Derivada da cossecante

Neste artigo explicamos como derivar a cossecante de uma função (fórmula). Você também encontrará exercícios resolvidos passo a passo para a derivada da cossecante. E por fim, você poderá ver a demonstração da fórmula desse tipo de derivada trigonométrica.

Fórmula derivada cossecante

A derivada da cossecante de x é igual a menos o quociente do cosseno de x dividido pelo seno quadrado de x.

$f(x)=\text{cosec}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{\text{cos}(x)}{\text{sen}^2(x)}$

Usando fórmulas trigonométricas, também podemos definir a derivada da cossecante de x como menos o produto da cotangente de x vezes a cossecante de x.

$f'(x)=-\cfrac{\text{cos}(x)}{\text{sen}^2(x)}=-\cfrac{\text{cos}(x)}{\text{sen}(x)}\cdot \cfrac{1}{\text{sen}(x)}=-\text{cot}(x)\cdot \text{cosec}(x)$

E se aplicarmos a regra da cadeia, a derivada da cossecante de uma função é menos o produto da derivada da função vezes o cosseno da função, dividido pelo seno ao quadrado da função.

$f(x)=\text{cosec}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{u'\cdot \text{cos}(u)}{\text{sen}^2(u)}$

A fórmula usada para derivar a cossecante de uma função é, portanto, a seguinte:

Exemplos de derivada da cossecante

Tendo visto qual é a fórmula da derivada da cossecante, daremos agora vários exemplos. Assim você pode ver exatamente como a cossecante de uma função é derivada.

Exemplo 1: Derivada da cossecante de 2x

Neste exemplo veremos quanto é a derivada da cossecante de 2x:

$f(x)=\text{cosec}(2x)$

A função do argumento da cossecante é diferente de x, então precisamos usar a regra da derivada da cossecante com a regra da cadeia.

$f(x)=\text{cosec}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{u'\cdot \text{cos}(u)}{\text{sen}^2(u)}$

Então, para encontrar a derivada dessa função trigonométrica, basta substituir os valores da fórmula anterior: no argumento cosseno e seno colocamos 2x, e u’ corresponde à derivada de 2x, ou seja, 2:

$f(x)=\text{cosec}(2x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{2\cdot \text{cos}(2x)}{\text{sen}^2(2x)}$

Exemplo 2: Derivada da cossecante de x ao quadrado

Neste exercício, veremos quanto é a derivada da cossecante de x ao quadrado:

$f(x)=\text{cosec}(x^2)$

Logicamente, a derivada desta função trigonométrica é resolvida usando a fórmula da derivada da cossecante:

$f(x)=\text{cosec}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{u'\cdot \text{cos}(u)}{\text{sen}^2(u)}$

A derivada de x ao quadrado dá 2x, então a derivada da cossecante de x elevada a dois é:

$f(x)=\text{cosec}(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{2x\cdot \text{cos}(x^2)}{\text{sen}^2(x^2)}$

Exemplo 3: Derivada da cossecante ao cubo de uma função exponencial

$f(x)=\text{cosec}^3(e^{5x})$

Qualquer que seja o argumento da função, a regra para a derivada da cossecante de uma função é:

$f(x)=\text{cosec}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{u'\cdot \text{cos}(u)}{\text{sen}^2(u)}$

Mas neste caso temos uma função composta, porque a cossecante é elevada a três e, além disso, no seu argumento há uma função exponencial. Então, para derivar toda a função, precisamos aplicar a regra da cadeia várias vezes:

$\begin{aligned}\displaystyle f'(x)& = 3\text{cosec}^2(e^{5x})\cdot\left(-\frac{5e^{5x}\cdot \text{cos}(e^{5x})}{\text{sen}^2(e^{5x})}\right)\\[1.5ex]&=-\frac{-15\text{cosec}^2(e^{5x})\cdot e^{5x}\cdot \text{cos}(e^{5x})}{\text{sen}^2(e^{5x})}\end{aligned}$

Problemas resolvidos da derivada da cossecante

Derive as seguintes funções cossecantes:

$\text{A) }f(x)=\text{cosec}(x^4-2x^2)$

$\text{B) }f(x)=\text{cosec}(x^3+e^x-10)$

$\text{C) }f(x)=\text{cosec}\bigl(\ln(x^3+7x^2)\bigr)$

$\text{D) }f(x)=\text{cosec}\bigl(\text{arccos}(x^7)\bigr)$

$\text{E) }f(x)=\text{cosec}\left(\sqrt{9x^2-4x}\right)$

veja solução

$\text{A) }f('x)=-\cfrac{(4x^3-4x)\cdot \text{cos}(x^4-2x^2)}{\text{sen}^2(x^4-2x^2)}$

$\text{B) }f('x)=-\cfrac{(3x^2+e^x)\cdot \text{cos}(x^3+e^x-10)}{\text{sen}^2(x^3+e^x-10)}$

$\begin{aligned}\text{C) }f'(x)& =-\cfrac{\cfrac{3x^2+14x}{x^3+7x^2}\cdot \text{cos}\bigl(\ln(x^3+7x^2)\bigr)}{\text{sen}^2\bigl(\ln(x^3+7x^2)\bigr)}\\[1.5ex] &= -\cfrac{\cfrac{3x+14}{x^2+7x}\cdot \text{cos}\bigl(\ln(x^3+7x^2)\bigr)}{\text{sen}^2\bigl(\ln(x^3+7x^2)\bigr)}\\[1.5ex] &= -\cfrac{(3x+14)\cdot \text{cos}\bigl(\ln(x^3+7x^2)\bigr)}{(x^2+7x)\cdot \text{sen}^2\bigl(\ln(x^3+7x^2)\bigr)}\end{aligned}$

$\begin{aligned}\text{D) }f'(x)& =-\cfrac{-\cfrac{7x^6}{\sqrt{1-\left(x^7\right)^2}}\cdot \text{cos}\bigl(\text{arccos}(x^7)\bigr)}{\text{sen}^2\bigl(\text{arccos}(x^7)\bigr)}\\[1.5ex] & =-\cfrac{(-7x^6)\cdot \text{cos}\bigl(\text{arccos}(x^7)\bigr)}{\left(\sqrt{1-x^{14}}\right)\cdot \text{sen}^2\bigl(\text{arccos}(x^7)\bigr)}\\[1.5ex] & =\cfrac{7x^6\cdot \text{cos}\bigl(\text{arccos}(x^7)\bigr)}{\left(\sqrt{1-x^{14}}\right)\cdot \text{sen}^2\bigl(\text{arccos}(x^7)\bigr)}\end{aligned}$

$\begin{aligned} \text{E) }f'(x)& =-\cfrac{\cfrac{18x-4}{2\cdot\sqrt{9x^2-4x}} \cdot \text{cos}\left(\sqrt{9x^2-4x}\right)}{\text{sen}^2\left(\sqrt{9x^2-4x}\right)}\\[1.5ex] &=-\cfrac{(18x-4)\cdot \text{cos}\left(\sqrt{9x^2-4x}\right)}{2\sqrt{9x^2-4x}\cdot \text{sen}^2\left(\sqrt{9x^2-4x}\right)} \end{aligned}$

Prova da fórmula da derivada da cossecante

A seguir, demonstraremos a fórmula da derivada da cossecante. Ao contrário de outras demonstrações, neste caso não utilizaremos o limite que define uma derivada, mas partiremos da definição matemática da cossecante.

Algebricamente, a função trigonométrica cossecante é o inverso multiplicativo do seno:

$f(x)=\text{cosec}(x)=\cfrac{1}{\text{sen}(x)}$

Podemos, portanto, derivar a cossecante usando a regra do quociente:

$f'(x)=\cfrac{0\cdot \text{sen}(x)-1\cdot \text{cos}(x)}{\text{sen}^2(x)}$

$f'(x)=\cfrac{-\text{cos}(x)}{\text{sen}^2(x)}$

Como você pode ver, é somente aplicando a regra da derivada de uma divisão que chegamos à fórmula da derivada da cossecante. E como a derivada de um quociente já está provada (você pode ver no link a seguir), a regra da derivada da cossecante também está provada.

➤ Veja: prova da derivada de um quociente

Fórmula derivada cossecante

Exemplos de derivada da cossecante

Exemplo 1: Derivada da cossecante de 2x

Exemplo 2: Derivada da cossecante de x ao quadrado

Exemplo 3: Derivada da cossecante ao cubo de uma função exponencial

Problemas resolvidos da derivada da cossecante

Prova da fórmula da derivada da cossecante

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