Calcule a classificação de uma matriz por determinantes

Nesta página você verá o que é e como calcular a imagem de uma matriz por determinantes. Além disso, você encontrará exemplos e exercícios resolvidos para aprender como encontrar facilmente a extensão de uma matriz. Além disso, você também verá as propriedades de intervalo de uma matriz.

Qual é a classificação de uma matriz?

A definição de intervalo de uma matriz é:

A classificação de uma matriz é a ordem da maior submatriz quadrada cujo determinante é diferente de 0.

Nesta página aprenderemos sobre o contradomínio de uma matriz pelo método dos determinantes, mas o contradomínio de uma matriz também pode ser determinado pelo método gaussiano, embora seja mais lento e complicado.

Depois de sabermos qual é o contradomínio de uma matriz, veremos como determinar o contradomínio de uma matriz por determinantes. Mas tenha em mente que para resolver a extensão de uma matriz, primeiro você precisa saber como calcular determinantes 3×3 .

Como saber a extensão de uma matriz? Exemplo:

  • Calcule a extensão da seguinte matriz de dimensão 3×4:

\displaystyle A= \left( \begin{array}{cccc} 1 & 3 & 4 & -1 \\[1.1ex] 0 & 2 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & -1 & 7 & 2 \end{array} \right)

Sempre começaremos tentando ver se a matriz tem classificação máxima resolvendo o maior determinante de ordem. E, se o determinante desta ordem for igual a 0, continuaremos a testar determinantes de ordem inferior até encontrarmos um diferente de 0.

Neste caso, é uma matriz de dimensão 3×4. Será, portanto, no máximo de posto 3 , já que não podemos fazer nenhum determinante de ordem 4. Então pegamos qualquer submatriz 3×3 e vemos se seu determinante é 0. Por exemplo, resolvemos o determinante das 3 primeiras colunas com a regra de Sarrus:

\left( \begin{tabular}{cccc}\cellcolor[HTML]{ABEBC6}1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}4 & -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{ABEBC6}0 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 1 & -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \\[-2ex]\cellcolor[HTML]{ABEBC6} 3 &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 7 & 2 \end{tabular} \right)

\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\[1.1ex] 0 & 2 & 1 \\[1.1ex] 3 & -1 & 7 \end{vmatrix} = 14 + 9 + 0 - 24 + 1 - 0 = \bm{0}

O determinante das colunas 1, 2 e 3 é 0. Devemos agora tentar outro determinante, por exemplo o das colunas 1, 2 e 4:

\left( \begin{tabular}{cccc}\cellcolor[HTML]{ABEBC6}1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 3 & 4 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}-1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{ABEBC6}0 &\cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 & 1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}& & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex]\cellcolor[HTML]{ABEBC6} 3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}-1 & 7 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 \end{tabular} \right)

\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 3 & -1 \\[1.1ex] 0 & 2 & -1 \\[1.1ex] 3 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 4 -9 + 0 + 6-1 - 0 = \bm{0}

Também nos deu 0. Continuamos portanto a testar os determinantes de ordem 3 para ver se existem outros além de 0. Testamos agora o determinante formado pelas colunas 1, 3 e 4:

\left( \begin{tabular}{cccc}\cellcolor[HTML]{ABEBC6}1 & 3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}4 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}-1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{ABEBC6}0 &2 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex]\cellcolor[HTML]{ABEBC6} 3 & -1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 7 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 \end{tabular} \right)

\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 4 & -1 \\[1.1ex] 0 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 7 & 2 \end{vmatrix} = 2 -12+0 +3 +7- 0 = \bm{0}

Dos determinantes de ordem 3, basta tentar o determinante composto pelas colunas 2, 3 e 4:

\left( \begin{tabular}{cccc}1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}4 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}-1 \\ & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex] 0 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 \\ & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex] 3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 7 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 \end{tabular} \right)

\displaystyle \begin{vmatrix} 3 & 4 & -1 \\[1.1ex] 2 & 1 & -1 \\[1.1ex] -1 & 7 & 2 \end{vmatrix} = 6+4-14-1+21-16 = \bm{0}

Já tentamos todos os determinantes 3×3 possíveis da matriz A, e como nenhum deles é diferente de 0, a matriz não é de posto 3 . Portanto, no máximo será o rank 2.

\displaystyle rg(A) < 3

Veremos agora se a matriz é de posto 2. Para isso, devemos encontrar uma submatriz quadrada de ordem 2 cujo determinante seja diferente de 0. Tentaremos a submatriz 2×2 no canto superior esquerdo:

\left( \begin{tabular}{cccc}\cellcolor[HTML]{ABEBC6}1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}3 & 4 & -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & & \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{ABEBC6}0 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 & 1 & -1 & & & \\[-2ex] 3 & -1 & 7 & 2 \end{tabular} \right)

\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 0 & 2 \end{vmatrix} = 2-0 = 2 \bm{ \neq 0}

Encontramos um determinante de ordem 2 diferente de 0 dentro da matriz. Consequentemente, a matriz é de posto 2:

\displaystyle \bm{rg(A)=2}

Problemas de escopo de matriz resolvidos

Exercício 1

Determine a classificação da seguinte matriz 2×2:

\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\[1.1ex] 5 & 6 \end{pmatrix}

Primeiro calculamos o determinante de toda a matriz:

\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 3 & 1 \\[1.1ex] 5 & 6 \end{vmatrix} = 18-5 = 13 \bm{\neq 0}

Encontramos um determinante de ordem 2 diferente de 0. Portanto, a matriz é de posto 2.

\displaystyle \bm{rg(A)=2}

Exercício 2

Encontre a extensão da seguinte matriz de dimensão 2 × 2:

\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] 4 & 6 \end{pmatrix}

Primeiro, resolvemos o determinante de toda a matriz:

\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] 4 & 6 \end{vmatrix} = 12-12 \bm{=0}

O único determinante 2×2 possível dá 0, então a matriz não é de posto 2.

Mas dentro da matriz existem determinantes 1×1 diferentes de 0, por exemplo:

\displaystyle \begin{vmatrix} 2 \end{vmatrix} = 2 \bm{\neq 0}

A matriz é, portanto, de posto 1.

\displaystyle \bm{rg(A)=1}

Exercício 3

Qual é a extensão da seguinte matriz quadrada 3×3?

\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & -3 & 2 \\[1.1ex] 2 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 4 & 2 \end{pmatrix}

Primeiro, o determinante de toda a matriz é calculado usando a regra de Sarrus:

\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & -3 & 2 \\[1.1ex] 2 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 4 & 2 \end{vmatrix} = 2-12+16-2-16+12 \bm{=0}

O único determinante 3×3 possível dá 0, então a matriz não é de posto 3.

Mas dentro da matriz existem determinantes de ordem 2 diferentes de 0, por exemplo:

\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & -3 \\[1.1ex] 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 +6 = 7 \bm{\neq 0}

Portanto, a matriz é de posto 2 .

\displaystyle \bm{rg(A)=2}

Exercício 4

Calcule a classificação da seguinte matriz de ordem 3:

\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\[1.1ex] 4 & -2 & 3 \\[1.1ex] 2 & 5 & 2 \end{pmatrix}

Primeiro, o determinante de toda a matriz é resolvido pela regra de Sarrus:

\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 3 & -1 & 1 \\[1.1ex] 4 & -2 & 3 \\[1.1ex] 2 & 5 & 2 \end{vmatrix} = -12-6+20+4-45+8 = -31\bm{ \neq0}

O determinante de toda a matriz é avaliado como algo diferente de 0. Portanto, a matriz tem classificação máxima, ou seja, classificação 3.

\displaystyle \bm{rg(A)=3}

Exercício 5

Qual é a classificação da seguinte matriz de ordem 3?

\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 5 & -1 \\[1.1ex] 3 & -2 & -4 \\[1.1ex] 5 & 3 & -5 \end{pmatrix}

Primeiro, o determinante de toda a matriz é calculado usando a regra de Sarrus:

\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}2 & 5 & -1 \\[1.1ex] 3 & -2 & -4 \\[1.1ex] 5 & 3 & -5 \end{vmatrix} =20-100-9-10+24+75 \bm{= 0}

O único determinante 3×3 possível dá 0, então a matriz não é de posto 3.

Mas dentro da matriz existem determinantes 2 × 2 diferentes de 0, como:

\displaystyle \begin{vmatrix} 2 & 5 \\[1.1ex] 3 & -2 \end{vmatrix} = -4-15 = -19\bm{\neq 0}

A matriz é, portanto, de posto 2 .

\displaystyle \bm{rg(A)=2}

Exercício 6

Encontre a extensão da seguinte matriz 3×4:

\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & 2 & -4 & 1 \\[1.1ex] 2 & -2 & -3 & 5 \\[1.1ex] 5 & 0 & -7 & 3 \end{pmatrix}

A matriz não pode ser de posto 4, porque não podemos fazer determinantes 4×4. Então, vamos ver se é de classificação 3 calculando determinantes 3×3:

\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}3 & 2 & -4 \\[1.1ex] 2 & -2 & -3 \\[1.1ex] 5 & 0 & -7 \end{vmatrix} =42-30+0-40-0+28 \bm{= 0}

O determinante das 3 primeiras colunas dá 0. No entanto, o determinante das 3 últimas colunas dá algo diferente de 0:

\displaystyle \begin{vmatrix} 2 & -4 & 1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 5 \\[1.1ex] 0 & -7 & 3 \end{vmatrix} = -18+0+14-0+70-24 = 42 \bm{\neq 0}

Então, como dentro existe uma submatriz de ordem 3 cujo determinante é diferente de 0, a matriz é de posto 3 .

\displaystyle \bm{rg(A)=3}

Exercício 7

Calcule o intervalo da seguinte matriz 4×3:

\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & -3 & -2 \\[1.1ex] 3 & 4 & -5 \\[1.1ex] 5 & -2 & -9 \\[1.1ex] -2 & -7 & 3\end{pmatrix}

A matriz não pode ser de posto 4, pois não podemos resolver nenhum determinante 4×4. Então vamos ver se é de rank 3 fazendo todos os determinantes 3×3 possíveis:

\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & -3 & -2 \\[1.1ex] 3 & 4 & -5 \\[1.1ex] 5 & -2 & -9\end{vmatrix} \bm{= 0} \qquad \begin{vmatrix} 1 & -3 & -2 \\[1.1ex] 5 & -2 & -9 \\[1.1ex] -2 & -7 & 3\end{vmatrix} \bm{= 0}

\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & -3 & -2 \\[1.1ex] 3 & 4 & -5 \\[1.1ex] -2 & -7 & 3\end{vmatrix} \bm{= 0} \qquad \begin{vmatrix} 3 & 4 & -5 \\[1.1ex] 5 & -2 & -9 \\[1.1ex] -2 & -7 & 3\end{vmatrix} \bm{= 0}

Como todos os determinantes 3×3 possíveis dão 0, a matriz também não é de posto 3. Tentamos agora os determinantes 2×2:

\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & -3 \\[1.1ex] 3 & 4 \end{vmatrix} =13 \bm{\neq 0}

Como dentro da matriz A existe uma submatriz de ordem 2 cujo determinante é diferente de 0, a matriz é de posto 2 .

\displaystyle \bm{rg(A)=2}

Exercício 8

Encontre o contradomínio da seguinte matriz 4 × 4:

\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 1 & 1 & -1 \\[1.1ex] 4 & -2 & -1 & 3 \\[1.1ex] -1 & 3 & 2 & -4\end{pmatrix}

Devemos resolver o determinante de toda a matriz para ver se ela é de posto 4.

E para resolver o determinante 4×4, você deve primeiro fazer operações com as linhas para transformar todos os elementos de uma coluna, exceto um, em zero:

\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 1 & 1 & -1 \\[1.1ex] 4 & -2 & -1 & 3 \\[1.1ex] -1 & 3 & 2 & -4 \end{vmatrix} \begin{matrix} \\[1.1ex] \\[1.1ex]\xrightarrow{f_3 + 2f_2} \\[1.1ex] \xrightarrow{f_4 - 3f_2} \end{matrix} \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 1 & 1 & -1 \\[1.1ex] 10 & 0 & 1 & 1 \\[1.1ex] -10 & 0 & -1 & -1 \end{vmatrix}

Calculamos agora o determinante por deputados:

\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 1 & 1 & -1 \\[1.1ex] 10 & 0 & 1 & 1 \\[1.1ex] -10 & 0 & -1 & -1 \end{vmatrix} \displaystyle = 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}

Simplificamos os termos:

=\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}+1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} + \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}

= \text{Adj(1)}

Calculamos o adjunto de 1:

\displaystyle = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix}2 & 1 & -1 \\[1.1ex] 10 & 1 & 1 \\[1.1ex] -10 & -1 & -1\end{vmatrix}

E, por fim, calculamos o determinante 3×3 com a regra de Sarrus e a calculadora:

\displaystyle = (-1)^{4} \cdot \bigl[-2-10+10-10+2+10 \bigr]

\displaystyle = 1 \cdot \bigl[0 \bigr]

\displaystyle = \bm{0}

O determinante 4×4 de toda a matriz dá 0, então a matriz A não terá classificação 4. Então agora vamos ver se ela tem um determinante 3×3 diferente de 0 dentro:

\displaystyle \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\[1.1ex] 3 & 1 & 1 \\[1.1ex] 4 & -2 & -1 \end{vmatrix} = -2+0-6-4+4-0=8 \bm{\neq 0}

A matriz A é, portanto, de classificação 3:

\displaystyle \bm{rg(A)=3}

Propriedades do intervalo de matrizes

  • O intervalo não é modificado se excluirmos uma linha preenchida com zeros, seja uma coluna ou uma linha preenchida com 0.
  • O contradomínio de uma matriz não muda se alterarmos a ordem de duas linhas paralelas, sejam elas linhas ou colunas.
  • A classificação de uma matriz é igual à de sua transposta.
  • Se você multiplicar uma linha ou coluna por um número diferente de 0, a classificação da matriz não muda.
  • O intervalo de uma tonalidade não muda quando eliminamos uma linha (linha ou coluna) que é uma combinação linear de outras linhas paralelas a ela.
  • O contradomínio de uma matriz não muda se adicionarmos outras linhas paralelas a qualquer uma das linhas (linhas ou colunas) multiplicadas por qualquer número. É por isso que a classificação de uma matriz também pode ser calculada pelo método gaussiano.

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