Derivada do arco cosseno

Aqui explicamos como derivar o arco cosseno de uma função. Além disso, você encontrará exemplos de derivadas do arco cosseno e poderá praticar com exercícios resolvidos passo a passo. Finalmente, mostramos a prova da fórmula da derivada do arco cosseno.

Qual é a derivada do arco cosseno?

A derivada do arco cosseno de x é menos um sobre a raiz quadrada de um menos x ao quadrado.

$f(x)=\text{arccos}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Portanto, a derivada do arco cosseno de uma função é igual a menos o quociente da derivada dessa função dividido pela raiz quadrada de um menos essa função ao quadrado.

$f(x)=\text{arccos}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$

Na verdade, a primeira fórmula é obtida substituindo x por u na segunda fórmula. Então, para recapitular, a fórmula para a derivada do cosseno inverso é:

Como você pode ver, a fórmula da derivada do arco cosseno é como aderivada do arco seno , mas adicionando um negativo antes dela.

Exemplos da derivada do arco cosseno

Dada a fórmula da derivada da função arcocosseno, analisaremos agora vários exemplos deste tipo de derivadas trigonométricas. Dessa forma, será mais fácil entender como o arco cosseno de uma função é derivado.

Exemplo 1: Derivada do arco cosseno de 2x

$f(x)=\text{arccos}(2x)$

Para resolver a derivada do arco cosseno, usamos sua fórmula:

$f(x)=\text{arccos}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$

A derivada de 2x é 2, então a derivada do arco cosseno de 2x é menos 2 sobre a raiz de um menos 2x ao quadrado:

$f(x)=\text{arccos}(2x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{2}{\sqrt{1-(2x)^2}}=-\cfrac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$

Exemplo 2: Derivada do arco cosseno de x ao quadrado

$f(x)=\text{arccos}(x^2)$

Aplicamos a fórmula da derivada do arco cosseno com a regra da cadeia para calcular a derivada:

$f(x)=\text{arccos}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$

Como a derivada da função x ² é 2x, a derivada do arco cosseno de x elevado a 2 é:

$f(x)=\text{arccos}(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{2x}{\sqrt{1-\left(x^2\right)^2}}=-\cfrac{2x}{\sqrt{1-x^4}}$

Exemplo 3: Derivada do arco cosseno de um logaritmo

$f(x)=\text{arccos}\bigl(\ln (x)\bigr)$

A função neste exemplo é uma função composta por um arco cosseno e um logaritmo natural, por isso precisamos de utilizar a regra da cadeia para derivá-la.

$f(x)=\text{arccos}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$

A derivada do logaritmo natural é dividida por x, portanto a derivada da função inteira é:

$f(x)=\text{arccos}\bigl(\ln (x)\bigr) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{\cfrac{1}{x}}{\sqrt{1-\left(\ln(x)\right)^2}}=\cfrac{1}{x\sqrt{1-\ln^2(x)}}$

Derivada de arcoseno resolveu problemas

Derive as seguintes funções arcosseno:

$\text{A) }f(x)=\text{arccos}(7x)$

$\text{B) }f(x)=\text{arccos}(x^3+6x)$

$\text{C) }f(x)=\text{arccos}^3\left(e^{3x}\right)$

$\text{D) }f(x)=\text{arccos}\left(\log_3(x^3)\right)$

$\text{E) }f(x)=\text{arccos}\left(\sqrt{4x}\right)$

veja solução

$\text{A) }f'(x)=-\cfrac{7}{\sqrt{1-(7x)^2}}=-\cfrac{7}{\sqrt{1-49x^2}}$

$\text{B) }f'(x)=-\cfrac{3x^2+6}{\sqrt{1-(x^3+6x)^2}}$

$\begin{aligned}\text{C) }\displaystyle f'(x)&=3\text{arccos}^2\left(e^{3x}\right)\cdot \left(-\frac{3e^{3x}}{\sqrt{1-\left(e^{3x}\right)^2}}\right)\\[1.5ex] &=-\cfrac{9\text{arccos}^2\left(e^{3x}\right)\cdot e^{3x}}{\sqrt{1-e^{6x}}}\end{aligned}$

$\begin{aligned}\text{D) }f'(x)&=-\cfrac{1}{\sqrt{1-\left(\log_3(3x)\right)^2}}\cdot \cfrac{3}{3x\cdot \ln 3}\\[1.5ex] &=-\cfrac{1}{x\cdot \ln 3\cdot \sqrt{1-\log_3^2(3x)}} \end{aligned}$

$\begin{aligned}\text{E) } f'(x)& =-\cfrac{1}{\sqrt{1-\left(\sqrt{4x}\right)^2}}\cdot \cfrac{4}{2\sqrt{4x}}\\[1.5ex] &=-\cfrac{2}{\sqrt{1-4x}\cdot 2\sqrt{x}}\\[1.5ex] &=-\cfrac{1}{\sqrt{x-4x^2}} \end{aligned}$