Derivada de Arcseno

Neste artigo explicamos como derivar o arco seno de uma função. Você encontrará exemplos de derivadas do arco seno de funções e poderá até praticar com exercícios resolvidos passo a passo. Por fim, você também verá a demonstração da fórmula da derivada do arco seno.

Qual é a derivada do arco seno?

A derivada do arco seno de x é um sobre a raiz quadrada de um menos x ao quadrado.

$f(x)=\text{arcsen}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Portanto, a derivada do arco seno de uma função é igual ao quociente da derivada dessa função dividido pela raiz quadrada de um menos a função quadrada.

$f(x)=\text{arcsen}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$

Logicamente, a segunda fórmula é obtida aplicando a regra da cadeia à primeira fórmula.

Lembre-se de que o arco seno é a função inversa do seno, por isso também é chamado de seno inverso.

Exemplos de derivada de arco seno

Depois de ver qual é a fórmula da derivada do arco seno, explicaremos vários exemplos deste tipo de derivadas trigonométricas. Dessa forma, será mais fácil entender como o arco seno de uma função é derivado.

Exemplo 1: Derivada do arco seno de 2x

$f(x)=\text{arcsen}(2x)$

Para encontrar a derivada da função arco seno, precisamos usar sua fórmula correspondente:

$f(x)=\text{arcsen}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$

Portanto, a derivada de 2x é 2, então a derivada do arco seno de 2x é 2 dividido pela raiz de um menos 2x ao quadrado:

$f(x)=\text{arcsen}(2x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{2}{\sqrt{1-(2x)^2}}=\cfrac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$

Exemplo 2: Derivada do arco seno de x ao quadrado

$f(x)=\text{arcsen}(x^2)$

Usamos a fórmula da derivada do arco seno para derivá-lo:

$f(x)=\text{arcsen}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$

A função x ² é de segundo grau, então sua derivada é 2x. Assim, a derivada do arco seno de x elevado à potência de 2 é:

$f(x)=\text{arcsen}(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{2x}{\sqrt{1-\left(x^2\right)^2}}=\cfrac{2x}{\sqrt{1-x^4}}$

Exemplo 3: Derivada do arco seno de e ^x

$f(x)=\text{arcsen}(e^x)$

A função neste exemplo é uma função composta, então precisamos aplicar a regra da cadeia para resolver a derivada:

$f(x)=\text{arcsen}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$

A derivada de e ^x é ela mesma, então a derivada de toda a função é:

$f(x)=\text{arcsen}(e^x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{e^x}{\sqrt{1-\left(e^x\right)^2}}=\cfrac{e^x}{\sqrt{1-e^{2x}}}$

Problemas resolvidos com derivada de arcoseno

Derive as seguintes funções arco-seno:

$\text{A) }f(x)=\text{arcsen}(6x)$

$\text{B) }f(x)=\text{arcsen}(x^2-4x)$

$\text{C) }f(x)=\text{arcsen}\left(3x^4-6x^3+9+e^{x^2}\right)$

$\text{D) }f(x)=\text{arcsen}\left(\log_5(3x)\right)$

$\text{E) }f(x)=\text{arcsen}\left(\sqrt{4x}\right)$

veja solução

$\text{A) }f'(x)=\cfrac{6}{\sqrt{1-(6x)^2}}=\cfrac{6}{\sqrt{1-36x^2}}$

$\text{B) }f'(x)=\cfrac{2x-4}{\sqrt{1-(x^2-4x)^2}}$

$\text{C) }f'(x)=\cfrac{12x^3-18x^2+2x\cdot e^{x^2}}{\sqrt{1-(3x^4-6x^3+9+e^{x^2})^2}}$

$\text{D) }f'(x)=\cfrac{1}{\sqrt{1-\left(\log_5(3x)\right)^2}}\cdot \cfrac{3}{3x\cdot \ln 5}=\cfrac{1}{x\cdot \ln 5\cdot \sqrt{1-\left(\log_5(3x)\right)^2}}$

$\begin{aligned}\text{E) } f'(x)& =\cfrac{1}{\sqrt{1-\left(\sqrt{4x}\right)^2}}\cdot \cfrac{4}{2\sqrt{4x}}\\[1.5ex] &=\cfrac{2}{\sqrt{1-4x}\cdot 2\sqrt{x}}\\[1.5ex] &=\cfrac{1}{\sqrt{x-4x^2}} \end{aligned}$