Derivado de arco seno hiperbólico

Aqui você encontrará qual é a derivada do arco seno hiperbólico (fórmula). Além disso, você poderá ver diversos exercícios resolvidos sobre as derivadas do arco seno hiperbólico de uma função. Por fim, mostramos a fórmula da derivada deste tipo de função trigonométrica.

Fórmula derivada de arco seno hiperbólico

A derivada do arco seno hiperbólico de x é um sobre a raiz quadrada de x ao quadrado mais 1.

f(x)=\text{arcsenh}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}

Portanto, a derivada do arco seno hiperbólico de uma função é igual ao quociente da derivada dessa função dividido pela raiz quadrada dessa função ao quadrado mais um.

f(x)=\text{arcsenh}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{\sqrt{u^2+1}}

A segunda fórmula é semelhante à primeira, mas aplica a regra da cadeia. Ou seja, com a primeira fórmula, apenas o arco seno hiperbólico de xy pode ser derivado, enquanto com a segunda fórmula, o arco seno hiperbólico de qualquer função pode ser derivado.

derivado do arco seno hiperbólico

Tenha em mente que o arco seno hiperbólico é a função inversa do seno hiperbólico, cuja derivada você pode ver aqui:

➤ Veja: fórmula da derivada do seno hiperbólico

Exemplos da derivada hiperbólica do arco seno

Exemplo 1

f(x)=\text{arcsenh}(3x)

Para resolver a derivada da função arco seno, usamos a fórmula vista acima:

f(x)=\text{arcsenh}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{\sqrt{u^2+1}}

A derivada de 3x é 3, então 3 vai para o numerador. E no denominador só precisamos colocar a raiz quadrada de 3x ao quadrado mais 1:

f(x)=\text{arcsenh}(3x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{3}{\sqrt{(3x)^2+1}}=\cfrac{3}{\sqrt{9x^2+1}}

Exemplo 2

f(x)=\text{arcsenh}(x^3)

Para derivar o arco seno hiperbólico da função x ao cubo, devemos aplicar a mesma fórmula:

f(x)=\text{arcsenh}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{\sqrt{u^2+1}}

A derivada de x ao cubo é 3x 2 , então a derivada do arco seno hiperbólico de x elevado a 3 será:

f(x)=\text{arcsenh}(x^3) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{3x^2}{\sqrt{\left(x^3\right)^2+1}}=\cfrac{3x^2}{\sqrt{x^6+1}}

Prova da derivada do arco seno hiperbólico

Demonstraremos a fórmula da derivada do arco seno hiperbólico:

y=\text{arcsenh}(x)

Primeiro, transformamos o arco seno hiperbólico em um seno hiperbólico:

x=\text{senh}(y)

Deduzimos de ambos os lados da igualdade:

1=\text{cosh}(y)\cdot y'

Nós limpamos você:

y'=\cfrac{1}{\text{cosh}(y)}

Então, aplicamos a identidade trigonométrica que conecta o seno hiperbólico e o cosseno hiperbólico:

\text{cosh}^2(y)-\text{senh}^2(y)=1 \ \longrightarrow \ \text{cosh}(y)=\sqrt{1+\text{senh}^2(y)}

y'=\cfrac{1}{\sqrt{1+\text{senh}^2(y)}}

Mas acima deduzimos que x corresponde ao seno hiperbólico de y, então a equação permanece:

y'=\cfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}

Como você pode ver, aplicando essas etapas obtivemos a fórmula da derivada do arco seno hiperbólico, por isso está provada.

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