Como calcular o determinante de uma matriz 4×4 por complementos ou cofatores

Nesta página veremos como resolver um determinante por adições ou cofatores e também como calcular o determinante de uma matriz de dimensão 4×4 . Porém, para resolver o determinante de uma matriz de ordem 4, você deve primeiro saber como calcular um determinante usando os adjuntos de uma linha ou coluna. Veremos, portanto, primeiro como encontrar um determinante por adjuntos ou cofatores e, em seguida, como fazer um determinante de ordem 4 .

Como calcular um determinante por adições ou cofatores?

Um determinante pode ser calculado somando os produtos dos elementos de qualquer linha ou coluna pelos seus respectivos complementos (ou cofatores) .

Este método é chamado de resolução de um determinante por adjuntos ou cofatores, ou há até matemáticos que também contam a regra de Laplace (ou teorema de Laplace).

Exemplo de resolução de um determinante por deputados:

Vejamos um exemplo prático de resolução do determinante de uma matriz 3 × 3 por adjuntos. Vamos fazer o seguinte determinante:

\begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & -2 & 5 \\[1.1ex] 3 & 7 & -4 \end{vmatrix}

Primeiro, precisamos escolher uma coluna ou linha do determinante. Neste caso, escolhemos a primeira coluna , pois possui 0 e portanto será mais fácil de resolver.

Devemos agora multiplicar os elementos da primeira coluna pelos seus respectivos deputados :

\begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & -2 & 5 \\[1.1ex] 3 & 7 & -4 \end{vmatrix} \displaystyle = 2\bm{\cdot} \text{Adj(2)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 3 \bm{\cdot} \text{Adj(3)}

O complemento de 0 não precisa ser calculado, pois multiplicá-lo por 0 o cancelará. Podemos, portanto, simplificar:

\displaystyle = 2\bm{\cdot} \text{Adj(2)} + \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} + 3 \bm{\cdot} \text{Adj(3)}

\displaystyle = 2\bm{\cdot} \text{Adj(2)} + 3 \bm{\cdot} \text{Adj(3)}

Agora procedemos ao cálculo dos complementos :

\displaystyle = 2\cdot (-1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix} -2 & 5 \\[1.1ex] 7 & -4 \end{vmatrix} + 3 \cdot (-1)^{3+1} \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\[1.1ex] -2 & 5 \end{vmatrix}

Lembre-se que para calcular o deputado de

a_{ij}

, ou seja, item de linha

i

e a coluna

j

, a seguinte fórmula deve ser aplicada:

\text{Adjunto de } a_{ij} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } a_{ij}

onde o complementar menor de

a_{ij}

é o determinante da matriz removendo a linha

i

e a coluna

j

.

Resolvemos as potências e os determinantes:

= 2 \cdot 1 \cdot (8-35) + 3 \cdot 1 \cdot \bigl(15-(-2)\bigr)

= 2 \cdot 1 \cdot (-27) + 3 \cdot 1 \cdot 17

E operamos com a calculadora:

= -54 + 51

= \bm{-3}

Portanto, o resultado do determinante é -3.

Observe que se calcularmos o determinante com a regra de Sarrus, obtemos o mesmo resultado:

\begin{aligned} \begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & -2 & 5 \\[1.1ex] 3 & 7 & -4 \end{vmatrix} & = 2 \cdot (-2) \cdot (-4) + 3 \cdot 5 \cdot 3 + 0 \cdot 7 \cdot 1 - 3 \cdot (-2) \cdot 1 - 7 \cdot 5 \cdot 2- 0 \cdot 3 \cdot (-4) \\ & = 16 +45 + 0 +6 - 70 -0 \\[2ex] & = \bm{-3} \end{aligned}

Depois de sabermos como um determinante é calculado pelos deputados, podemos agora ver como encontrar o resultado de um determinante de ordem 4:

Como calcular um determinante 4×4?

