▷ Derivada de uma potência (fórmula e exercícios resolvidos)

Aqui explicamos como derivar uma potência (ou função potencial), você encontrará a fórmula da derivada de uma potência, vários exemplos e poderá até praticar com exercícios resolvidos passo a passo.

Fórmula para a derivada de uma potência

A derivada de uma potência, ou função potencial, é o produto do expoente da potência vezes a base elevada ao expoente menos 1 vezes a derivada da base.

$f(x)=u^k \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=k\cdot u^{k-1}\cdot u'$

Portanto, se a base for a função identidade , para obter a potência, basta multiplicar a função pelo expoente e subtrair uma unidade do expoente:

$f(x)=x^k \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=k\cdot x^{k-1}$

Na verdade, a derivada da função identidade é igual a 1.

Em resumo, para derivar uma função potencial, existem duas fórmulas: a primeira que sempre pode ser usada e a segunda que só pode ser aplicada quando a base for um x.

Podemos facilmente verificar que a primeira fórmula apresentada para a derivada de uma potência é semelhante à segunda, mas aplicando a regra da cadeia.

Observe que essas fórmulas só podem ser usadas quando a variável é a base da potência, se o x estiver no denominador você deve aplicar a regra para a derivada de uma função exponencial:

➤ Veja: derivada de uma função exponencial

Exemplos de derivados de potência

Depois de vermos a fórmula da derivada de uma função potencial, explicaremos vários exemplos deste tipo de derivada para que você entenda como as potências são derivadas.

Exemplo 1: Derivada de uma potência base x

$f(x)=x^4$

Como explicamos na seção anterior, quando a base da potência é apenas x, a fórmula que devemos usar para derivar a função é:

$f(x)=x^k \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=k\cdot x^{k-1}$

A derivada da potência x elevada à potência de 4 é, portanto:

$f(x)=x^4 \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=4\cdot x^{4-1}=4x^3$

Exemplo 2: Derivada de uma potência com parênteses

$f(x)=(2x-1)^5$

Neste exemplo a base não é a função identidade, devemos portanto usar a fórmula geral para a derivada de uma potência:

$f(x)=u^k \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=k\cdot u^{k-1}\cdot u'$

A função entre parênteses é uma função linear, então sua derivada é 2. Portanto, a derivada de toda a função potencial é:

$f(x)=(2x-1)^5 \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=5\cdot (2x-1)^4\cdot 2=10(2x-1)^4$

Exemplo 3: Derivada de uma potência negativa

$f(x)=(\log 9x)^{-2}$

Neste caso temos uma função potencial cujo expoente é negativo e cuja base é um logaritmo, portanto utilizaremos a seguinte fórmula para diferenciar a função:

$f(x)=u^k \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=k\cdot u^{k-1}\cdot u'$

Mesmo que o expoente da potência seja negativo, também deve ser subtraído dele. A derivada da função é, portanto:

$f'(x)=-2\cdot (\log 9x)^{-3}\cdot \cfrac{1}{9x\cdot \ln 10}\cdot 9 =\cfrac{-2(\log 9x)^{-3}}{x\ln 10}$

Se tiver alguma dúvida sobre a solução, pode consultar aqui a fórmula da derivada de uma função logarítmica:

➤ Veja: derivada de uma função logarítmica

Exemplo 4: Derivada de uma potência com raiz

$f(x)=\sqrt[3]{(5x+2)^7}$

A função neste exemplo é uma potência dentro de uma expressão regular. No entanto, os radicais podem ser transformados em expressões potenciais, de modo que a função pode ser simplificada convertendo-a em uma função potencial com um expoente fracionário:

$f(x)=(5x+2)^{\frac{7}{3}}$