Derivados - Matoridade

Aqui explicamos como derivar todos os tipos de funções. Você encontrará as fórmulas para todas as derivadas acompanhadas de exemplos e exercícios passo a passo de derivadas.

O que são produtos derivados?

Derivadas são regras matemáticas usadas para estudar funções. Em particular, a derivada de uma função num ponto é o resultado de um limite e indica o comportamento da função nesse ponto.

A derivada de uma função é expressa com o sinal primo ‘ , ou seja, a função f'(x) é a derivada da função f(x) .

Geometricamente, o significado da derivada de uma função num ponto é a inclinação da tangente à função nesse ponto.

A definição matemática da derivada de uma função é a seguinte:

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

No entanto, a derivada de uma função geralmente não é calculada usando a fórmula acima, mas aplicam-se regras de diferenciação dependendo do tipo de função. Todas as fórmulas de derivação são explicadas abaixo.

fórmulas derivadas

Depois de ver a definição de derivadas, veremos como elas são feitas, explicando cada tipo de derivada com um exemplo. O objetivo deste post é que você entenda bem o conceito de derivadas, então se no final você tiver alguma dúvida sobre como uma função é derivada, pode nos perguntar nos comentários.

derivado de uma constante

A derivada de uma constante é sempre zero, independentemente do valor da constante.

Portanto, para encontrar a derivada de uma função constante, não há necessidade de fazer nenhuma matemática, apenas a derivada é zero.

Dê uma olhada nos seguintes exemplos práticos de derivadas de constantes:

$\begin{array}{c}f(x)=3 \qquad \longrightarrow\qquad f'(x)=0\\[3ex]g(x)=-5 \qquad \longrightarrow\qquad g'(x)=0\\[3ex]h(x)=291 \qquad \longrightarrow\qquad h'(x)=0\end{array}$

Derivada de uma função linear

A derivada de uma função linear é o coeficiente do termo de primeiro grau, ou seja, a derivada de uma função linear f(x)=Ax+B é igual a A

Dê uma olhada nos seguintes exemplos de como esse tipo de função foi derivado:

$\begin{array}{c}f(x)=3x-1\quad\longrightarrow\quad f'(x)=3\\[3ex]f(x)=5x\quad\longrightarrow\quad f'(x)=5\\[3ex] f(x)=-2x+9\quad\longrightarrow\quad f'(x)=-2\end{array}$

derivado de um poder

A derivada de uma potência , ou função potencial, é o produto do expoente da potência vezes a base elevada ao expoente menos 1.

Portanto, para derivar uma potência, basta multiplicar a função pelo expoente e subtrair uma unidade do expoente.

Por exemplo, a derivada da potência x ao cubo é:

$f(x)=x^3 \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=3\cdot x^{3-1}=3x^2$

Você pode praticar exercícios (e mais difíceis) desse tipo de derivada aqui:

➤ Veja: exercícios resolvidos para a derivada de uma potência

derivado de uma raiz

A derivada de uma raiz, ou função irracional, é igual a um dividido pelo produto do índice da raiz vezes a mesma raiz subtraindo 1 do expoente do radicando.

Como exemplo, abaixo você pode ver a derivada da raiz quadrada de x resolvida:

$f(x)=\sqrt{x}\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=\cfrac{1}{2\sqrt{x^{2-1}}}=\cfrac{1}{2\sqrt{x}}$

➤ Veja: exercícios resolvidos para a derivada de uma raiz

Derivada de uma função exponencial

A derivada de uma função exponencial depende se a base é o número e ou outro número. Existem portanto duas fórmulas para derivar este tipo de função e deve-se utilizar aquela que corresponde de acordo com a base de potência:

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1pt, boxsep=1.8mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \begin{array}{l}f(x)=a^x \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=a^x\cdot \ln(a)\\[3ex] f(x)=e^x \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^x \end{array} \end{empheq}$

Abaixo você pode ver duas derivadas resolvidas deste tipo de funções:

$f(x)=7^{x} \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=7^x\cdot \ln(7)$

$f(x)=e^{x} \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^x$

➤ Veja: exercícios resolvidos para a derivada de uma função exponencial

Derivada de uma função logarítmica

A derivada de uma função logarítmica depende da base do logaritmo, pois se o logaritmo for natural deve-se aplicar uma fórmula para encontrar a derivada e se o logaritmo tiver outro número como base deve-se utilizar outra regra.