Para resolver o determinante de uma matriz de ordem 4 devemos aplicar o procedimento que acabamos de ver para os deputados. Ou seja, escolhemos qualquer linha ou coluna e somamos os produtos dos seus elementos pelos seus respectivos complementos.

No entanto, usando este procedimento com um determinante 4 × 4, muitos determinantes 3 × 3 devem ser calculados, e estes tendem a levar muito tempo. Portanto, antes de calcular os adjuntos , são realizadas transformações nas retas , semelhante ao método gaussiano. Já que uma linha de um determinante pode ser substituída pela soma da mesma linha mais outra linha multiplicada por um número.

Portanto, para calcular um determinante de ordem 4 por deputados, deve-se escolher a coluna que contém mais zeros , pois isso facilitará os cálculos. E então realizamos operações internas nas linhas, de modo que todos os elementos da coluna sejam nulos, exceto um.

Vamos ver como é feito um determinante 4×4 com um exemplo:

Exemplo de resolução de um determinante 4×4:

Resolveremos este determinante da seguinte matriz quadrada 4×4:

\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 & 1 \\[1.1ex] -1 & -1 & 3 & 2 \\[1.1ex] 0 & 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] 2 & 1 & -3 & 2 \end{vmatrix}

Neste caso, a coluna com mais zeros é a primeira coluna. Portanto, escolhemos a primeira coluna.

E aproveitando que existe 1 nesta coluna, vamos converter todos os outros elementos da primeira coluna para 0. Já que é mais fácil fazer cálculos com a linha que tem 1.

Portanto, para transformar todos os outros elementos da coluna em 0, adicionamos a primeira linha à segunda linha e subtraímos a primeira linha multiplicada por 2 da quarta linha . A terceira linha não precisa ser alterada, pois já possui 0 na primeira coluna.

\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 & 1 \\[1.1ex] -1 & -1 & 3 & 2 \\[1.1ex] 0 & 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] 2 & 1 & -3 & 2 \end{vmatrix} \begin{matrix} \\[1.1ex] \xrightarrow{f_2 + f_1} \\[1.1ex] \\[1.1ex] \xrightarrow{f_4 - 2f_1} \end{matrix} \begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 & 1 \\[1.1ex] 0 & 3 & 5 & 3 \\[1.1ex] 0 & 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] 0 & -7 & -7 & 0 \end{vmatrix}

Depois de convertermos todos os elementos da coluna escolhida em 0, exceto um, calculamos o determinante por deputados. Ou seja , somamos os produtos dos elementos da coluna pelos seus respectivos deputados:

\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 & 1 \\[1.1ex] 0 & 3 & 5 & 3 \\[1.1ex] 0 & 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] 0 & -7 & -7 & 0 \end{vmatrix} \displaystyle = 1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}

Os termos multiplicados por 0 são cancelados, então os simplificamos:

=1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} + \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} + \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}

=1\bm{\cdot} \text{Adj(1)}

=\text{Adj(1)}

É, portanto, suficiente calcular o adjunto de 1:

\displaystyle = (-1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix} 3 & 5 & 3 \\[1.1ex] 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] -7 & -7 & 0 \end{vmatrix}

Calculamos o determinante com a regra de Sarrus e a potência:

\inlinestyle = 1 \cdot \bigl[ 3 \cdot 7 \cdot 0 + 5 \cdot (-4) \cdot (-7) + 5 \cdot (-7) \cdot 3 - (-7)\cdot 7 \cdot 3 - (-7) \cdot (-4) \cdot 3 - 5 \cdot 5 \cdot 0 \bigr]

=3 \cdot 7 \cdot 0 + 5 \cdot (-4) \cdot (-7) + 5 \cdot (-7) \cdot 3 - (-7)\cdot 7 \cdot 3 - (-7) \cdot (-4) \cdot 3 - 5 \cdot 5 \cdot 0

E finalmente resolvemos as operações com a calculadora:

\displaystyle =0+140-105 +147 - 84 - 0

\displaystyle =\bm{98}

Exercícios resolvidos de determinantes 4×4

Exercício 1

Resolva o seguinte determinante de ordem 4:

\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 1 & 1 \\[1.1ex] 2 & 3 & 1 & -1 \\[1.1ex] 4 & 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}

Encontraremos o resultado do determinante 4×4 com o método do cofator. Mas primeiro fazemos operações com as linhas para definir todos os elementos de uma coluna como zero, exceto um:

\begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 1 & 1 \\[1.1ex] 2 & 3 & 1 & -1 \\[1.1ex] 4 & 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} \begin{matrix} \\[1.1ex] \\[1.1ex] \xrightarrow{f_3 + f_2} \\[1.1ex] \ \end{matrix} \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 1 & 1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 & 0 \\[1.1ex] 4 & 1 & 2 & 0 \end{vmatrix}

E agora resolvemos o determinante 4×4 por conjunções com a última coluna:

\begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 1 & 1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 & 0 \\[1.1ex] 4 & 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}

Simplificamos os termos:

= \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} + \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}

= \text{Adj(1)}

Calculamos o adjunto de 1:

\displaystyle = (-1)^{2+4} \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 \\[1.1ex]4 & 1 & 2 \end{vmatrix}

E, por fim, calculamos o determinante 3×3 com a regra de Sarrus:

\displaystyle = (-1)^{6} \cdot \bigl[16+24-2+16-4-12 \bigr]

\displaystyle = 1 \cdot \bigl[38 \bigr]

\displaystyle = \bm{38}

Exercício 2

Calcule o seguinte determinante de ordem 4:

\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 & 2 \\[1.1ex] 2 & 0 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 5 & -1 & 3 & 1 \end{pmatrix}

Calcularemos o determinante 4×4 por cofatores. Mas para fazer isso, primeiro realizamos operações com as linhas para definir todos os elementos de uma coluna como zero, exceto um:

\begin{vmatrix} 1 & 3 & -2 & 2 \\[1.1ex] 2 & 0 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 5 & -1 & 3 & 1 \end{vmatrix} \begin{matrix} \xrightarrow{f_1 - 3f_3} \\[1.1ex] \\[1.1ex] \\[1.1ex] \xrightarrow{f_4 + f_3} \end{matrix} \begin{vmatrix}-2 & 0 & -8 & -7 \\[1.1ex] 2 & 0 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 6 & 0 & 5 & 4 \end{vmatrix}

Agora resolvemos o determinante 4×4 por conjunções com a segunda coluna:

\begin{vmatrix} -2 & 0 & -8 & -7 \\[1.1ex] 2 & 0 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 6 & 0 & 5 & 4\end{vmatrix} = 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)}+ 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}

Simplificamos os termos:

= \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)}+\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}

= \text{Adj(1)}

Calculamos o adjunto de 1:

\displaystyle = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix}-2 & -8 & -7 \\[1.1ex] 2 & 1 & 4 \\[1.1ex] 6 & 5 & 4\end{vmatrix}

E, por fim, calculamos o determinante 3×3 com a regra de Sarrus e a calculadora:

\displaystyle = (-1)^{5} \cdot \bigl[-8-192-70+42+40+64 \bigr]

\displaystyle = -1 \cdot \bigl[-124 \bigr]

\displaystyle = \bm{124}

Exercício 3

Encontre o resultado do seguinte determinante de ordem 4:

\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & -2 & -1 & 3 \\[1.1ex] 4 & 3 & 1 & -2 \\[1.1ex] -1 & 2 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & -2 & -4 & 5 \end{pmatrix}

Resolveremos o determinante 4×4 pelos deputados. Embora primeiro façamos operações com as linhas para converter todos os elementos de uma coluna, exceto um, em zero:

\begin{vmatrix}2 & -2 & -1 & 3 \\[1.1ex] 4 & 3 & 1 & -2 \\[1.1ex] -1 & 2 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & -2 & -4 & 5 \end{vmatrix} \begin{matrix} \xrightarrow{f_1 + f_2} \\[1.1ex] \\[1.1ex]\xrightarrow{f_3 - f_2} \\[1.1ex] \xrightarrow{f_4 + 4f_2} \end{matrix} \begin{vmatrix}6 & 1 & 0 & 1 \\[1.1ex] 4 & 3 & 1 & -2 \\[1.1ex] -5 & -1 & 0 & 1 \\[1.1ex] 19 & 10 & 0 & -3 \end{vmatrix}

