▷ Derivada de uma subtração (fórmula e exercícios resolvidos)

Neste artigo explicamos como derivar uma subtração de funções (fórmula). Você também encontrará exemplos de derivadas de subtração e exercícios resolvidos passo a passo para praticar.

Fórmula para a derivada de uma subtração

A derivada da subtração de duas funções é igual a subtrair a derivada de cada função separadamente.

$z(x)=f(x)-g(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} z'(x)=f'(x)-g'(x)$

Por outras palavras, diferenciar duas funções separadamente e depois subtraí-las equivale a primeiro subtrair as funções e depois calcular a derivada.

Da mesma forma, a mesma regra de diferenciação se aplica a subtrações de duas ou mais funções, portanto, se tivermos uma subtração de três, quatro, cinco,… funções, precisamos derivar cada uma separadamente e depois subtraí-las.

$\begin{array}{c}z(x)=f(x)- g(x)- h(x)- \dots\\[1.5ex]\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex]z'(x)=f'(x)-g'(x)- h'(x)- \dots\end{array}$

Como você pode ver, a fórmula da derivada da diferença de funções é muito semelhante à regra da derivada da soma.

➤ Veja: derivada de uma soma de funções

Exemplos de derivada de subtração

Depois de vermos qual é a fórmula da derivada de uma subtração, passamos agora à análise de vários exemplos de derivadas deste tipo de operações para compreender completamente como são derivadas as subtrações de funções.

Exemplo 1: Derivada de uma subtração de funções potenciais

$f(x)=x^3-4x$

A derivada da subtração de duas funções é equivalente à diferença das derivadas de cada função separadamente. Portanto, primeiro calcularemos a derivada de cada função separadamente:

$\cfrac{d}{dx} \ x^3=3x^2$

$\cfrac{d}{dx}\ 4x=4$

A derivada de toda a função é, portanto, a seguinte:

$f'(x)=3x^2-4$

Exemplo 2: Derivada de uma subtração de diferentes funções

$f(x)=\text{cos}(x)-\log_7(x^2)$

Para diferenciar funções de subtração, primeiro você deve diferenciar as duas funções separadamente e depois subtraí-las.

$\cfrac{d}{dx} \ \text{cos}(x)=-\text{sen}(x)$

$\cfrac{d}{dx}\ \log_7 (x^2)=\cfrac{2x}{x^2\cdot \ln(7)}=\cfrac{2}{x\ln(7)}$

E depois de fazer as duas derivadas, subtraímo-las com a mesma ordem inicial:

$f'(x)=-\text{sen}(x)-\cfrac{2}{x\ln(7)}$

Exemplo 3: Derivada de uma subtração quadrada

$f(x)=\left(x^7-2x^3-9\right)^2$

Neste caso temos uma função composta, pois é uma subtração entre três funções ao quadrado. Devemos, portanto, usar a fórmula da derivada de uma função potencial e a regra da cadeia para calcular a derivada de toda a função:

$f(x)=2\left(x^7-2x^3-9\right)\cdot \left(7x^6-6x^2\right)$

➤ Veja: fórmula para a derivada de uma potência

Exercícios resolvidos sobre a derivada de uma subtração

Derive as seguintes subtrações de funções:

$\text{A) } f(x)=9x^3-5x$

$\text{B) } f(x)=4x^5-6x^4-x^2-4$

$\text{C) } f(x)=\left(-3x^7-2x^5\right)^4$

$\text{D) } f(x)=\ln(5x^2+3x)-\text{cos}(x)$

$\text{E) } f(x)=8x^3-e^{5x}-\sqrt{8x+2}$

Veja a solução

$\text{A) } f'(x)=27x^2-5$

$\text{B) } f'(x)=20x^4-24x^3-2x$

$\text{C) } f'(x)=4\left(-3x^7-2x^5\right)^3\cdot (-21x^6-10x^4)$

$\text{D) } f'(x)=\cfrac{10x+3}{5x^2+3x}-\bilg(-\text{sen}(x)\bigr)=\cfrac{10x+3}{5x^2+3x}+\text{sen}(x)$

$\text{E) } f'(x)=24x^2-5e^{5x}-\cfrac{8}{2\sqrt{8x+2}}=24x^2-5e^{5x}-\cfrac{4}{\sqrt{8x+2}}$

Prova da derivada de uma subtração

A seguir, demonstraremos a fórmula da derivada de uma subtração de funções da definição da derivada, que é:

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Então, se z é a diferença de duas funções diferentes:

$z(x)=f(x)-g(x)$

$\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{z(x+h)-z(x)}{h}$

Substituímos z pela subtração das funções na expressão limite:

$\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{\bigl[f(x+h)-g(x+h)\bigr]-\bigl[f(x)-g(x)\bigr]}{h}$

$\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-g(x+h)-f(x)+g(x)}{h}$

Faremos agora uma transformação para separar a fração e obter a subtração de duas frações:

$\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\left[\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\frac{-g(x+h)+g(x)}{h}\right]$

$\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\left[\frac{f(x+h)-f(x)}{h}-\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right]$

Ao aplicar as leis dos limites, podemos separar a expressão acima em dois limites diferentes. Porque o limite de uma subtração é igual à subtração dos limites:

$\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}-\lim_{h \to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}$

Se você olhar de perto, cada limite corresponde à derivada de uma função, o que significa que a fórmula para a derivada de uma diferença é satisfeita:

$\displaystyle z'(x)=f'(x)-g'(x)$