Nesta página você aprenderá o que é o determinante de uma matriz quadrada 3×3. Você verá como resolver os determinantes de ordem 3 usando a regra de Sarrus. E, além disso, você tem exemplos e exercícios resolvidos passo a passo, para que possa praticar e entender perfeitamente.
Qual é o determinante de uma matriz 3×3?
Um determinante de ordem 3 é uma matriz de dimensão 3×3 representada por uma barra vertical em cada lado da matriz. Por exemplo, se tivermos a seguinte matriz:
![\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 4 \\[1.1ex] 3 & -1 & 5 \\[1.1ex] 1 & 6 & -2 \end{pmatrix}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7b5e89b706893e88dd15882e3685afb1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
O determinante da matriz A é representado da seguinte forma:
![\displaystyle \lvert A \rvert = \begin{vmatrix} 2 & 0 & 4 \\[1.1ex] 3 & -1 & 5 \\[1.1ex] 1 & 6 & -2 \end{vmatrix}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-41db04327de87a80f1e0e4dd6dcb220a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Como você viu, escrever o determinante de uma matriz quadrada de ordem 3 é fácil. Agora vamos ver como resolver isso:
Como calcular um determinante de ordem 3?
Para fazer os determinantes de matrizes 3×3 você deve aplicar a regra de Sarrus :
Regra de Sarrus
A regra de Sarrus diz que para calcular um determinante de ordem 3, devemos somar o produto dos elementos da diagonal maior e o produto de suas diagonais paralelas com seus vértices opostos correspondentes, depois subtrair o produto dos elementos da diagonal menor e o produto de suas diagonais paralelas com seus vértices opostos correspondentes.
Escrito assim, pode ser um pouco difícil de entender, mas veja como é feito o cálculo dos determinantes 3×3 com o seguinte diagrama e exemplos:
Exemplos de determinantes 3×3:
![\begin{aligned} \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\[1.1ex] -1 & 1 & 0 \\[1.1ex] -2 & 4 & 1 \end{vmatrix} & = 2 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \cdot (-2) + (-1) \cdot 4 \cdot 3 - (-2) \cdot 1 \cdot 3 - 4 \cdot 0 \cdot 2- (-1) \cdot 1 \cdot 1 \\ & = 2 + 0 -12 +6 - 0 +1 \\[2ex] & = \bm{-3} \end{aligned}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-98e60cf465cd0eb7662d47770cd38231_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\begin{aligned} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\[1.1ex] 3 & 2 & 1 \\[1.1ex] 4 & -3 & -1 \end{vmatrix} & = 1\cdot 2 \cdot (-1) + 0 \cdot 1 \cdot 4 +3 \cdot (-3) \cdot 2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 - (-3) \cdot 1 \cdot 1- 3 \cdot 0 \cdot (-1) \\ & = -2 +0 -18 - 16 +3- 0 \\[2ex] & = \bm{-33} \end{aligned}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-41a53c1fd6eae1b51a280a6ce1e2ab91_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Problemas resolvidos de determinantes de matrizes 3 × 3
Exercício 1
Resolva o seguinte determinante 3×3:
Para resolver o determinante de uma matriz 3×3 devemos aplicar a regra de Sarrus:
![\displaystyle\begin{aligned} \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\[1.1ex] 3 & 1 & -1 \\[1.1ex] 2 & 0 & 4 \end{vmatrix} & = 2 \cdot 1 \cdot 4 + 1 \cdot (-1) \cdot 2 + 3 \cdot 0 \cdot 0 - 2 \cdot 1 \cdot 0 - 0 \cdot (-1) \cdot 2- 3 \cdot 1 \cdot 4 \\ & = 8 -2 +0 -0- 0-12 \\[2ex] & = \bm{-6} \end{aligned}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8f288312b72f3bbabc35ee64bf580d8c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Exercício 2
Calcule o seguinte determinante de ordem 3:
Para calcular o determinante de uma matriz de terceira ordem, devemos usar a regra de Sarrus:
![\displaystyle\begin{aligned} \begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\[1.1ex] 4 & 2 & 1 \\[1.1ex] 3 & -1 & 2 \end{vmatrix} & = 1 \cdot 2 \cdot 2 + (-2) \cdot 1 \cdot 3 + 4 \cdot (-1) \cdot 1 - 3 \cdot 2 \cdot 1 - (-1) \cdot 1 \cdot 1 - 4 \cdot (-2) \cdot 2 \\ & = 4 -6 -4 -6+1+16 \\[2ex] & = \bm{5} \end{aligned}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-64078968233ec50d2e793309d55e55fc_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Exercício 3
Encontre a solução para o determinante da seguinte matriz 3×3:
Para fazer um determinante de uma matriz 3×3, devemos usar a regra de Sarrus:
![\displaystyle\begin{aligned} \begin{vmatrix}1 & 3 & -2 \\[1.1ex] 2 & -3 & 4 \\[1.1ex] -1 & 2 & 5 \end{vmatrix} & = \\ & = 1 \cdot (-3) \cdot 5 + 3 \cdot 4 \cdot (-1) + 2 \cdot 2 \cdot (-2) \ - \\[1.1ex] & \phantom{=} - (-1) \cdot (-3) \cdot (-2) - 2 \cdot 4 \cdot 1 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \\[2.5ex] & = -15 -12 -8 +6-8-30 \\[2.5ex] & = \bm{-67} \end{aligned}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fd4494ae66a604834b8f9f47fcbbe41d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Exercício 4
Encontre a solução para o determinante da seguinte matriz de ordem 3:
Para encontrar a solução de um determinante de uma matriz 3×3 devemos aplicar a fórmula de Sarrus:
![\displaystyle\begin{aligned} \begin{vmatrix} 3 & 1 & -1 \\[1.1ex] 6 & 1 & -2 \\[1.1ex] 4 & -3 & 2 \end{vmatrix} & = \\ & = 3 \cdot 1 \cdot 2 + 1 \cdot (-2) \cdot 4 + 6 \cdot (-3) \cdot (-1) \ - \\[1.1ex] & \phantom{=} - 4 \cdot 1 \cdot (-1) - (-3) \cdot (-2) \cdot 3 - 6 \cdot 1 \cdot 2 \\[2.5ex] & =6 -8 +18 +4-18-12 \\[2.5ex] & = \bm{-10} \end{aligned}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8e811024d460a60a1df59983b1f700e8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Exercício 5
encontre o valor de
que cancela o seguinte determinante de terceira ordem:
Calculamos primeiro, com a regra de Sarrus, o valor do determinante em função de
![\displaystyle\begin{aligned}\begin{vmatrix} 4 & 6 & -5 \\[1.1ex] -2 & 4 & 2 \\[1.1ex] -1 & 2 & a \end{vmatrix} & = \\ & = 4 \cdot 4 \cdot a + 6 \cdot 2 \cdot (-1) + (-2) \cdot 2 \cdot (-5) \ - \\[1.1ex] & \phantom{=}- (-1) \cdot 4 \cdot (-5) - 2 \cdot 2 \cdot 4 - (-2) \cdot 6 \cdot a \\[2.5ex] & = 16a -12 + 20 - 20 - 16 +12a \\[2.5ex] & = 28a -28 \end{aligned}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-07e67cfc5e45c0a11c35d643cd4c1c78_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Para que o determinante desapareça, o resultado deve ser 0. Portanto, igualamos o resultado a 0 e resolvemos a equação:
