuidade de uma função

A continuidade e a diferenciabilidade de uma função em um ponto estão relacionadas da seguinte forma:

Se uma função é diferenciável num ponto, a função é contínua nesse ponto.
Se uma função não é contínua num ponto, também não é diferenciável nesse ponto.

No entanto, o inverso deste teorema é falso: só porque uma função é contínua num ponto não significa que seja sempre diferenciável nesse ponto.

Você também pode ver se uma função é ou não diferenciável em um ponto a partir de sua representação gráfica:

Se for um ponto suave, a função é diferenciável neste ponto.
Se for um ponto angular, a função é contínua, mas não diferenciável neste ponto.

Ponto de suavização em x=0:
função contínua e diferenciável neste estágio.

Ponto angular em x=2:
função contínua, mas não diferenciável neste estágio.

Derivabilidade de uma função por partes

Assim que conhecermos a relação entre continuidade e diferenciabilidade de uma função, veremos como estudar a diferenciabilidade de uma função definida por partes.

Você pode saber se uma função por partes é diferenciável em um ponto calculando as derivadas laterais nesse ponto:

Se as derivadas laterais num ponto não forem iguais, a função não é diferenciável nesse ponto:

$f'(x_o^-) \neq f'(x_o^+) \ \longrightarrow$

Não é dedutível em

$x_o$

Se as derivadas laterais num ponto coincidem, a função é diferenciável nesse ponto:

$f'(x_o^-) = f'(x_o^+) \ \longrightarrow$

Sim, é diferenciável em

$x_o$

Nota: Para que uma função seja diferenciável num ponto, a função deve ser contínua nesse ponto. Portanto, antes de calcular as derivadas laterais, precisamos de garantir que a função é contínua nesse ponto. Se você não sabe como se estuda a continuidade em um ponto, pode ver como se faz no seguinte link:

➤ Veja: continuidade de uma função em um ponto

Agora vamos ver um exemplo de como calcular a derivada de uma função definida por partes em um ponto:

Estude a continuidade e a diferenciabilidade da seguinte função definida por partes no ponto x=2:

$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 3x^2-6x & \text{si} & x<2 \\[2ex] 6\ln (x-1) & \text{si} & x\geq 2 \end{array} \right.$

As funções das duas partes são contínuas em seus respectivos intervalos, porém é necessário verificar se a função é contínua no ponto crítico x=2. Para fazer isso, resolvemos os limites laterais da função no ponto:

$\lim\limits_{x\to 2^-} f(x) = \lim\limits_{x\to 2^-} \bigl(3x^2-6x\bigr) = 3\cdot2^2-6\cdot2=12-12=\bm{0}$

$\lim\limits_{x\to 2^+} f(x) = \lim\limits_{x\to 2^+} 6\ln (x-1) = 6\ln (2-1)=6 \ln 1=6 \cdot 0= \bm{0}$

Os limites laterais no ponto crítico nos deram o mesmo resultado, então a função é contínua no ponto x=2.

Assim que soubermos que a função é contínua em x=2, estudaremos a diferenciabilidade da função nesse ponto. Para fazer isso, calculamos as derivadas laterais da função definida em partes:

$\displaystyle f'(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 6x-6 & \text{si} & x<2 \\[2ex] \cfrac{6}{x-1} & \text{si} & x\geq 2 \end{array} \right.$

Agora avaliamos cada derivada lateral no ponto crítico:

$f'(2^-)=6\cdot2-6=12-6 = \bm{6}$

$f'(2^+)=\cfrac{6}{2-1} = \cfrac{6}{1} = \bm{6}$

As duas derivadas laterais nos deram o mesmo resultado, então a função é diferenciável em x=2 e o valor da derivada é 6:

$f'(2^-) = f'(2^+) = 6 \ \longrightarrow \ \bm{f'(2) = 6}$

Por outro lado, se as derivadas laterais nos tivessem dado um resultado diferente, isso significaria que a função não é diferenciável em x=2. Em outras palavras, a derivada não existiria neste ponto.

