▷ Derivada do arco tangente (fórmula e exemplos)

Neste artigo, você aprenderá como derivar o arco tangente de uma função. Além disso, você poderá ver exemplos desse tipo de derivada e até praticar com exercícios resolvidos sobre a derivada do arco tangente. Por fim, mostramos também a prova da fórmula da derivada do arco tangente.

Qual é a derivada do arco tangente?

A derivada do arco tangente de x é um sobre um mais x ao quadrado.

$f(x)=\text{arctan}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{1+x^2}$

Portanto, a derivada do arco tangente de uma função é igual ao quociente da derivada dessa função dividido por um mais a referida função ao quadrado.

$f(x)=\text{arctan}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{1+u^2}$

Neste caso, a função foi representada por au, então esta seria a fórmula da derivada do arco tangente da função u.

Como você pode ver, a fórmula da derivada da tangente inversa é muito semelhante às fórmulas das derivadas do arco seno e do arco cosseno.

Exemplos de derivada do arco tangente

Uma vez conhecida a fórmula da derivada do arco tangente, explicaremos a derivação de vários exemplos deste tipo de derivadas trigonométricas. Dessa forma, será mais fácil entender como o arco tangente de uma função é derivado.

Exemplo 1: Derivada do arco tangente de 2x

$f(x)=\text{arctan}(2x)$

Aplicamos a fórmula para resolver a derivada:

$f(x)=\text{arctan}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{1+u^2}$

A derivada de 2x é 2, então a derivada arco tangente de 2x é 2 sobre um mais 2x ao quadrado:

$f(x)=\text{arctan}(2x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{2}{1+(2x)^2}}=\cfrac{2}{1+ 4x^2}$

Exemplo 2: Derivada do arco tangente de x ao quadrado

$f(x)=\text{arctan}(x^2)$

Para encontrar o resultado da derivada deste exemplo, precisamos usar a fórmula da derivada do arco tangente, que é:

$f(x)=\text{arctan}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{1+u^2}$

Assim, a derivada da função x ² é 2x, então a derivada do arco tangente de x elevado à potência de 2 é:

$f(x)=\text{arctan}(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{2x}{1+\left(x^2\right)^2}=\cfrac{2x}{1+x^4}$

Exemplo 3: Derivada do arco tangente do seno de x

$f(x)=\text{arctan}\bigl(\text{sen}(x)\bigr)$

Logicamente, para calcular a derivada deve-se aplicar a fórmula correspondente:

$f(x)=\text{arctan}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{1+u^2}$

Neste caso temos uma função composta, portanto devemos aplicar a regra da cadeia para calcular a derivada do arco tangente:

$f(x)=\text{arctan}\bigl(\text{sen}(x)\bigr) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{\text{cos}(x)}{1+\text{sen}^2(x)}$

Exercícios resolvidos sobre a derivada do arco tangente

Derive as seguintes funções arco tangente:

$\text{A) } f(x)=\text{arctan}(x^3)$

$\text{B) } f(x)=\cfrac{\text{arctan}(3x^4)}{2}$

$\text{C) } f(x)=\text{arctan}(x^5-3x^3+10)$

$\text{D) }f(x)=\text{arctan}^3(4x^2)$

$\text{E) }f(x)=\text{arctan}\bigl(\ln(x)\bigr)$

$\text{F) } f(x)=\text{arctan}\left(\sqrt{x^2+2x}\right)$

Veja a solução

$\text{A) } f'(x)=\cfrac{3x^2}{1+\left(x^3\right)^2}=\cfrac{3x^2}{1+x^6}$

$\text{B) } f'(x)=\cfrac{12x^3}{2\left(1+\left(3x^4\right)^2\right)}=\cfrac{6x^3}{1+9x^8}$

$\text{C) } f'(x)=\cfrac{5x^4-9x^2}{1+\left(x^5-3x^3+10\right)^2}$

$\text{D) } f'(x)=3\text{arctan}^2(4x^2)\cdot \cfrac{8x}{1+\left(4x^2\right)^2}=\cfrac{24x\cdot\text{arctan}^2(4x^2)}{1+16x^2}$

$\text{E) } f'(x)=\cfrac{\cfrac{1}{x}}{1+\bigl(\ln(x)\bigr)^2}=\cfrac{1}{x\left(1+\ln^2(x)\right)}$

$\text{F) } f'(x)=\cfrac{1}{1+\left(\sqrt{x^2+2x}\right)^2}\cdot \cfrac{2x+2}{2\sqrt{x^2+2x}}=\cfrac{x+1}{\left(1+x^2+2x\right)\sqrt{x^2+2x}}$

Demonstração da fórmula da derivada do arco tangente

A seguir, provaremos a fórmula da derivada do arco tangente.

$y=\text{arctan}(x)$

Primeiro convertemos o arco tangente em tangente aproveitando o fato de que o arco tangente é a função inversa da tangente:

$x=\text{tan}(y)$

Diferenciamos os dois lados da equação:

$1=\cfrac{1}{\text{cos}^2(y)}\cdot y'$

Nós apagamos e’:

$y'=\text{cos}^2(y)$

Por outro lado, graças à identidade trigonométrica fundamental sabemos que a soma dos quadrados do seno e do cosseno é igual a 1. Podemos portanto transformar a expressão anterior numa fração:

$\text{sen}^2(y)+\text{cos}^2(y)=1$