Derivada de uma função linear

Neste artigo mostramos quanto é a derivada de uma função linear. Adicionalmente, resolvemos vários exemplos de derivadas de funções lineares e demonstramos a fórmula para este tipo de derivada. Você encontrará até exercícios resolvidos sobre derivadas de funções lineares.

Qual é a derivada de uma função linear?

A derivada de uma função linear é o coeficiente do termo de primeiro grau , ou seja, a derivada de uma função linear f(x)=Ax+B é igual a A.

$f(x)=Ax+B\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=A$

O termo independente é removido da derivada porque a derivada de uma constante é zero. E, por outro lado, a derivada de um termo de primeiro grau é o coeficiente desse termo. Portanto, a derivada da soma desses dois tipos de funções é o coeficiente do termo linear.

Geometricamente, a derivada de uma função linear é a inclinação dessa função. No gráfico acima você pode ver representada uma função linear com sua derivada.

Exemplos de derivadas de funções lineares

Dada a definição da derivada de uma função linear, calcularemos vários exemplos de funções lineares para finalizar a compreensão do conceito:

$\begin{array}{c}f(x)=3x+1\quad\longrightarrow\quad f'(x)=3\\[3ex]f(x)=5x-4\quad\longrightarrow\quad f'(x)=5\\[3ex] f(x)=-2x+9\quad\longrightarrow\quad f'(x)=-2\end{array}$

Lembre-se que a derivada da função linear é sempre o número que acompanha a variável x quando a função não possui termo independente, ou seja, se possui apenas um termo de primeiro grau. Por exemplo:

$f(x)=8x\quad\longrightarrow\quad f'(x)=8$

Portanto, a derivada de uma função linear é uma função sem variável independente, um número simples.

Prova da derivada de uma função linear

A seguir, demonstraremos a fórmula da derivada de uma função linear.

Seja f qualquer função linear:

$f(x)=Ax+B$

A fórmula para calcular a derivada de uma função em um ponto é:

$\displaystyle f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

Então, se calcularmos o limite anterior para uma função linear, obtemos:

$\displaystyle f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{A(a+h)+B-(A\cdot a+B)}{h}$

Resolvemos os parênteses:

$\displaystyle f'(a)=\frac{Aa+Ah+B-Aa-B}{h}$

Operamos no numerador:

$\displaystyle f'(a)=\frac{Ah}{h}$

E finalmente, simplificamos a fração:

$\displaystyle f'(a)=A$

Concluindo, a derivada de uma função linear é igual ao coeficiente do termo de primeiro grau em qualquer ponto. Assim, a fórmula para a derivada de uma função linear é derivada.

Problemas resolvidos de derivadas de funções lineares

Calcule as derivadas das seguintes funções lineares:

$\text{A)}\ f(x)=2x-25$

$\text{B)}\ f(x)=x+3$

$\text{C)}\ f(x)=-9x-1$

$\text{D)}\ f(x)=\cfrac{1}{2}x+7$

$\text{E)}\ f(x)=5x$

$\text{F)}\ f(x)=\sqrt{7}x+\frac{3}{4}$

veja solução

Para derivar uma função linear, basta eliminar o termo constante e a variável da função, de modo que permaneça apenas o coeficiente do termo linear. Ainda:

$\text{A)}\ f'(x)=2$