Calcule o produto escalar de dois vetores -

Nesta página você verá o que é e como calcular o produto escalar de dois vetores. Você também aprenderá como encontrar o ângulo entre dois vetores usando o produto escalar e, além disso, todas as propriedades do produto escalar. Por fim, você poderá praticar com exemplos e exercícios resolvidos passo a passo.

Como calcular o produto escalar entre dois vetores

Em matemática, produto escalar é uma operação vetorial que multiplica dois vetores e os transforma em um número real. Portanto, existem duas maneiras de calcular o produto escalar de dois vetores:

Se conhecermos as coordenadas de dois vetores, podemos determinar o seu produto escalar multiplicando as componentes X e Y e depois somando os resultados. Em outras palavras, se tivermos dois vetores:

$\vv{\text{u}} = (\text{u}_x,\text{u}_y) \qquad \vv{\text{v}} = (\text{v}_x,\text{v}_y)$

O produto escalar entre eles é:

$\displaystyle \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} = \text{u}_x\cdot \text{v}_x + \text{u}_y\cdot \text{v}_y$

Por exemplo, o produto escalar entre os dois vetores a seguir é:

$\vv{\text{u}} = (1,2) \qquad \vv{\text{v}} = (-1,3)$

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}&=(1,2)\cdot (-1,3) \\[1.5ex]&=1\cdot (-1) + 2 \cdot 3 \\[1.5ex] & = -1+6 \\[1.5ex] & =\bm{5} \end{aligned}$

É uma forma de encontrar o produto escalar entre dois vetores. No entanto, também existe outro método:

Por outro lado, se conhecermos o módulo e o ângulo entre dois vetores, o produto escalar entre os dois vetores pode ser determinado calculando o produto dos seus módulos pelo cosseno do ângulo que formam:

$\displaystyle \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(\alpha )$

Ouro

$\lvert \vv{\text{u}} \rvert$

$\lvert \vv{\text{v}} \rvert$

são os módulos dos vetores

$\vv{\text{u}}$

$\vv{\text{v}}$

respectivamente e

$\alpha$

o ângulo que eles fazem.

Lembre-se de que a magnitude de um vetor é a raiz dos quadrados de seus componentes:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{ \text{u}_x^2+\text{u}_y^2}$

Como exemplo, resolveremos o produto escalar de dois vetores cujos módulos e o ângulo entre eles são:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert =3 \qquad \lvert \vv{\text{v}} \rvert = 4 \qquad \alpha=60º$

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} & = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(\alpha ) \\[1.5ex] &= 3 \cdot 4 \cdot \cos(60º)\\[1.5ex] & = 3 \cdot 4 \cdot 0,5 \\[1.5ex] &= \bm{6} \end{aligned}$

Por outro lado, o produto escalar também é chamado de produto escalar, produto escalar ou produto escalar.

Nota: Não confunda produto escalar com produto vetorial porque embora tenham nomes semelhantes, são conceitos completamente diferentes.

Encontre o ângulo entre dois vetores usando o produto escalar

Depois de vermos a definição de produto escalar, você deve estar se perguntando qual é o propósito de multiplicar dois vetores? Pois bem, uma das aplicações do produto escalar é calcular o ângulo formado por dois vetores.

ângulo entre dois vetores de produto escalar

Resolvendo o cosseno da fórmula do produto escalar, obtemos:

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}\newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}\end{empheq}$

Vamos ver como isso é feito através de um exemplo:

Encontre o ângulo entre os dois vetores a seguir:

$\vv{\text{u}} = (4,2) \qquad \vv{\text{v}} = (-1,5)$

Primeiro precisamos encontrar a magnitude dos dois vetores:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{ 4^2+2^2}= \sqrt{20}$

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{ (-1)^2+5^2}= \sqrt{26}$

Agora usamos a fórmula para calcular o cosseno do ângulo entre os dois vetores:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}=\cfrac{ 4\cdot (-1) + 2\cdot 5}{\sqrt{20}\cdot \sqrt{26}} = \cfrac{6}{\sqrt{520}} = 0,26$

Finalmente, encontramos o ângulo correspondente fazendo o inverso do cosseno usando a calculadora:

$\displaystyle \cos^{-1}(0,26) = \bm{74,93º}$

Portanto, os vetores formam um ângulo de 74,93º.

Propriedades do produto escalar de dois vetores

O produto escalar tem as seguintes características:

Propriedade comutativa : A ordem em que os vetores são multiplicados não importa.

