▷ Derivada do seno (fórmula e exercícios resolvidos)

Neste artigo explicamos como criar a derivada seno (fórmula). Você encontrará exemplos de derivadas de funções senoidais e exercícios resolvidos passo a passo para praticar. Além disso, mostramos a segunda derivada do seno, a derivada inversa do seno e até demonstramos a fórmula da derivada do seno.

Qual é a derivada do seno?

A derivada da função seno é a função cosseno. Portanto, a derivada do seno de x é igual ao cosseno de x.

$f(x)=\text{sen}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(x)$

Se houver uma função no argumento do seno, a derivada do seno é o cosseno da referida função multiplicado pela derivada da função.

$f(x)=\text{sen}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(u)\cdot u'$

Esta segunda fórmula para a derivada do seno é obtida aplicando a regra da cadeia à primeira fórmula. Então, em resumo, a fórmula para a derivada da função seno é:

Exemplos de derivada seno

Depois de vermos o que é a fórmula da derivada do seno, explicamos vários exemplos deste tipo de derivadas trigonométricas para que você entenda completamente como derivar a função seno.

Exemplo 1: Derivada do seno de 2x

$f(x)=\text{sen}(2x)$

No argumento do seno temos uma função diferente de x, então precisamos usar a seguinte fórmula para derivar o seno:

$f(x)=\text{sen}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(u)\cdot u'$

A derivada de 2x é 2, então a derivada seno de 2x é o produto do cosseno de 2x vezes 2.

$f(x)=\text{sen}(2x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(2x)\cdot 2=2\text{cos}(2x)$

Exemplo 2: Derivada do seno de x ao quadrado

$f(x)=\text{sen}(x^2)$

A fórmula para a derivada da função seno é:

$f(x)=\text{sen}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(u)\cdot u'$

E como a derivada de x ² é igual a 2x, a derivada do seno de x elevado à potência de 2 é:

$f(x)=\text{sen}(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(x^2)\cdot 2x$

Exemplo 3: Derivada do seno ao cubo

$f(x)=\text{sen}^3(x^5+4x)$

Neste exemplo, a função seno é composta por outra função, devemos portanto utilizar a seguinte regra para diferenciar o seno:

$f(x)=\text{sen}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(u)\cdot u'$

A derivada da função é, portanto:

$f'(x)=3\text{sen}^2(x^5+4x)\cdot \text{cos}(x^5+4x)\cdot (5x^4+4)$

➤ Para derivar esta função, você também deve aplicar a fórmula da derivada de uma potência .

Segunda derivada do seno

Analisaremos então a segunda derivada da função seno, pois sendo uma função trigonométrica apresenta características particulares.

Como vimos acima, a derivada do seno é o cosseno. Bem, a derivada do cosseno é seno, mas mudou de sinal. O que significa que a segunda derivada do seno é o próprio seno, mas mudou de sinal .

$\begin{array}{c}f(x)=\text{sen}(x)\\[1.5ex] \quad\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex] f'(x)=\text{cos}(x)\\[2ex] \quad\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex] f''(x)=-\text{sen}(x)\end{array}$

Contudo, se o argumento do seno não for x, esta condição muda porque precisamos arrastar o termo da regra da cadeia:

$\begin{array}{c}f(x)=\text{sen}(u)\\[1.5ex] \quad\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex] f'(x)=\text{cos}(u)\cdot u' \\[1.5ex] \quad\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex] f''(x)=-\text{sen}(u)\cdot u'^2 +\text{cos}(u)\cdot u'' \end{array}$

Derivada sinusoidal inversa

Como você bem sabe, toda função trigonométrica tem uma função inversa, então o seno inverso também é derivável.

A derivada do seno inverso é igual ao quociente da derivada da função argumento dividida pela raiz quadrada de um menos o quadrado da função argumento.

$f(x)=\text{sen}^{-1}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$

Lembre-se de que o seno inverso também é chamado de arco seno.

Por exemplo, a derivada inversa do seno de 5x é:

$f(x)=\text{sen}^{-1}(5x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{5}{\sqrt{1-(5x)^2}}=\cfrac{5}{\sqrt{1-25x^2}}$

Exercícios resolvidos sobre a derivada do seno

Calcule as derivadas das seguintes funções senoidais:

$\text{A) }f(x)=\text{sen}(7x)$

$\text{B) }f(x)=\text{sen}(x^2+5x-9)$

$\text{C) }\displaystyle f(x)=\text{sen}\left(\frac{x}{4}\right)$

$\text{D) }f(x)=\text{sen}^4(5x^3-10x^2)$

$\text{E) }f(x)=\text{sen}\bigl(\ln(x)\bigr)$

$\text{F) }f(x)=2\text{sen}(x^4-3x^3)-7\text{sen}^2(x^5)$

Veja a solução

$\text{A) }f'(x)=7\text{cos}(7x)$

$\text{B) }f'(x)=\text{cos}(x^2+5x-9)\cdot (2x+5)$

$\text{C) }\displaystyle f'(x)=\text{cos}\left(\frac{x}{4}\right)\cdot \frac{1}{4}=\frac{\text{cos}\left(\frac{x}{4}\right)}{4}$

$\text{D) }f'(x)=4\text{sen}^3(5x^3-10x^2)\cdot \text{cos}(5x^3-10x^2)\cdot (15x^2-20x)$

$\text{E) }f'(x)=\text{cos}\bigl(\ln(x)\bigr)\cdot \cfrac{1}{x} =\cfrac{\text{cos}\bigl(\ln(x)\bigr)}{x}$

$\text{F) }f'(x)=2\text{cos}(x^4-3x^3)\cdot (4x^3-9x^2)-14\text{sen}(x^5)\cdot \text{cos}(x^5)\cdot 5x^4$

Demonstração da derivada seno

Nesta seção mostraremos que a derivada do seno de x é o cosseno de x usando a definição da derivada, que é:

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Neste caso a função a ser derivada é sin(x), portanto:

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{\text{sen}(x+h)-\text{sen}(x)}{h}$

O seno de uma soma pode ser reescrito aplicando a seguinte identidade trigonométrica:

$\text{sen}(a+b)=\text{sen}(a)\text{cos}(b)+\text{cos}(a)\text{sen}(b)$

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{\text{sen}(x)\text{cos}(h)+\text{cos}(x)\text{sen}(h)-\text{sen}(x)}{h}$

Transformamos a fração em duas frações com o mesmo denominador. Podemos fazer esta operação graças à lei do limite de uma soma.

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\left[\frac{\text{sen}(x)(\text{cos}(h)-1)}{h}+\frac{\text{cos}(x)\text{sen}(h)}{h}\right]$

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\text{sen}(x)\frac{\text{cos}(h)-1}{h}+\lim_{h \to 0}\text{cos}(x)\frac{\text{sen}(h)}{h}$

➤ Veja: leis dos limites

Os termos seno de x e cosseno de x não dependem do valor de h, podemos portanto tirá-los do limite:

$\displaystyle f'(x)=\text{sen}(x)\cdot\lim_{h \to 0}\frac{\text{cos}(h)-1}{h}+\text{cos}(x)\cdot\lim_{h \to 0}\frac{\text{sen}(h)}{h}$

Tudo o que precisamos fazer agora é aplicar estes dois limites trigonométricos:

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(x)}{x}=1$

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1-\text{cos}(x)}{x}=0$

➤ Nota: Você pode buscar a demonstração dos dois limites trigonométricos anteriores no mecanismo de busca do nosso site.

$\displaystyle f'(x)=\text{sen}(x)\cdot 0+\text{cos}(x)\cdot 1$

$\displaystyle f'(x)=\text{cos}(x)$

E mostramos assim que a derivada do seno de x é o cosseno de x.

Derivado de mama

Qual é a derivada do seno?

Exemplos de derivada seno

Exemplo 1: Derivada do seno de 2x

Exemplo 2: Derivada do seno de x ao quadrado

Exemplo 3: Derivada do seno ao cubo

Segunda derivada do seno

Derivada sinusoidal inversa

Exercícios resolvidos sobre a derivada do seno

Demonstração da derivada seno

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