▷ Derivada de uma soma (fórmula e exercícios resolvidos)

Aqui explicamos como derivar uma soma de funções (fórmula). Além disso, você poderá ver exemplos de derivadas de somas e ainda poderá praticar com exercícios resolvidos sobre a derivada de uma soma. E por fim, você encontrará a demonstração da fórmula da derivada de uma soma.

Fórmula para a derivada de uma soma

A derivada de uma soma de duas funções é igual à soma das derivadas de cada função separadamente.

$z(x)=f(x)+g(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} z'(x)=f'(x)+g'(x)$

Por outras palavras, derivar duas funções separadamente e depois adicioná-las é equivalente a primeiro adicionar as funções e depois calcular a derivada.

Observe que a regra da adição derivada também se aplica à subtração, portanto, se uma função tiver um sinal negativo na frente dela em vez de um sinal positivo, também devemos usar a mesma fórmula para diferenciá-la.

$z(x)=f(x)\pm g(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} z'(x)=f'(x)\pm g'(x)$

Além disso, a adição é uma operação que possui propriedade associativa, ou seja, o número de adições envolvidas na adição é indiferente, pois a derivada de toda a função continuará sendo a adição da derivada de cada função.

$\begin{array}{c}z(x)=f(x)\pm g(x) \pm h(x)\pm \dots\\[1.5ex]\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex]z'(x)=f'(x)\pm g'(x)\pm h'(x)\pm \dots\end{array}$

Exemplos de derivada de uma soma

Depois de vermos qual é a fórmula da derivada de uma soma, veremos vários exemplos de derivadas desse tipo de operação para entender completamente como são derivadas as somas das funções.

Exemplo 1: Derivada de uma soma de funções potenciais

$f(x)=3x^2+5x$

A derivada da soma de duas funções é igual à derivada de cada função separadamente. Portanto, primeiro calculamos a derivada de cada função separadamente:

$\cfrac{d}{dx} \ 3x^2=6x$

$\cfrac{d}{dx}\ 5x=5$

Assim, a derivada de toda a função será a soma das duas derivadas calculadas:

$f'(x)=6x+5$

Exemplo 2: Derivada de uma soma de diferentes funções

$f(x)=\text{sen}(x)+\ln(x)$

Para diferenciar a soma das funções, você deve diferenciar as duas funções separadamente e depois adicioná-las. Portanto, derivamos as funções:

$\cfrac{d}{dx} \ \text{sen}(x)=\text{cos}(x)$

$\cfrac{d}{dx}\ \ln (x)=\cfrac{1}{x}$

E então adicionamos as duas derivadas encontradas:

$f'(x)=\text{cos}(x)+\cfrac{1}{x}$

Exemplo 3: Derivada de uma soma quadrada

$f(x)=\left(3x^4+7x^2+1\right)^2$

Neste caso temos uma função composta, pois temos uma soma de funções elevada a uma potência. Portanto, precisamos aplicar a regra da cadeia para derivar a função inteira:

$f(x)=2\left(3x^4+7x^2+1\right)\cdot (12x^3+14x)$

➤ Veja: derivar uma potência

Exercícios resolvidos sobre derivadas de somas de funções

Derive as seguintes somas de funções

$\text{A) } f(x)=6x^3+9x^2$

$\text{B) } f(x)=x^4+10x^3+5x$

$\text{C) } f(x)=3x^2-4x+7$

$\text{D) } f(x)=\text{cos}(x)+e^{3x}$

$\text{E) } f(x)=\left(x^3+4x^2+6x\right)^3$

$\text{F) } f(x)=\log_3(8x^2+2x)-x^7+e^{x^2}$

Veja a solução

$\text{A) } f'(x)=18x^2+18x$

$\text{B) } f'(x)=4x^3+30x^2+5$

$\text{C) } f'(x)=6x-4$

$\text{D) } f'(x)=-\text{sen}(x)+3e^{3x}$

$\text{E) } f'(x)=3\left(x^3+4x^2+6x\right)^2\cdot (3x^2+8x+6)$

$\text{F) } f'(x)=\cfrac{16x+2}{(8x^2+2x)\ln(3)}-7x^6+2x\cdot e^{x^2}$

Demonstração da fórmula da derivada de uma soma

Nesta última seção, demonstraremos a fórmula da derivada de uma soma de funções. E, para isso, recorremos à definição matemática da derivada, que é a seguinte:

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$