Derivada do cosseno hiperbólico

Neste artigo explicamos como derivar o cosseno hiperbólico de uma função. Além disso, você encontrará exemplos de derivadas hiperbólicas de cosseno e, por fim, mostraremos a fórmula desse tipo de derivada trigonométrica.

Fórmula derivada do cosseno hiperbólico

A derivada do cosseno hiperbólico de x é o seno hiperbólico de x.

$f(x)=\text{cosh}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(x)$

Portanto, a derivada do cosseno hiperbólico de uma função é igual ao produto do seno hiperbólico da função e a derivada dessa função.

$f(x)=\text{cosh}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(u)\cdot u'$

A segunda fórmula é idêntica à primeira, a única diferença é que na segunda se aplica a regra da cadeia. Assim, a primeira fórmula só pode ser usada para derivar o cosseno hiperbólico de x, enquanto a segunda fórmula pode ser usada para derivar o cosseno hiperbólico de qualquer tipo de função.

Como você pode ver, a fórmula da derivada do cosseno hiperbólico é diferente da fórmula da derivada do cosseno, embora compartilhem algumas semelhanças.

➤ Veja: fórmula da derivada do cosseno

Exemplos da derivada do cosseno hiperbólico

Dada a fórmula da derivada do cosseno hiperbólico, resolvemos a seguir vários exemplos de derivadas deste tipo de funções trigonométricas. Lembre-se, você pode tirar qualquer dúvida que surgir nos comentários.

Exemplo 1: Derivada do cosseno hiperbólico de 2x

$f(x)=\text{cosh}(2x)$

Neste exemplo temos no argumento do cosseno hiperbólico uma função diferente de x, portanto devemos utilizar a fórmula da derivada do cosseno hiperbólico com a regra da cadeia:

$f(x)=\text{cosh}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(u)\cdot u'$

A derivada de 2x é 2, então a derivada do cosseno hiperbólico de 2x é o seno hiperbólico de 2x vezes 2.

$f(x)=\text{cosh}(2x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(2x)\cdot 2=2\text{cosh}(2x)$

Exemplo 2: Derivada do cosseno hiperbólico de x ao quadrado

$f(x)=\text{cosh}(x^2)$

Como vimos acima, a regra para a derivada da função cosseno hiperbólica é:

$f(x)=\text{cosh}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(u)\cdot u'$

Assim, derivamos por um lado a função quadrática x ² , que dá 2x, depois calculamos a derivada de toda a função:

$f(x)=\text{cosh}(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(x^2)\cdot 2x$

Prova da fórmula da derivada do cosseno hiperbólico

Por fim, mostraremos a fórmula derivada do cosseno hiperbólico para que você possa ver de onde ela vem. Se partirmos da expressão do cosseno hiperbólico:

$\text{cosh}(x)=\cfrac{e^x+e^{-x}}{2}$