Derivada do arco cossecante hiperbólico

Neste artigo explicamos como derivar o arco secante hiperbólico de uma função. Você também encontrará exemplos práticos da derivada do arcossecante hiperbólico.

Fórmula para a derivada do arco cossecante hiperbólico

A derivada do arco cossecante hiperbólico de x é igual a menos 1 dividido pelo produto de x vezes a raiz de um mais x ao quadrado.

$f(x)=\text{arccsch}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{-1}{x\sqrt{1+x^2}}$

Portanto, a derivada do arco cossecante hiperbólico de uma função é menos a derivada da referida função dividida pelo produto da função vezes a raiz de um mais a função quadrada.

$f(x)=\text{arccsch}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{-u'}{u\sqrt{1+u^2}}$

Em resumo, a fórmula para calcular a derivada da função arcossecante hiperbólica é:

Embora tenhamos colocado duas fórmulas, isso não significa que sejam diferentes. Se você olhar de perto, a segunda fórmula é igual à primeira, mas aplica a regra da cadeia.

Exemplos da derivada do arco cossecante hiperbólico

Dada a fórmula para a derivada da cossecante do arco hiperbólico, derivaremos então duas dessas funções para que você possa ver como isso é feito.

Exemplo 1

$f(x)=\text{arccsch}(3x)$

Neste exercício devemos utilizar a fórmula da derivada do arco cossecante hiperbólico com a regra da cadeia, pois no argumento existe uma função diferente de x:

$f(x)=\text{arccsch}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{-u'}{u\sqrt{1+u^2}}$

Então, para encontrar a derivada, precisamos substituir u por 3x e u’ por sua derivada, que é 3:

$f(x)=\text{arccsch}(3x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{-3}{3x\sqrt{1+(3x)^2}}=\cfrac{-3}{3x\sqrt{1+9x^2}}$

Exemplo 2

$f(x)=\text{arccsch}(x^5-2x^3)$

Neste caso temos uma função polinomial no argumento da arcossecante hiperbólica, então também precisamos usar a regra da cadeia para derivá-la:

$f(x)=\text{arccsch}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{-u'}{u\sqrt{1+u^2}}$

Então colocamos a derivada da função argumento no numerador da fração, e no denominador trocamos u pela função polinomial:

$\begin{aligned}f(x)=\text{arccsch}(x^5-2x^3) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black}f'(x)&=\cfrac{-(5x^4-6x^2)}{(x^5-2x^3)\sqrt{1+(x^5-2x^3)^2}}\\[1.5ex] &=\cfrac{-5x^4+6x^2}{(x^5-2x^3)\sqrt{1+(x^5-2x^3)^2}}\end{aligned}$

Derivada do arco cossecante hiperbólico

Fórmula para a derivada do arco cossecante hiperbólico

Exemplos da derivada do arco cossecante hiperbólico

Exemplo 1

Exemplo 2

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