A linha: definição, características, tipos, equação…; -Maturidade

Explicação de tudo relacionado à reta: o que é, os diferentes tipos que existem, como expressar matematicamente uma reta (equações), quais são as posições relativas das retas, como calcular o ângulo entre duas retas, a interpretação do inclinação de uma linha,….

O que é uma linha?

A definição matemática da linha é a seguinte:

Uma linha é um conjunto infinito de pontos consecutivos representados na mesma direção, sem curvas ou ângulos.

Por outro lado, uma linha corresponde à distância mínima possível entre dois pontos diferentes.

Além disso, uma linha é uma linha que se estende na mesma direção, portanto tem apenas uma dimensão.

Tipos de linha

Acabamos de ver o que são linhas, mas você deve saber que existe mais de um tipo de linha, cada uma com características próprias. Assim, as linhas podem ser classificadas da seguinte forma:

Linhas paralelas

Linhas paralelas são aquelas que nunca se cruzam, ou seja, mesmo que suas trajetórias se estendam ao infinito, nunca se tocam. Portanto, os pontos de duas retas paralelas estão sempre à mesma distância entre si e, além disso, duas retas paralelas não têm pontos em comum.

linhas que se cruzam

Em matemática, duas retas se cruzam quando se cruzam em apenas um ponto. Portanto, as linhas que se cruzam têm apenas um ponto em comum.

Um exemplo de linhas que se cruzam são as linhas perpendiculares , que são linhas que se cruzam em um ponto formando quatro ângulos retos iguais (90º).

Como bem sabem, as retas perpendiculares são muito importantes e, por isso, temos uma página com a explicação de tudo o que você precisa saber sobre este tipo de retas: quando duas retas são perpendiculares, como calcular uma reta perpendicular uma à outra, exemplos e exercícios resolvidos em linhas perpendiculares e muito mais. Então deixo para vocês a página de perpendicularidade entre linhas caso queiram saber mais.

Por outro lado, as linhas que se cruzam, mas não se cruzam formando um ângulo de 90º, mas sim outro ângulo, são chamadas de linhas oblíquas .

linhas coincidentes

Duas retas coincidentes são duas retas que têm todos os seus pontos em comum. Portanto, duas linhas coincidentes são completamente idênticas.

Raio

Meia linha é chamada de cada uma das duas partes em que uma linha é dividida cortando-a em um de seus pontos.

Por exemplo, a linha anterior pode ser dividida pelo ponto A, formando assim meias linhas

$s$

$t.$

Equação da linha

Na geometria analítica, para expressar analiticamente qualquer reta, usamos as equações da reta . E para encontrar a equação de uma reta, seja no plano (em R2) ou no espaço (em R3), basta um ponto pertencente à reta e o vetor diretor dessa reta.

Como você pode ver na representação gráfica da linha anterior, as linhas são nomeadas por uma letra minúscula, neste caso

$r.$

Existem vários tipos de equações de uma reta. Todos os tipos de equações de reta têm o mesmo objetivo: representar matematicamente uma reta. Mas cada equação da reta tem suas propriedades e portanto, dependendo do problema, é melhor usar uma ou outra. Abaixo você tem as fórmulas para todas as equações da reta.

Equação vetorial da reta

Sim

$\vv{\text{v}}$

é o vetor de direção da linha e

$P$

um ponto que pertence à direita:

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P}_1,P_2)$

A fórmula para a equação vetorial da reta é:

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} (x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2) \end{empheq}$

Ouro:

$x$

E

$y$

são as coordenadas cartesianas de qualquer ponto da linha.
$P_1$

E

$P_2$

são as coordenadas de um ponto conhecido que faz parte da linha

$P(P}_1,P_2).$
$\text{v}_1$

E

$\text{v}_2$

são os componentes do vetor de direção da linha

$\vv{\text{v}}=(\text{v}_1,\text{v}_2).$
$t$

é um escalar (um número real) cujo valor depende de cada ponto da reta.

Equações paramétricas da reta

A fórmula para a equação paramétrica de uma reta é a seguinte:

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases} \end{empheq}$

Ouro:

$x$

E

$y$

são as coordenadas cartesianas de qualquer ponto da linha.
$P_1$

E

$P_2$

são as coordenadas de um ponto conhecido que faz parte da linha

$P(P}_1,P_2).$
$\text{v}_1$

E

$\text{v}_2$

são os componentes do vetor de direção da linha

$\vv{\text{v}}=(\text{v}_1,\text{v}_2).$
$t$

é um escalar (um número real) cujo valor depende de cada ponto da reta.

Equação contínua da reta

A fórmula para a equação contínua da reta é:

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2} \end{empheq}$

Ouro:

$x$

E

$y$

são as coordenadas cartesianas de qualquer ponto da linha.
$P_1$

E

$P_2$

são as coordenadas de um ponto conhecido que faz parte da linha

$P(P}_1,P_2).$
$\text{v}_1$

E

$\text{v}_2$

são os componentes do vetor de direção da linha

$\vv{\text{v}}=(\text{v}_1,\text{v}_2).$

Equação implícita ou geral da reta

Sim

$\vv{\text{v}}$

é o vetor de direção da linha e

$P$

um ponto que pertence à direita:

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P}_1,P_2)$

A fórmula para a equação implícita, geral ou cartesiana da reta é:

Ouro:

$x$

E

$y$

são as coordenadas cartesianas de qualquer ponto da linha.
o coeficiente
$A$

é o segundo componente do vetor de direção da linha:

$A=\text{v}_2}$
o coeficiente
$B$

é o primeiro componente do sinal alterado do vetor de direção:

$B=-\text{v}_1}$
o coeficiente
$C$

é calculado substituindo o ponto conhecido

$P$

na equação da reta.

a fórmula, a equação implícita de uma reta também pode ser obtida multiplicando as frações da equação contínua.