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1pt, boxsep=1.8mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \begin{array}{l}f(x)=\ln(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x}\\[3ex] f(x)=\log_a(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x\cdot\ln(a)}\end{array} \end{empheq}$

Por exemplo, a derivada do logaritmo de base três de x é:

$f(x)=\log_3(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x\cdot\ln(3)}$

➤ Veja: exercícios resolvidos para a derivada de uma função logarítmica

Derivadas trigonométricas

As três principais derivadas trigonométricas são a derivada da função seno, a função cosseno e a função tangente, cujas fórmulas são as seguintes:

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1pt, boxsep=1.8mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \begin{array}{l}f(x)=\text{sen}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(x)\\[2.5ex] f(x)=\text{cos}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\text{sen}(x)\\[1.1ex]f(x)=\text{tan}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{\text{cos}^2(x)}\end{array} \end{empheq}$

Logicamente, existem vários tipos de funções trigonométricas, como secante, cossecante, cotangente, funções trigonométricas hiperbólicas, funções trigonométricas inversas, etc. Mas as regras mais utilizadas para drifting são as três acima.

regras de referência

Quando temos operações com funções, as derivadas são resolvidas de forma diferente. Para isso, precisamos utilizar as regras de diferenciação , que nos permitem derivar adição, subtração, multiplicação e divisão de funções.

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \begin{array}{l}z(x)=f(x)\pm g(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} z'(x)=f'(x)\pm g'(x)\\[4ex] z(x)=f(x)\cdot g(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} z'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)\\[4ex]z(x)=\cfrac{f(x)}{g(x)} \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} z'(x)=\cfrac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{\bigl(g(x)\bigr)^2}\end{array} \end{empheq}$

Portanto, para resolver derivadas com operações, não precisamos apenas aplicar as regras das derivadas, mas também usar a fórmula para cada tipo de derivada.

Para que você veja como encontrar esse tipo de derivada, resolveremos vários exercícios a seguir:

Derivada de uma soma:

$f(x)=3x^2+5x$

$f'(x)=6x+5$

Como você pode ver, para resolver a derivada de toda a função, a fórmula da derivada de uma potência foi aplicada a cada termo da soma.

Derivado de um produto:

$f(x)=4^{x}\cdot \text{sen}(x)$

A derivada do primeiro termo do produto é 4 ^x ln(4), e a derivada do seno é o cosseno. Portanto, a derivada da multiplicação é:

$f'(x)=4^{x}\cdot \ln (4) \cdot \text{sen}(x) +4^{x}\cdot \text{cos}(x)$

Derivada de um quociente:

$f(x)=\cfrac{x^3+4x^2}{5x^2-8}$

No numerador e denominador da fração temos um polinômio, então para obter a derivada precisamos usar a fórmula da derivada de um quociente, a fórmula da derivada de uma adição (ou subtração) e a fórmula da derivada de tem poder:

$\begin{aligned}f'(x)&=\cfrac{(3x^2+8x)\cdot (5x^2-8)-(x^3+4x^2)\cdot 10x}{\left(5x^2-8\right)^2}\\[2ex]&=\cfrac{15x^4-24x^2+40x^3-64x-10x^4-40x^3}{25x^4+64-80x^2}\\[2ex]&=\cfrac{5x^4-24x^2-64x}{25x^4-80x^2+64}\end{aligned}$

Regra da cadeia

A regra da cadeia é uma fórmula usada para derivar funções compostas. A regra da cadeia afirma que a derivada de uma função composta f(g(x)) é igual à derivada f'(g(x)) multiplicada pela derivada g'(x) .

Essa noção de derivadas geralmente é mais difícil de assimilar, por isso resolveremos passo a passo um exercício como exemplo:

$f(x)=\text{sen}(x^3)$

Efetivamente, é uma composição de funções porque temos a função x ³ dentro da função seno, portanto, devemos utilizar a regra da cadeia para encontrar a derivada da função composta.

Por um lado, a derivada do seno é o cosseno, então a derivada da função exterior será o cosseno com o mesmo argumento do seno:

$f\bigl(g(x)\bigr)=\text{sen}(x^3) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'\bigl(g(x)\bigr)=\text{cos}(x^3)$

E, por outro lado, calculamos a derivada de x ³ usando a fórmula da derivada de uma potência:

$g(x)=x^3\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} g'(x)=3x^2$

Assim, a derivada da função composta inteira é o produto das duas derivadas:

$f(x)=\text{sen}(x^3) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(x^3)\cdot 3x^2$

➤ Veja: exercícios de derivadas resolvidos com a regra da cadeia

Diferenciabilidade de uma função

A continuidade e a diferenciabilidade de uma função em um ponto estão relacionadas da seguinte forma:

Se uma função é diferenciável num ponto, a função é contínua nesse ponto.
Se uma função não é contínua num ponto, também não é diferenciável nesse ponto.

Contudo, o inverso deste teorema é falso, ou seja, só porque uma função é contínua num ponto não significa que seja sempre diferenciável nesse ponto.

Você também pode ver se uma função é ou não diferenciável em um ponto de seu gráfico:

Se for um ponto suave, a função é diferenciável neste ponto.
Se for um ponto angular, a função é contínua, mas não diferenciável neste ponto.

Ponto suave em x = 0:
função contínua e diferenciável neste ponto.

Ponto inclinado em x=2:
função contínua, mas não diferenciável neste ponto.

Você também pode saber se uma função por partes é diferenciável em um ponto calculando as derivadas laterais nesse ponto:

Se as derivadas laterais num ponto não forem iguais, a função não é diferenciável nesse ponto:

$f'(x_o^-) \neq f'(x_o^+) \ \longrightarrow$

Não é diferenciável em

$x_o$

Se as derivadas laterais num ponto coincidem, a função é diferenciável nesse ponto:

$f'(x_o^-) = f'(x_o^+) \ \longrightarrow$

Sim, é derivável em

$x_o$

Agora vamos ver um exemplo de cálculo da derivada de uma função definida por partes em um ponto:

Estude a continuidade e a diferenciabilidade da seguinte função por partes no ponto x=2:

$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 3x^2-6x & \text{si} & x<2 \\[2ex] 6\ln (x-1) & \text{si} & x\geq 2 \end{array} \right.$

As funções de ambas as seções são contínuas em seus respectivos intervalos, porém é necessário verificar se a função é contínua no ponto crítico x=2. Para fazer isso, resolvemos os limites laterais da função no ponto:

$\lim\limits_{x\to 2^-} f(x) = \lim\limits_{x\to 2^-} \bigl(3x^2-6x\bigr) = 3\cdot2^2-6\cdot2=12-12=\bm{0}$

$\lim\limits_{x\to 2^+} f(x) = \lim\limits_{x\to 2^+} 6\ln (x-1) = 6\ln (2-1)=6 \ln 1=6 \cdot 0= \bm{0}$

Os limites laterais no ponto crítico nos deram o mesmo resultado, então a função é contínua no ponto x=2.

Assim que soubermos que a função é contínua em x=2, estudaremos a diferenciabilidade da função neste ponto. Para fazer isso, calculamos as derivadas laterais da função definida por partes:

$\displaystyle f'(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 6x-6 & \text{si} & x<2 \\[2ex] \cfrac{6}{x-1} & \text{si} & x\geq 2 \end{array} \right.$

Agora avaliamos cada derivada lateral no ponto crítico:

$f'(2^-)=6\cdot2-6=12-6 = \bm{6}$

$f'(2^+)=\cfrac{6}{2-1} = \cfrac{6}{1} = \bm{6}$

As duas derivadas laterais nos deram o mesmo resultado, então a função é diferenciável em x=2 e o valor da derivada é 6:

$f'(2^-) = f'(2^+) = 6 \ \longrightarrow \ \bm{f'(2) = 6}$

Por outro lado, se as derivadas laterais nos tivessem dado um resultado diferente, isso significaria que a função não é diferenciável em x=2. Em outras palavras, a derivada neste ponto não existiria.

➤ Veja: exercícios resolvidos para diferenciabilidade de uma função