Por fim, basta lembrar que este procedimento também é válido para estudar a diferenciabilidade de uma função de valor absoluto, uma vez que funções de valor absoluto também podem ser definidas por partes. Você pode ver como converter uma função de valor absoluto em partes aqui:

➤ Veja: como definir por partes uma função com valor absoluto

Exercícios resolvidos sobre a diferenciabilidade de uma função

Exercício 1

Estude a continuidade e a diferenciabilidade da seguinte função por partes:

$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} x^3-4x^2 + 5 & \text{si} & x<1 \\[2ex] -x^2+3x & \text{si} & x\geq 1 \end{array} \right.$

Veja a solução

As funções das duas partes são contínuas, mas devemos ver se a função é contínua no ponto crítico x=1. Para fazer isso resolvemos os limites laterais da função no ponto:

$\lim\limits_{x\to 1^-} f(x) = \lim\limits_{x\to 1^-} \bigl(x^3-4x^2 + 5\bigr)=1^3-4\cdot 1^2 + 5=2$

$\lim\limits_{x\to 1^+} f(x) = \lim\limits_{x\to 1^+} \bigl( -x^2+3x \bigr)=-1^2+3\cdot 1=2$

Os dois limites laterais no ponto crítico dão o mesmo resultado, então a função é contínua em x=1.

Uma vez sabendo que a função é contínua no ponto crítico, estudaremos se ela é diferenciável no mesmo ponto. Portanto, calculamos as derivadas laterais:

$\displaystyle f'(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 3x^2-8x & \text{si} & x<1 \\[2ex] -2x+3 & \text{si} & x\geq 1 \end{array} \right.$

E avaliamos as duas derivadas laterais em x=1;

$f'(1^-)=3\cdot1^2-8\cdot 1=3-8=-5$

$f'(1^+)=-2\cdot 1+3=-2+3 =1$

As derivadas laterais não coincidem no ponto x=1 então a função não é diferenciável neste ponto.

$f'(1^-) \neq f'(1^+) \ \longrightarrow \ \cancel{\exists} \ f'(1)$

Exercício 2

Analise a diferenciabilidade e continuidade da seguinte função definida nas seções:

$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} \sqrt{4x} & \text{si} & x\leq 1 \\[2ex] 2+\ln x & \text{si} & x> 1 \end{array} \right.” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”65″ width=”226″ style=”vertical-align: 0px;”></p> </p> <div class=$

Veja a solução

As funções das duas seções são contínuas em seus intervalos, mas também é necessário saber se a função é contínua no ponto crítico de mudança de definição x=1. Portanto, definimos os limites laterais da função neste ponto:

$\lim\limits_{x\to 1^-} f(x) = \lim\limits_{x\to 1^-} \sqrt{4x} = \sqrt{4\cdot 1} = \sqrt{4}=2$

$\lim\limits_{x\to 1^+} f(x) = \lim\limits_{x\to 1^+} \bigl( 2+\ln x \bigr) = 2 + \ln (1) = 2+0 =2$

Os dois limites laterais no ponto crítico dão o mesmo resultado, então a função é contínua em x=1.

E agora estudamos se a função é derivável neste ponto calculando as derivadas laterais:

$\displaystyle f'(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} \cfrac{4}{2\sqrt{4x}} & \text{si} & x<1 \\[4ex] \cfrac{1}{x} & \text{si} & x\geq 1 \end{array} \right.$

Avaliamos as duas derivadas laterais em x=1:

$f'(1^-)=\cfrac{4}{2\sqrt{4\cdot1}}=\cfrac{4}{2\sqrt{4}}=\cfrac{4}{2\cdot 2}=\cfrac{4}{4}=1$

$f'(1^+)=\cfrac{1}{1}=1$

As derivadas laterais são iguais, então a função é diferenciável em x=1 e o valor da derivada é 1.

$f'(1^-) = f'(1^+) = 1 \ \longrightarrow \ \bm{f'(1) = 1}$

Exercício 3

Determine se a seguinte função por partes é contínua e diferenciável em todo o seu domínio:

 *** QuickLaTeX cannot compile formula:
\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} x^2+2x+1 & \text{si} & x\leq -1 \\[2ex] 2x+2 & \text{ si} & -1<div class="wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF" role="button" tabindex="0" aria- expanded="false" data-otfm-spc="#E6F9EF" style="text-align:center"><div class="otfm-sp__title"> <strong>View solution</strong></div>< /div> The functions of all three parts are continuous, but we still need to check if the function is continuous at critical points. We therefore first check the continuity of the function at the point x=-1 by solving the lateral limits at this point:

*** Error message:
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Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...g></div></div> The functions of the three parts
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...are continuous, but we still need to see

\lim\limits_{x\to -1^-} f(x) = \lim\limits_{x\to -1^-} \bigl(x^2+2x+1\bigr) = (-1)^ 2+2(-1)+1 =0 \lim\limits_{x\to -1^+} f(x) = \lim\limits_{x\to -1^+} \bigl(2x+2\bigr ) = 2(-1)+2=0

$Les deux limites latérales au point x=-1 donnent le même résultat, donc la fonction est continue en x=-1. Nous allons maintenant vérifier si la fonction est continue ou non au point x=2 :$

\lim\limits_{x\to 2^-} f(x) = \lim\limits_{x\to 2^-} \bigl(2x+2\bigr) = 2\cdot 2+2=4+2= 6 \lim\limits_{x\to 2^+} f(x) = \lim\limits_{x\to 2^+} \bigl( -x^2+8x\bigr) = -2^2+8\ cponto 2 = -4+16=12

$En revanche, les limites latérales au point x=2 ne donnent pas le même résultat, donc la fonction n'est pas continue en x=2. De plus, comme il n'est pas continu à ce stade, il ne sera pas non plus dérivable à x=2. Une fois que l'on a étudié la continuité de la fonction, on passe à la différentiabilité. On calcule donc les dérivées latérales :$

\displaystyle f'(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 2x+2 & \text{si} & x\leq -1 \\[2ex] 2 & \text{si} & -1

Já sabemos que a função não é diferenciável em x=2, então só precisamos estudar se a função é diferenciável em x=-1. Para fazer isso, avaliamos as duas derivadas laterais no ponto:

$f'(-1^-)=2(-1)+2 = -2+2=0$

$f'(-1^+)=2$

As derivadas laterais não coincidem no ponto x=-1, então a função não é diferenciável nesse ponto.

$f'(-1^-) \neq f'(-1^+) \ \longrightarrow \ \cancel{\exists} \ f'(-1)$

Exercício 4

Calcule o valor dos parâmetros a e b para que a seguinte função por partes seja contínua e diferenciável em todo o seu domínio:

$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 2e^{x-3} + a & \text{si} & x< 3 \\[2ex](x-b)^2 & \text{si} & x\geq 3 \end{array} \right.$

Veja a solução

Quaisquer que sejam os valores das incógnitas, a função é contínua e diferenciável em todos os pontos exceto em x=3, onde sua continuidade e diferenciabilidade devem ser verificadas.

Para que a função seja contínua num ponto, os dois limites laterais nesse ponto devem coincidir. Portanto, avaliamos os limites laterais no ponto crítico:

$\lim\limits_{x\to 3^-} f(x) = \lim\limits_{x\to 3^-} \bigl(2e^{x-3}+a\bigr) = 2e^{3-3}+a = 2 \cdot e^0+a =2\cdot 1 +a = 2+a$

$\lim\limits_{x\to 3^+} f(x) = \lim\limits_{x\to 3^+} (x-b)^2 = (3-b)^2$

Os dois valores obtidos nos limites laterais devem, portanto, ser iguais para que a função seja contínua:

$2+a = (3-b)^2$

Analisaremos agora a diferenciabilidade no ponto x=3. Encontramos as derivadas laterais:

$\displaystyle f'(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 2e^{x-3} & \text{si} & x< 3 \\[2ex]2(x-b) & \text{si} & x\geq 3 \end{array} \right.$

E avaliamos as duas derivadas laterais no ponto crítico:

$f'(3^-)= 2e^{3-3} = 2e^0 = 2\cdot 1 = 2$

$f'(3^+)=2(3-b) = 6 - 2b$

Portanto, para que a função seja diferenciável em x=3, os valores obtidos das derivadas laterais devem ser iguais:

$2=6-2b$

E resolvendo esta equação podemos encontrar o valor de b:

$2b=6-2$

$2b=4$

$b=\cfrac{4}{2} =\bm{2}$

Finalmente, uma vez conhecido o valor do parâmetro b, podemos calcular o valor do parâmetro a resolvendo a equação que obtivemos anteriormente nos limites laterais:

$2+a = (3-b)^2$

$2+a = (3-2)^2$

$2+a =1$

$a =1-2$

$\bm{a =-1}$

Diferenciabilidade e continuidade de uma função

Derivabilidade de uma função por partes

Exercícios resolvidos sobre a diferenciabilidade de uma função

Exercício 1

Exercício 2

Exercício 3

Exercício 4

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