Neste artigo explicamos como derivar a secante hiperbólica de uma função. Você encontrará a fórmula da derivada da secante hiperbólica e vários exemplos trabalhados deste tipo de derivada.
Fórmula para a derivada da secante hiperbólica
A derivada da secante hiperbólica de x é igual a menos o produto da secante hiperbólica de x vezes a tangente hiperbólica de x.
Portanto, a derivada da secante hiperbólica de uma função é menos o produto da secante hiperbólica da função vezes a tangente hiperbólica da função vezes a derivada da referida função.
Resumindo, a fórmula para a derivada da função secante hiperbólica é:
Observe que ambas as expressões pertencem, na verdade, a uma única fórmula. A única diferença é que na segunda fórmula é aplicada a regra da cadeia.
Exemplos de derivada da secante hiperbólica
Agora que conhecemos a fórmula da derivada da secante hiperbólica, veremos vários exercícios resolvidos deste tipo de derivada trigonométrica.
Exemplo 1
Neste exemplo, temos uma função diferente de x no argumento da secante hiperbólica, portanto, para derivá-la, precisamos usar a fórmula da regra da cadeia.
Como a função 2x é linear, sua derivada é 2. Portanto, para encontrar a derivada, simplesmente substituímos u por 2x e u’ por 2 na fórmula:
Exemplo 2
A função deste exercício é composta, pois a secante hiperbólica tem outra função no seu argumento. Devemos, portanto, usar a fórmula da secante hiperbólica com a regra da cadeia para fazer sua derivação:
A derivada de x elevada a 2 dá 2x, então a derivada da secante hiperbólica de x ao quadrado é:
