Linhas coincidentes

Aqui você encontrará tudo sobre retas coincidentes: o que significam, como determinar se duas retas são coincidentes, suas propriedades, etc. Além disso, você poderá ver exemplos e exercícios resolvidos de linhas coincidentes.

Quais são duas linhas coincidentes?

Duas retas coincidentes são duas retas que têm todos os seus pontos em comum. Portanto, duas linhas coincidentes são completamente idênticas.

Por exemplo, abaixo você tem duas linhas coincidentes representadas no gráfico, o que acontece é que você só vê uma porque elas se sobrepõem (são iguais).

Duas retas coincidentes têm sempre a mesma direção, portanto, geometricamente, formam um ângulo de 0º.

Por outro lado, lembre-se que no plano existem 4 possibilidades no conceito de posição relativa entre duas retas: duas retas podem ser coincidentes, paralelas , secantes e perpendiculares . Se quiser, você pode conferir o significado de cada tipo de linha e a diferença entre elas nestes 3 links.

Como você sabe se duas linhas coincidem?

Saber quando duas retas coincidem depende se você trabalha com duas coordenadas (em R2) ou com três coordenadas (em R3).

Determine duas retas coincidentes no plano

Quando operamos no espaço bidimensional (2D), é muito fácil ver quando duas retas coincidem e quando elas não surgem da equação implícita ou da equação explícita da reta.

Além destas duas formas, também podemos verificar se duas retas coincidem resolvendo o sistema de equações formado pelas equações das duas retas (se o sistema dá infinitas soluções isso implica que elas coincidem). Mas este procedimento é mais complicado e demorado, por isso não o explicaremos detalhadamente porque é melhor fazê-lo a partir dos coeficientes da equação implícita ou da equação explícita.

Da equação implícita (ou geral) da reta

Uma maneira de saber se duas retas coincidem é usar a equação implícita da reta, também conhecida como equação geral ou cartesiana.

A equação implícita da reta corresponde à seguinte expressão:

$Ax+By+C=0$

Pois bem , se duas retas possuem os três coeficientes proporcionais (A, B e C) , isso implica que elas coincidem.

$r: \ Ax+By+C=0 \qquad \qquad s: \ A'x+B'y+C'=0$

$\cfrac{A}{A'} = \cfrac{B}{B'}= \cfrac{C}{C'} \quad \longrightarrow \quad \bm{r} \text{ y } \bm{s} \text{ son coincidentes}$

Por exemplo, as duas linhas a seguir correspondem:

$r: \ 4x+6y-2=0 \qquad \qquad s: \ 2x+3y-1=0$

E coincidem porque os parâmetros A, B e C são proporcionais entre si:

$\cfrac{4}{2} = \cfrac{6}{3}= \cfrac{-2}{-1}= 2$

Da equação explícita da reta

Outra maneira de descobrir se duas retas realmente coincidem é usar a equação explícita da reta. Lembre-se de que a equação explícita da reta é a seguinte:

$y=mx+n$

Se duas retas têm a mesma inclinação (coeficiente m) e a mesma ordenada na origem (coeficiente n), são duas retas combinadas.

$r: \ y=m_rx+n_r \qquad \qquad s: \ y=m_sx+n_s$

$\left.\begin{array}{c} m_r = m_s \\[2ex] n_r=n_s \end{array} \right\} \longrightarrow \ \bm{r} \text{ y } \bm{s} \text{ son coincidentes}$

Por exemplo, as duas linhas a seguir são iguais porque originalmente têm inclinações e ordenadas equivalentes:

$r: \ y=3x-1 \qquad \qquad s: \ y=3x-1$

Deve-se notar que se tivessem a mesma inclinação, mas ordenadas de forma diferente na origem, seriam retas paralelas e não coincidentes.

Finalmente, como você pode ver no exemplo, as duas retas coincidentes têm a mesma equação explícita. Isto é aplicável a qualquer tipo de equação de reta: se duas retas coincidem em sua equação, isso significa que elas são coincidentes.

encontre duas linhas coincidentes no espaço

Identificar duas retas coincidentes no espaço (em R3) é diferente daquela no plano cartesiano (em R2), pois os cálculos devem ser realizados com mais uma coordenada. Então, vamos ver como isso é feito:

Dadas as equações de duas retas diferentes no espaço:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\[2ex]A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} A_1'x+B_1'y+C_1'z+D_1'=0 \\[2ex]A_2'x+B_2'y+C_2'z+D_2'=0 \end{cases}$

E sejam M e M’ as matrizes formadas pelos coeficientes das retas:

$\displaystyle M=\begin{pmatrix} A_1&B_1&C_1\\[1.1ex]A_2&B_2&C_2 \\[1.1ex]A_1'&B_1'&C_1'\\[1.1ex]A_2'&B_2'&C_2' \end{pmatrix}\qquad \qquad M'=\begin{pmatrix} A_1&B_1&C_1&D_1 \\[1.1ex]A_2&B_2&C_2&D_2 \\[1.1ex]A_1'&B_1'&C_1'&D_1'\\[1.1ex]A_2'&B_2'&C_2'&D_2' \end{pmatrix}$

Então, se o posto das matrizes M e M’ for igual a 2, as duas retas coincidem.

$rg(M)=rg(M') = 2 \ \longrightarrow \ \bm{r} \text{ y } \bm{s} \text{ son coincidentes}$

Vejamos um exemplo de retas coincidentes no espaço através de um exercício resolvido passo a passo:

Determine se as duas linhas a seguir correspondem ou não:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} x+2y+z+3=0 \\[2ex]3x+4y+z+8=0 \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} x-z+2=0 \\[2ex]2y+2z+1=0 \end{cases}$

A matriz M e a matriz estendida M’ dos coeficientes das retas são:

$\displaystyle M=\begin{pmatrix} 1&2&1 \\[1.1ex]3&4&1 \\[1.1ex]1&0&-1\\[1.1ex]0&2&2\end{pmatrix}\qquad \qquad M'=\begin{pmatrix} 1&2&1&3 \\[1.1ex]3&4&1&8 \\[1.1ex]1&0&-1&2\\[1.1ex]0&2&2&1\end{pmatrix}$

Depois de construirmos ambas as matrizes, precisamos calcular o contradomínio de cada matriz:

$rg(M)=2 \qquad \qquad rg(M') = 2$

Os postos das duas matrizes são equivalentes e, além disso, valem 2. As duas linhas são, portanto, confusas.