▷ Como saber se uma função é contínua (exercícios resolvidos)

Neste artigo explicamos o que são funções contínuas e como determinar se uma função é contínua num ponto ou não. Além disso, você encontrará propriedades de funções contínuas e análises de continuidade das funções mais comuns. Finalmente, você pode praticar com exercícios resolvidos sobre a função contínua para compreender totalmente o conceito.

O que é uma função contínua?

A continuidade de uma função pode ser estudada graficamente. Uma função contínua é uma função que pode ser representada em um gráfico sem tirar o lápis do papel.

Função contínua

A função acima é contínua porque pode ser desenhada de uma só vez, sem levantar a mão do papel.

Por outro lado, quando a condição de continuidade anterior não é colocada numa função, diz-se que é uma função descontínua .

Função descontínua

A função anterior é descontínua porque para representá-la é necessário fazer duas linhas com o lápis. Neste caso, a função deixa de ser contínua em x=3, dizemos portanto que x=3 é um ponto de descontinuidade .

Além disso, existem três tipos de descontinuidades : descontinuidade evitável, descontinuidade inevitável de salto finito e descontinuidade inevitável de salto infinito. No link a seguir você pode ver como é cada tipo de descontinuidade e o que há de diferente em cada uma delas:

➤ Veja: tipos de descontinuidades

Continuidade de uma função em um ponto

Depois de vermos a aparência do gráfico de uma função contínua, veremos como saber se uma função é contínua ou não analiticamente.

Matematicamente, uma função é contínua em um ponto se as três condições a seguir forem atendidas:

A função existe neste ponto, ou seja, existe a imagem do ponto.

$\exists \ f(a)$

Existe o limite da função neste ponto. Portanto, os limites laterais esquerdo e direito da função neste ponto são iguais.

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \quad \exists \lim_{x \to a} f(x)$

A imagem do ponto coincide com o limite da função neste ponto.

$\displaystyle f(a)=\lim_{x \to a} f(x)$

Assim, se as três condições de continuidade forem satisfeitas em todos os pontos de uma função, a função é contínua.

Como exemplo, analisaremos a continuidade da seguinte função por partes:

continuidade de uma função definida por partes

Mesmo se você mudar de seção, no ponto

$x=-2$

A função é contínua, pois os limites laterais da função neste ponto são iguais e coincidem mais com o valor da função neste ponto.

$\lim\limits_{x \to -2^-} f(x)=\lim\limits_{x \to -2^+} f(x)= f(-2)=3$

Por outro lado, a função não é contínua no ponto

$x=4$

porque os dois limites laterais são diferentes e, portanto, o limite da função não existe neste ponto:

$\lim\limits_{x \to 4^-} f(x)=3 \neq \lim\limits_{x \to 4^+} f(x)= 2$

Resumindo, a função definida pelas peças é contínua em todos os números reais, exceto em

$x=4,$

onde há uma descontinuidade.

Também podemos verificar que a função é descontínua em

$x=4$

pois para representá-lo graficamente é necessário retirar o lápis do papel neste momento.

Continuidade de funções elementares

Certos tipos de funções são contínuas pelas suas características:

As funções constantes são contínuas em todos os números reais.

$f(x)=k$

As funções polinomiais são contínuas para todos os números reais.

$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\dots+a_nx^n$

As funções racionais (ou fracionárias) são contínuas em todos os números reais exceto em valores que anulam o denominador da fração, nestes pontos a função apresenta uma descontinuidade.

$f(x)=\cfrac{p(x)}{q(x)}$

As funções exponenciais são contínuas sobre todos os números reais:

$f(x)=a^x$

As funções logarítmicas são contínuas em todos os pontos que tornam seu argumento positivo.

$f(x)=\log_a (x)$

A continuidade das funções irracionais , ou funções com raízes, depende do índice do radical (n). Se o índice for par, estas são funções contínuas em todos os pontos que tornam o argumento raiz igual ou maior que zero. Mas se o índice for ímpar, são funções contínuas em todos os números reais.

$f(x)=\sqrt[n]{x}$

A continuidade das funções trigonométricas depende do tipo de função. A função seno e a função cosseno são contínuas no conjunto dos números reais, mas a função tangente é descontínua nos pontos
$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}+k\pi$

(onde k é um número inteiro).

$f(x)=sen(x)\qquad f(x)=cos(x)\qquad f(x)=tg(x)$

Propriedades de funções contínuas

Sean

$f(x)$

$g(x)$

duas funções contínuas no ponto

$x=a,$

A soma de duas funções contínuas num ponto é outra função contínua nesse ponto.

