Derivada de uma função logarítmica

Aqui você descobrirá como resolver a derivada de uma função logarítmica em qualquer base (fórmula). Além disso, você poderá praticar exercícios passo a passo sobre derivadas de funções logarítmicas.

A fórmula de divisão de uma função logarítmica varia dependendo se o logaritmo é natural (com base e) ou outra base . Portanto, primeiro veremos as duas fórmulas separadamente com um exemplo para cada caso, e depois faremos um resumo das duas regras.

Derivada de um logaritmo natural ou natural

A derivada de um logaritmo natural (ou logaritmo natural) é o quociente da derivada do argumento do logaritmo dividido pela função do argumento.

f(x)=\ln(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u}

Logicamente, se a função dentro do logaritmo for a função identidade, permanece 1 no numerador da derivada:

f(x)=\ln(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x}

Veja o exemplo a seguir em que a derivada do logaritmo natural de 3x é resolvida:

f(x)=\ln(3x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{3}{3x}=\cfrac{1}{x}

Lembre-se que o logaritmo natural é um logaritmo cuja base é o número e (número de Euler).

\ln(x)=\log_e(x)

Derivada de um logaritmo baseado em

A derivada de um logaritmo para qualquer base é igual a 1 dividido pelo produto de x vezes o logaritmo natural da base do logaritmo original.

f(x)=\log_a(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x\cdot\ln(a)}

Portanto, se aplicarmos a regra da cadeia, a regra da derivada logarítmica será:

f(x)=\log_a(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u\cdot \ln(a)}

Por exemplo, a derivada do logaritmo de base 2 de x ao quadrado é:

f(x)=\log_2(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{2x}{x^2\cdot\ln(2)}=\cfrac{2}{x\ln(2)}

Fórmula para a derivada de uma função logarítmica

Considerando a definição da derivada logarítmica e suas duas variantes possíveis, aqui está um resumo das duas fórmulas para facilitar sua lembrança.

derivada de uma função logarítmica

Problemas resolvidos de derivadas de funções logarítmicas

Exercício 1

Derive a seguinte função logarítmica:

f(x)=\log(3x^2)

Neste caso é necessário resolver a derivada de um logaritmo em base decimal, devemos portanto aplicar a seguinte fórmula:

f(x)=\log_a(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u\cdot \ln(a)}

A derivada do logaritmo na base 10 é portanto:

f(x)=\log(3x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{6x}{3x^2\cdot \ln(10)}=\cfrac{2}{x \ln(10)}

Lembre-se que se um logaritmo não tiver base, significa que sua base é 10.

Exercício 2

Derive o seguinte logaritmo natural (ou natural):

f(x)=\ln\left(x^3+4x^2\right)^5

A função neste problema é um logaritmo natural, portanto precisamos usar a seguinte regra para derivar a função logarítmica:

f(x)=\ln(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u}

A derivada do logaritmo natural é, portanto:

\begin{aligned}f'(x)&=\cfrac{5\left(x^3+4x^2\right)^4\cdot (3x^2+8x)}{\left(x^3+4x^2\right)^5}\\[2ex] &=\cfrac{5\cdot (3x^2+8x)}{x^3+4x^2}\\[2ex] &=\cfrac{15x^2+40x}{x^3+4x^2}\\[2ex] &=\cfrac{15x+40}{x^2+4x}\end{aligned}

Exercício 3

Derive o seguinte logaritmo:

f(x)=\log_7(x^5+7x^2-3x+1)

Neste exercício precisamos derivar um logaritmo de base 7, então usaremos a seguinte fórmula:

f(x)=\log_a(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u\cdot \ln(a)}

E a derivada do logaritmo é:

f'(x)=\cfrac{5x^4+14x-3}{(x^5+7x^2-3x+1)\cdot \ln(7)}

Exercício 4

Encontre a derivada da seguinte função logarítmica com uma fração:

\displaystyle f(x)=\log_4\left(\frac{5x}{8x^2-1}\right)

Para resolver a derivada logarítmica, podemos primeiro simplificar a função aplicando as propriedades dos logaritmos:

f(x)=\log_4(5x)-\log_4(8x^2-1)

Agora temos que usar a fórmula da derivada logarítmica duas vezes, mas ambas as derivadas são mais fáceis de calcular.

f(x)=\log_a(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u\cdot \ln(a)}

Em resumo, a derivada da função é:

\begin{aligned}f'(x)&=\cfrac{5}{5x\cdot \ln(4)}-\cfrac{16x}{(8x^2-1)\cdot \ln(4)}\\[2ex]&=\cfrac{1}{x\ln(4)}-\cfrac{16x}{(8x^2-1)\ln(4)}\end{aligned}

Exercício 5

Calcule a derivada da seguinte função logarítmica com uma raiz:

f(x)=\ln\left(\sqrt[4]{\text{cos}(9x)}\right)

Primeiro, simplificaremos a função usando as propriedades dos logaritmos:

f(x)=\ln\left(\text{cos}(9x)\right)^{\frac{1}{4}}

\displaystyle f(x)=\frac{1}{4}\ln\left(\text{cos}(9x)\right)

E uma vez removido o radical da função, usamos a regra para a derivada do logaritmo natural ou natural:

f(x)=\ln(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u}

Portanto, a derivada da função logarítmica composta é:

f'(x)&=\cfrac{1}{4}\cdot \cfrac{-\text{sen}(9x)\cdot 9}{\text{cos}(9x)}=\cfrac{-9\text{sen}(9x)}{4\text{cos}(9x)}

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