Agora resolvemos o determinante 4×4 por deputados com a terceira coluna:

\begin{vmatrix}6 & 1 & 0 & 1 \\[1.1ex] 4 & 3 & 1 & -2 \\[1.1ex] -5 & -1 & 0 & 1 \\[1.1ex] 19 & 10 & 0 & -3 \end{vmatrix} = 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}+ 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}

Simplificamos os termos:

= \cancel{0\bm{\cdot}+ \text{Adj(0)}} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)}+\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}

= \text{Adj(1)}

Calculamos o adjunto de 1:

\displaystyle = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix}6 & 1 & 1 \\[1.1ex] -5 & -1 & 1 \\[1.1ex] 19 & 10 & -3\end{vmatrix}

E por fim, resolvemos o determinante 3×3 com a regra de Sarrus e a calculadora:

\displaystyle = (-1)^{5} \cdot \bigl[18+19-50+19-60-15\bigr]

\displaystyle = -1 \cdot \bigl[-69 \bigr]

\displaystyle = \bm{69}

Exercício 4

Calcule o resultado do seguinte determinante de ordem 4:

\displaystyle \begin{pmatrix} 3 & 4 & -2 & -1 \\[1.1ex] 2 & -2 & 5 & -5 \\[1.1ex] -3 & 5 & 2 & 6 \\[1.1ex] -1 & -2 & -1 & 3 \end{pmatrix}

Resolveremos o determinante 4×4 usando a regra de Laplace. Mas você deve primeiro fazer operações com as linhas para definir todos os elementos de uma coluna como zero, exceto um:

\begin{vmatrix}3 & 4 & -2 & -1 \\[1.1ex] 2 & -2 & 5 & -5 \\[1.1ex] -3 & 5 & 2 & 6 \\[1.1ex] -1 & -2 & -1 & 3\end{vmatrix} \begin{matrix} \xrightarrow{f_1 + 3f_4} \\[1.1ex] \xrightarrow{f_2 +2f_4} \\[1.1ex]\xrightarrow{f_3 - 3f_4} \\[1.1ex] \ \end{matrix} \begin{vmatrix}0 & -2 & -5 & 8 \\[1.1ex]0 & -6 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & 11 & 5 & -3 \\[1.1ex] -1 & -2 & -1 & 3\end{vmatrix}

Agora resolvemos por deputados o determinante 4×4 com a primeira coluna:

\begin{vmatrix}0 & -2 & -5 & 8 \\[1.1ex]0 & -6 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & 11 & 5 & -3 \\[1.1ex] -1 & -2 & -1 & 3 \end{vmatrix} = 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}-1\bm{\cdot} \text{Adj(-1)}

Simplificamos os termos:

= \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}-1\bm{\cdot} \text{Adj(-1)}

=- \text{Adj(-1)}

Calculamos o adjunto de -1:

\displaystyle =- (-1)^{4+1} \begin{vmatrix} -2 & -5 & 8 \\[1.1ex]-6 & 3 & 1 \\[1.1ex] 11 & 5 & -3 \end{vmatrix}

E por fim, resolvemos o determinante 3×3 com a regra de Sarrus e a calculadora:

\displaystyle = -(-1)^{5} \cdot \bigl[18-55-240-264+10+90\bigr]

\displaystyle = -(-1) \cdot \bigl[-441 \bigr]

\displaystyle = - \bigl[+441 \bigr]

\displaystyle = \bm{-441}

Com toda essa prática, você provavelmente já sabe como resolver determinantes 4×4. Fantástico! Esperamos que com todos estes exercícios você agora consiga calcular o intervalo de uma matriz de dimensão 4×4 que custa tantas pessoas.

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