$f(x)+g(x)$

O produto de duas funções contínuas num ponto é igual a outra função contínua nesse ponto.

$f(x)\cdot g(x)$

A divisão de duas funções contínuas num ponto resulta em outra função contínua nesse ponto, desde que esse ponto não cancele a função de divisão.

$\cfrac{f(x)}{g(x)}\qquad g(a)\neq 0$

A composição de duas funções contínuas num ponto dá origem a uma função contínua neste mesmo ponto.

$f(x)\circ g(x)$

➤ Veja: o que é uma função composta?

Exercícios resolvidos sobre a continuidade de uma função

Exercício 1

Encontre as descontinuidades da função mostrada no gráfico a seguir. Determine também que tipo de descontinuidade é.

exercício resolveu as descontinuidades de funções

Nota: para realizar este exercício recomendamos que veja primeiro quais são os diferentes tipos de descontinuidades e como são identificadas. Você pode ver a explicação no link do princípio dos tipos de descontinuidade .

Veja a solução

Para desenhar a função você deve levantar o lápis em x=-2, em x=1 e em x=4. A função é, portanto, descontínua nestes três pontos.

Em x=-2, o limite do lado esquerdo é +∞ e o limite do lado direito é 3. Assim, como um dos limites laterais é infinito, a função tem uma inevitável descontinuidade de salto infinito em x=-2.

$\displaystyle \lim_{x \to -2^-} f(x) = +\infty \ \neq \ \lim_{x \to -2^+} f(x) = 3$

O limite da função em x=1 é 0 e, por outro lado, o valor da função em x=1 é igual a 2. A função apresenta portanto uma descontinuidade evitável em x=1.

$\displaystyle \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = 0 \ \bm{\longrightarrow} \ \lim_{x \to 1} f(x) = 0$

$\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) = 0 \neq f(0) = 2$

Em x = 4, o limite do lado esquerdo é -3 e o limite do lado direito é 1. Portanto, como os dois limites laterais são diferentes e nenhum deles dá infinito, a função inevitavelmente tem uma descontinuidade de salto finita em x =4.

$\displaystyle \lim_{x \to 4^-} f(x) = -3 \ \neq \ \lim_{x \to 4^+} f(x) = 1$

Exercício 2

Determine os pontos nos quais a função mostrada no gráfico a seguir é descontínua.

exercício resolvido sobre os tipos de descontinuidades de uma função

Veja a solução

No ponto x=6 a função é interrompida porque existe um ponto aberto. O limite quando x se aproxima de 6 é -1,4 mas f(6)=1. A função, portanto, tem uma descontinuidade evitável em x=6 porque o valor do limite não coincide com o valor da função:

$\displaystyle \left. \begin{array}{l} \displaystyle \lim_{x \to 6^-} f(x)=-1,4\\[3ex] \displaystyle \lim_{x \to 6^+} f(x)=-1,4 \end{array} \right\} \bm{\longrightarrow} \lim_{x \to 6} f(x)=-1,4$

$\displaystyle\lim_{x \to 6} f(x)=-1,4 \neq f(6)=1$

Em x=-3 os limites laterais não coincidem e nenhum dá o infinito. A função, portanto, tem uma inevitável descontinuidade de salto finito em x=-3.

$\displaystyle \lim_{x \to -3^-} f(x)=-2 \neq \lim_{x \to -3^+} f(x)=1$

E finalmente, a função tem uma inevitável descontinuidade de salto infinito em x = 3, uma vez que pelo menos um limite lateral neste ponto resulta no infinito.

$\displaystyle \lim_{x \to 3^-} f(x)=+\infty \qquad \lim_{x \to 3^+} f(x)=-\infty$

Exercício 3

Analise a continuidade da seguinte função racional:

$\displaystyle f(x)= \frac{2}{x-5}$

Veja a solução

As funções racionais são contínuas em todo o seu domínio, ou seja, em todos os números reais, exceto nos valores que cancelam o denominador. Portanto, igualamos o denominador da função racional a zero para ver quais pontos não pertencem ao domínio:

$x-5=0$

$x=5$

$\text{Dom } f = \mathbb{R} - \{5\}$

A função será, portanto, contínua em todos os pontos, exceto x=5.

Exercício 4

Analise a continuidade da seguinte função por partes:

$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 5x-2 & \text{si} & x < 1 \\[2ex] x^2+2 & \text{si} & x \geq 1 \end{array} \right.$

Veja a solução

A função também é contínua na primeira seção,

$5x-2$

, como na segunda seção,

$x^2+2$

, uma vez que são funções polinomiais.

