Derivada da função exponencial

Neste artigo explicamos como derivar uma função exponencial. Você encontrará a fórmula da derivada exponencial (com base a e base e) e exercícios resolvidos para derivadas de funções exponenciais.

A regra para a derivada da função exponencial depende da base da potência , pois dependendo se a base é um número qualquer (a) ou o número e, a função deriva de forma diferente. É por isso que examinaremos cada caso separadamente a seguir e, em seguida, resumiremos as duas fórmulas para entender completamente como derivar uma função exponencial.

Derivada da função exponencial com base a

A derivada da função exponencial com base a é igual ao produto da função e o logaritmo natural da base da potência e a derivada do expoente.

f(x)=a^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=a^u\cdot \ln(a) \cdot u'

Por exemplo, a derivada da seguinte função exponencial é:

f(x)=5^{x^2+1} \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=5^{x^2+1}\cdot \ln(5) \cdot 2x

Derivada da função exponencial com base e

A derivada da função exponencial com base e equivale ao produto da mesma função pela derivada do expoente.

f(x)=e^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^u\cdot u'

Por exemplo, a derivada do número e elevado a 4x é:

f(x)=e^{4x}\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^{4x} \cdot 4=4e^{4x}

Fórmula derivada exponencial

Como vimos, a derivada de uma função exponencial depende da sua base. E as duas fórmulas usadas para derivar as funções exponenciais são:

derivada exponencial

Derivada exponencial de e a x

Depois de vermos o que é a fórmula da derivada exponencial, analisaremos o caso da derivada de e em x, porque é um caso curioso.

A derivada da função e sobre x sempre resulta na própria função , ou seja, não importa quantas vezes derivamos a função e x , sempre obteremos a mesma função.

\begin{array}{c} f(x)=e^x \\[2ex] f'(x)=e^x\\[2ex] f''(x)=e^x\\[2ex] f'''(x)=e^x\\ \vdots\\ f^n(x)=e^x\end{array}

Esta propriedade da função e elevada a x se deve ao fato da derivada de x ser 1. Portanto, ao derivar, sempre multiplicamos a própria função por 1 e, como resultado, sempre obtemos a função d’origem.

f(x)=e^x \quad\longrightarrow\quad f'(x)=e^x\cdot 1= e^x

Problemas resolvidos de derivadas de funções exponenciais

Exercício 1

Derive a seguinte função exponencial:

f(x)=3^x

A função é baseada em um número diferente de e, então precisamos usar a seguinte fórmula:

f(x)=a^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=a^u\cdot \ln(a) \cdot u'

A derivada da função exponencial na base 3 é portanto:

f(x)=3^x \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=3^x\cdot \ln(3) \cdot 1=3^x\cdot \ln(3)

Exercício 2

Calcule a derivada da seguinte função exponencial:

f(x)=7^{3x^2-4x}

A função neste exercício é baseada em um número diferente de e, portanto a seguinte fórmula deve ser aplicada:

f(x)=a^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=a^u\cdot \ln(a) \cdot u'

Então a derivada da função é:

f(x)=7^{3x^2-4x} \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=7^{3x^2-4x}\cdot \ln(7) \cdot (6x-4)

Exercício 3

Encontre a derivada da seguinte função exponencial com base e:

f(x)=e^{(5x^2-9x)^3}

A função neste exercício tem como base o número e, portanto podemos usar a seguinte fórmula:

f(x)=e^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^u\cdot u'

E a derivação da função exponencial dá:

f'(x)=e^{(5x^2-9x)^3} \cdot 3(5x^2-9x)^2\cdot (10x-9)

Observe que para resolver esta derivada precisamos usar a regra da cadeia.

Exercício 4

Encontre a derivada da seguinte função exponencial com uma raiz como expoente:

f(x)=9^{\sqrt{5x}}

➤ Veja: derivada de uma função radical

Embora haja uma expressão radical no expoente, ainda precisamos usar a regra para derivar a função exponencial da base a:

f(x)=a^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=a^u\cdot \ln(a) \cdot u'

A derivada da função exponencial composta é, portanto:

f'(x)=9^{\sqrt{5x}}\cdot \ln(9) \cdot \cfrac{5}{2\sqrt{5x}}

Exercício 5

Derive a seguinte função exponencial da base e com um expoente fracionário:

f(x)=e^{\frac{x^2}{5-3x}}

➤ Veja: derivada de um quociente de funções

A base da potência é o número e, então usaremos a seguinte regra para dividir a função:

f(x)=e^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^u\cdot u'

A derivada da função exponencial é, portanto:

\begin{aligned}f'(x)&=e^{\frac{x^2}{5-3x}} \cdot \cfrac{2x\cdot (5-3x)-x^2\cdot (-3)}{(5-3x)^2}\\[3ex] &=e^{\frac{x^2}{5-3x}} \cdot \cfrac{10x-6x^2+3x^2}{(5-3x)^2}\\[3ex] &=e^{\frac{x^2}{5-3x}} \cdot \cfrac{10x-3x^2}{(5-3x)^2}\end{aligned}

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