Equação explícita da reta

A fórmula para a equação explícita da reta é:

Ouro:

$m$

é a inclinação da linha.
$n$

sua interceptação em y, ou seja, a altura em que intercepta o eixo Y.

Neste caso particular, outra forma de calcular a equação explícita é utilizar a equação implícita; Para fazer isso, basta excluir a variável

$y$

da equação implícita.

Equação ponto-inclinação da reta

A fórmula para a equação ponto-inclinação da reta é a seguinte:

Ouro:

$m$

é a inclinação da linha.
$P_1, P_2$

são as coordenadas de um ponto na linha

$P(P_1,P_2).$

Equação canônica ou segmentar da reta

Embora esta variante da equação da reta seja menos conhecida, a equação canônica da reta pode ser obtida a partir dos pontos de intersecção da reta com os eixos cartesianos.

Sejam os dois pontos de intersecção com os eixos de uma determinada reta:

Corte com o eixo X:

$(a,0)$

Corte com eixo Y:

$(0,b)$

A fórmula para a equação canônica da reta é:

Acabamos de ver as fórmulas para todas as equações da reta, mas se desejar você pode se aprofundar e praticar com exercícios sobre as equações da reta . Além disso, nesta página você verá uma explicação mais detalhada de equações unifilares e exemplos de como todos os tipos de equações unifilares são calculados.

Significado da inclinação de uma linha

Com todas as informações acima, já sabemos completamente como é a equação de uma reta e que uma forma de descrever uma reta é pelo seu declive. Mas realmente… o que significa a inclinação de uma linha?

A inclinação de uma linha indica as unidades verticais que a linha sobe para cada unidade horizontal do gráfico.

Por exemplo, na representação da linha a seguir, você pode ver que ela avança 2 unidades verticais para cada unidade horizontal, pois sua inclinação é igual a 2.

Além disso, a inclinação de uma linha também indica a sua inclinação:

Se uma linha está aumentando (subindo), sua inclinação é positiva.
Se uma linha estiver decrescendo (descendente), sua inclinação será negativa.
Se uma linha for completamente horizontal, sua inclinação será igual a 0.
Se uma linha for completamente vertical, sua inclinação será igual ao infinito.

inclinação de uma linha positiva ou negativa

inclinação de uma linha zero ou infinita

Posição relativa de duas retas no plano

Ao trabalhar com duas dimensões (em R2), existem 3 tipos de posições relativas possíveis entre duas linhas:

linhas que se cruzam

Duas linhas que se cruzam têm apenas um ponto em comum.

Linhas paralelas

Duas retas são paralelas se não têm ponto comum. Isto é, se eles nunca se cruzarem.

linhas coincidentes

Duas retas são iguais se todos os seus pontos forem comuns.

Por outro lado, o ângulo entre duas linhas no plano também depende da sua posição relativa:

As linhas que se cruzam se cruzam em um ângulo entre 0º (não incluído) e 90º (inclusive). Além disso, se formarem apenas um ângulo reto de 90º, isso significa que as duas linhas são perpendiculares.
Retas paralelas formam um ângulo de 0º, pois possuem a mesma direção.
E, pelo mesmo motivo, as retas coincidentes também fazem um ângulo de 0º entre elas.

Ângulo entre duas linhas

Existem vários métodos para calcular o ângulo entre duas linhas e alguns são bastante complicados, por isso explicaremos a maneira mais simples de determinar o ângulo entre 2 linhas.

A fórmula para calcular o ângulo entre duas linhas usando seus vetores de direção é:

Dados os vetores de direção de duas linhas diferentes:

$\vv{\text{u}} = (\text{u}_x,\text{u}_y)\qquad \vv{\text{v}} = (\text{v}_x,\text{v}_y)$

O ângulo entre essas duas linhas pode ser calculado com a seguinte fórmula:

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}\rvert}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert} \end{empheq}$

Ouro

$\lvert \vv{\text{u}} \rvert$

$\lvert \vv{\text{v}} \rvert$

são os módulos dos vetores

$\vv{\text{u}}$

$\vv{\text{v}}$

respectivamente.

Lembre-se de que a fórmula para a magnitude de um vetor é:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{ \text{v}_x^2+\text{v}_y^2}$

Obviamente, uma vez calculado o cosseno do ângulo formado pelas duas retas através da fórmula, devemos inverter o cosseno para saber o valor do ângulo.

O que é uma linha?

Tipos de linha

Linhas paralelas

linhas que se cruzam

linhas coincidentes

Raio

Equação da linha

Equação vetorial da reta

Equações paramétricas da reta

Equação contínua da reta

Equação implícita ou geral da reta

Equação explícita da reta

Equação ponto-inclinação da reta

Equação canônica ou segmentar da reta

Significado da inclinação de uma linha

Posição relativa de duas retas no plano

Ângulo entre duas linhas

Deixe um comentário Cancelar resposta