Portanto, o único ponto em que a função pode ser descontínua é o ponto em que a função se quebra por partes. Então vamos calcular os limites laterais neste ponto:

$\displaystyle \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1} (5x-2)=5\cdot 1-2=\bm{3}$

$\displaystyle \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1} (x^2+2)=1^2+2=\bm{3}$

Os dois limites laterais coincidem portanto, o limite da função quando x tende a 1 é igual a 3:

$\displaystyle \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = 3 \ \bm{\longrightarrow} \ \exists \lim_{x \to 1} f(x) = 3$

Além disso, a imagem de x=1 também é 3:

$f(1)=1^2+2=\bm{3}$

Assim, como o limite da função em x=1 é igual à imagem do referido ponto, a função é contínua no ponto x=1. E, portanto, é contínuo em todos os números reais.

$\displaystyle f(1)=\lim_{x \to 1} f(x)$

Exercício 5

Estude a continuidade da seguinte função irracional:

$f(x)=\sqrt{2x+6}$

Veja a solução

É uma função radical com índice par, portanto a função será contínua enquanto o argumento do radical for maior que 0 (porque a raiz quadrada de um número negativo não existe):

$2x+6\ge 0$

Resolvemos a desigualdade:

$2x\ge -6$

$x\ge \cfrac{-6}{2}$

$x\ge -3$

A solução consiste em todos os números maiores ou iguais a -3. A função é, portanto, contínua no intervalo de seu domínio:

$\mathbf{Dom } \ \bm{f = [-3,+\infty) }$

Exercício 6

Analise a continuidade da seguinte função logarítmica:

$f(x)=\log_3 (-3x+6)$

Veja a solução

Esta é uma função logarítmica e não existe o logaritmo de um número negativo nem o logaritmo de 0. Portanto, a função existirá enquanto o argumento do logaritmo for positivo (maior que zero):

$-3x+6>0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”14″ width=”95″ style=”vertical-align: -2px;”> <p class=$ Resolvemos a desigualdade:

$-3x>-6″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”14″ width=”78″ style=”vertical-align: -2px;”> <p class=$ $x<\cfrac{-6}{-3}$

Lembre-se de que ao dividir um número negativo pelo outro lado de uma inequação, você deve inverter o sinal da inequação.

$x<2$

A solução consiste em todos os números menores que 2. O domínio de definição da função é, portanto:

$\mathbf{Dom } \ \bm{f = (-\infty,2) }$

A função é, portanto, contínua em todos os pontos do seu domínio.

Exercício 7

Calcule a continuidade da seguinte função:

$f(x)=\cfrac{4x-2}{\sqrt{-2x-8}}$

Veja a solução

No denominador da fração temos um radical com índice par, portanto a função existirá sempre que o conteúdo da raiz for igual ou maior que zero:

$-2x-8\geq 0$

Mas também, a raiz está no denominador da fração, e o denominador de uma fração nunca pode ser 0. Portanto, a função só existirá se o conteúdo da raiz for estritamente maior que 0:

$-2x-8> 0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”14″ width=”95″ style=”vertical-align: -2px;”> <p class=$ Agora resolvemos a desigualdade:

$-2x>8″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”14″ width=”64″ style=”vertical-align: -2px;”> <p class=$ $x<\cfrac{8}{-2}$

Lembre-se de que quando mudamos os lados de um número negativo multiplicando ou dividindo uma inequação, devemos também girar o sinal de inequação.

$x<-4$

O resultado são todos os números menores que -4. Assim, o domínio da função e, portanto, a sua continuidade, são definidos pelo seguinte intervalo:

$\mathbf{Dom } \ \bm{f = (-\infty,-4) }$

Exercício 8

Calcule o valor de k para que a função seja contínua em todo

$\mathbb{R} .$

$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} kx-1 & \text{si} & x \leq 2 \\[2ex] 3x^2 - 5 & \text{si} & x > 2 \end{array} \right.” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”65″ width=”225″ style=”vertical-align: 0px;”> <div class=$

Veja a solução

Para que a função seja contínua, os dois limites laterais no ponto de ruptura devem dar o mesmo resultado. Portanto, calculamos primeiro o limite lateral no ponto de ruptura da parte que não possui k :

$\displaystyle \lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2} (3x^2 - 5) = 3\cdot 2^2-5=\bm{7}$

Portanto, para que a função por partes seja contínua, o outro limite lateral também deve ser igual a 7.

$\displaystyle \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2} (kx-1) = k\cdot2 -1= 2k-1$

Assim, para que a função seja contínua, os dois limites laterais de qualquer ponto devem dar o mesmo resultado. Portanto, igualamos a expressão obtida do limite a 7 (resultado do outro limite lateral).