Diferença (ou subtração) de quadrados

Nesta página você encontrará a fórmula para a diferença (ou subtração) de dois quadrados perfeitos. Também explicamos como são fatoradas as diferenças dos quadrados e, além disso, você poderá ver diversos exemplos e exercícios resolvidos passo a passo.

O que é uma diferença de quadrados?

Em matemática, o conceito de diferença de quadrados , ou subtração de quadrados , refere-se a dois termos cuja raiz quadrada é exata e, além disso, são subtraídos. Em outras palavras, a expressão algébrica para uma diferença de quadrados é a ² -b ² .

Além disso, a diferença de dois quadrados corresponde a um dos produtos notáveis (ou identidades notáveis), razão pela qual é tão importante.

Fórmula de diferença de quadrados

A fórmula para a identidade notável de uma diferença de dois quadrados perfeitos é a seguinte:

Portanto, a diferença dos quadrados de duas quantidades é igual ao produto da soma pela diferença destas duas quantidades.

Portanto, a fórmula para subtrair dois quadrados perfeitos tem diferentes aplicações em álgebra. Primeiro, pode ser usado para simplificar expressões polinomiais. Mas, acima de tudo, serve para fatorar certos tipos de binômios, na seção seguinte explicamos como fazê-lo passo a passo.

Embora tenham nomes semelhantes, não se deve confundir a diferença de quadrados com o quadrado de uma diferença , pois são identidades notáveis diferentes. Se você tiver alguma dúvida, recomendamos ver estes exemplos do quadrado da diferença , aqui você verá a fórmula dessa notável identidade, como ela é aplicada e quais são as diferenças em relação à diferença de quadrados.

Fatorando uma diferença de quadrados

As diferenças de quadrados podem ser facilmente fatoradas em sua fórmula.

Mas, obviamente, para entender completamente o procedimento, você precisa saber o que é fatoração de polinômios . Caso você ainda não saiba o que significa fatorar um polinômio, antes de continuar lendo, é melhor dar uma olhada na página do link, onde é explicado detalhadamente.

Assim, para fatorar uma diferença de 2 quadrados, deve-se seguir o seguinte processo:

A raiz quadrada dos dois termos é calculada.
Multiplique a soma subtraindo as duas raízes encontradas na etapa anterior.

Vamos ver melhor como fatorar uma subtração de quadrados através de um exemplo:

Fatore a seguinte diferença de quadrados:

$x^2 - 9$

Logicamente, antes de aplicar o procedimento que vimos, devemos garantir que se trata de facto de uma diferença de quadrados. Neste caso ambos

$x^2$

Como 9 são quadrados perfeitos (têm raízes exatas) e um tem sinal negativo, na verdade consiste em uma diferença de quadrados.

Devemos agora calcular a raiz quadrada de cada elemento:

$\sqrt{x^2} = x$

$\sqrt{9} = 3$

Por fim, basta formar dois binômios com as raízes calculadas: um binômio no qual as raízes somam e outro binômio no qual elas subtraem. E então multiplicamos esses dois binômios:

$(x+3)\cdot (x-3)$

Desta forma, já levamos em conta a diferença dos quadrados no problema do produto de uma soma por uma diferença.

$x^2-9=(x+3)\cdot (x-3)$

Exemplos de diferenças de quadrados

Para que você possa entender claramente como as diferenças dos quadrados são fatoradas, aqui estão alguns exemplos trabalhados:

Exemplo 1

$4x^2-25$

Neste exercício, as raízes quadradas dos dois termos do binômio são:

$\sqrt{4x^2} = 2x$

$\sqrt{25} = 5$

É, portanto, suficiente multiplicar a soma pela diferença das duas raízes encontradas:

$(2x+5)\cdot (2x-5)$

Exemplo 2

$x^4- 16x^2$

Primeiro calculamos as raízes quadradas dos dois elementos:

$\sqrt{x^4} = x^2$

$\sqrt{16x^2} = 4x$

O polinômio fatorado é, portanto:

$(x^2+4x)\cdot (x^2-4x)$

Agora que você viu diversos exemplos de subtração de quadrados, oferecemos vários exercícios resolvidos passo a passo. Vamos ver se você consegue fazer tudo certo! 😉