Matriz complexa, conjugada e transposta

Nesta página você verá o que são matrizes complexas, matrizes conjugadas e matrizes transpostas conjugadas. Agora eles se parecem muito com você, mas você verá como no final da página entenderá perfeitamente a diferença entre cada um. Além disso, veremos exemplos de cada tipo e suas propriedades.

matriz complexa

Antes de ver a explicação da matriz conjugada e da matriz conjugada transposta, vamos revisar o conceito de matriz complexa:

O que é uma matriz complexa?

Uma matriz complexa é uma matriz que possui um determinado número complexo entre seus elementos.

Lembre-se que um número complexo ou imaginário é um número composto por uma parte real e uma parte imaginária, indicada pela letra i. Por exemplo:

$3+5i$

Exemplos de matrizes complexas

Vejamos alguns exemplos de matrizes multidimensionais complexas:

Exemplo de matriz complexa de ordem 2 × 2

Exemplo de uma matriz complexa de dimensão 3×3

Exemplo de uma matriz complexa de tamanho 4×4

matriz conjugada

Depois de vermos qual é a definição de uma matriz complexa, vamos ver o que são uma matriz conjugada e uma matriz conjugada transposta:

O que é uma matriz conjugada?

Uma matriz conjugada é uma matriz complexa em que todos os seus elementos foram substituídos pelos seus conjugados, ou seja, o sinal da parte imaginária de todos os seus números complexos foi alterado.

A matriz conjugada de

$A$

é expresso por uma barra horizontal acima:

$\overline{A}$

Exemplo de uma matriz conjugada

exemplo de conjugado de matriz, como conjugar uma matriz

Propriedades da matriz conjugada

As características deste tipo de matriz são as seguintes:

O conjugado de uma matriz conjugada é a matriz original.

$\displaystyle \overline{\bigl( \ \overline{A} \vphantom{A^{9^1}} \ \bigr)} = A$

Adicionar (ou subtrair) duas matrizes e conjugar o resultado é o mesmo que primeiro conjugar as duas matrizes separadamente e depois adicioná-las (ou subtraí-las).

$\displaystyle \overline{\bigl( A \pm B \bigr)} = \overline{A} \pm \overline{B}$

O produto conjugado de duas matrizes é igual a conjugar as duas matrizes separadamente e depois calcular a multiplicação da matriz.

$\displaystyle \overline{\bigl( A \cdot B \bigr)} = \overline{A} \cdot \overline{B}$

Multiplicar uma matriz por um escalar e conjugar o resultado é o mesmo que primeiro fazer os conjugados do escalar e da matriz e depois resolver o produto.

$\displaystyle \overline{\bigl( k \cdot A \bigr)} = \overline{k} \cdot \overline{A}$

Transpor uma matriz e depois conjugá-la significa primeiro conjugar a matriz e depois transpô-la.

$\displaystyle \overline{\bigl(A^t \bigr)} = \left( \overline{A}\right)^t$

Fazer o inverso de uma matriz e depois conjugá-la é o mesmo que conjugar a matriz e depois invertê-la.

$\displaystyle \overline{\bigl( A^{-1} \bigr)} = \left(\overline{A} \right)^{-1}$

A classificação de uma matriz conjugada é igual à classificação da mesma matriz não conjugada.

$\displaystyle rg\left(\overline{A}\right) =rg(A)$

É indiferente calcular o traço de uma matriz conjugada ou calcular o traço da mesma matriz sem conjugação e depois conjugar o resultado.

$\displaystyle tr\left(\overline{A}\right) =\overline{tr(A)}$

Por fim, tomar o determinante de uma matriz conjugada equivale a calcular o conjugado do resultado do determinante da mesma matriz sem conjugação.

$\displaystyle det\left(\overline{A}\right) = \overline{det(A)}$

Matriz transposta conjugada

Por fim, depois de ver como conjugar uma matriz, vamos passar ao conceito de matriz transposta conjugada:

O que é uma matriz transposta (ou transposta) conjugada?

A matriz conjugada transposta (ou transposta) é aquela obtida após ter transposto uma matriz e feito seu conjugado.

Este tipo de matriz também é chamada de matriz adjunta ou simplesmente matriz adjunta. Além disso, geralmente é representado por um asterisco

$(A^*)$

, embora existam matemáticos que o desenham como

$A^*$

qualquer

$A^H$

Exemplo de matriz de transposição conjugada

Aqui está um exemplo de cálculo da transposta (ou transposta conjugada) de uma matriz:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix}1+3i&2-i & -4i \\[1.1ex] 6 & 8+2i & 3-5i \\[1.1ex] 7i & 1+9i & -2+i\end{pmatrix}$

Primeiro transpomos a matriz A:

$\displaystyle A^t=\begin{pmatrix}1+3i& 6 & 7i \\[1.1ex] 2-i & 8+2i & 1+9i \\[1.1ex] -4i & 3-5i & -2+i\end{pmatrix}$

E então calculamos a matriz conjugada da transposta, ou seja, mudamos o sinal da parte imaginária de todos os números complexos:

$\displaystyle A^*=\overline{A^t}=\begin{pmatrix}1-3i& 6 & -7i \\[1.1ex] 2+i & 8-2i & 1-9i \\[1.1ex] 4i & 3+5i & -2-i\end{pmatrix}$

Portanto, o resumo do cálculo da matriz transposta conjugada é:

matriz transposta conjugada de dimensão 3x3

Propriedades da matriz transposta conjugada

As propriedades deste tipo de matriz quadrada são as seguintes:

A matriz transposta conjugada de uma matriz previamente transposta e conjugada é a matriz original.

$\displaystyle \bigl(A^*\bigr) ^* = A$

A propriedade de adição de matrizes transpostas conjugadas afirma que adicionar (ou subtrair) duas matrizes e depois aplicar esta operação ao resultado é equivalente a primeiro fazer a transposta conjugada de cada matriz e depois adicionar (ou subtrair) os resultados.

$\displaystyle \bigl( A\pm B \bigr)^* = A^*\pm B^*$

Multiplicar duas matrizes e depois fazer sua transposta conjugada dá o mesmo resultado que o produto inverso das matrizes transpostas conjugadas.

$\displaystyle \bigl( A\cdot B \bigr)^* = B^*\cdot A^*$

Calcular a matriz transposta conjugada do produto de um escalar e uma matriz é o mesmo que conjugar o número complexo e encontrar a transposta conjugada da matriz separadamente e depois multiplicar.

$\displaystyle \bigl( k\cdot A \bigr)^* = \overline{k}\cdot A^*$

Se a matriz for invertível, a ordem em que as operações de inversão da matriz e de transposição conjugada são realizadas é irrelevante.

$\displaystyle \bigl( A^{-1} \bigr)^*= \bigl( A^* \bigr)^{-1}$