$\displaystyle \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} =\vv{\text{v}} \cdot \vv{\text{u}}$

Propriedade distributiva : O produto escalar é distributivo em relação à adição e subtração de vetores:

$\displaystyle \vv{\text{u}}( \vv{\text{v}}+ \vv{\text{w}} )=\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}+ \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{w}}$

$\displaystyle \vv{\text{u}}( \vv{\text{v}}- \vv{\text{w}} )=\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}- \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{w}}$

Propriedade associativa : Podemos multiplicar o produto escalar por uma constante antes ou depois de realizar a operação, pois os resultados são equivalentes:

$\displaystyle k\cdot (\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}) = (k\cdot\vv{\text{u}}) \cdot \vv{\text{v}} =\vv{\text{u}} \cdot (k\cdot\vv{\text{v}})$

Se dois vetores são ortogonais (ou perpendiculares), então seu produto escalar é zero. Esta propriedade pode ser facilmente demonstrada porque dois vetores perpendiculares formam um ângulo de 90º, e o cosseno de 90º é igual a 0:

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} & = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(90º ) \\[1.5ex] &=\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot 0 \\[1.5ex] &= 0 \end{aligned}$

Pelo contrário, se dois vetores são paralelos , então o seu produto escalar é igual ao produto dos seus módulos. Esta propriedade também pode ser facilmente verificada pois dois vetores de mesma direção formam um ângulo de 0º, cujo cosseno é igual a 1:

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} & = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(0º) \\[1.5ex] &=\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot 1 \\[1.5ex] &= \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \end{aligned}$

Finalmente, o produto escalar de um vetor por si só é equivalente à sua magnitude ao quadrado:

$\displaystyle\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{u}} & = \lvert \vv{\text{u}} \rvert ^2$

Resolvidos problemas de produto escalar entre dois vetores

Exercício 1

Calcule o produto escalar no plano dos dois vetores a seguir:

$\vv{\text{u}} = (4,-3) \qquad \vv{\text{v}} = (5,2)$

veja solução

Para calcular o produto escalar de dois vetores, precisamos multiplicar suas coordenadas X e suas coordenadas Y e, em seguida, adicionar os resultados:

$\displaystyle \begin{aligned}\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} & = (4,-3)\cdot (5,2) \\[1.5ex] & = 4\cdot 5 + (-3) \cdot 2 \\[1.5ex] & = 20-6\\[1.5ex] & =\bm{14} \end{aligned}$

Exercício 2

Determine o produto escalar de dois vetores cujos módulos e o ângulo que eles formam são:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert =6 \qquad \lvert \vv{\text{v}} \rvert = 3 \qquad \alpha=45º$

veja solução

Como conhecemos seus módulos e seu ângulo entre eles, podemos aplicar diretamente a fórmula do produto escalar:

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} & = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(\alpha ) \\[1.5ex] &= 6 \cdot 3 \cdot \cos(45º)\\[1.5ex] & = 6 \cdot 3 \cdot 0,71 \\[1.5ex] &= \bm{12,73} \end{aligned}$

Exercício 3

Qual é o ângulo entre os dois vetores a seguir?

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(3,8) \qquad \vv{\text{v}} =(-4,1)$

veja solução

Primeiro, precisamos calcular a magnitude dos dois vetores:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{ 3^2+8^2}= \sqrt{73}$

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{ (-4)^2+1^2}= \sqrt{17}$

Usamos a fórmula para calcular o cosseno do ângulo formado pelos vetores:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}=\cfrac{ 3\cdot (-4) + 8\cdot 1}{\sqrt{73}\cdot \sqrt{17}} = \cfrac{-4}{\sqrt{1241}} = -0,11$

E, finalmente, encontramos o ângulo correspondente fazendo o inverso do cosseno com a calculadora:

$\displaystyle \cos^{-1}(-0,11) = \bm{96,52º}$

Exercício 4

Considere os dois vetores a seguir:

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(5,2) \qquad \vv{\text{v}} =(-1,6)$

Calcule a seguinte operação:

$4 \bigl(\vv{\text{u}} \cdot\vv{\text{v}}\bigr)$

veja solução

Primeiro precisamos resolver o produto escalar dentro dos parênteses e, em seguida, fazer a multiplicação pelo produto escalar fora:

$4 \bigl(\vv{\text{u}} \cdot\vv{\text{v}}\bigr)$

$4 \bigl((5,2) \cdot (-1,6) \bigr)$

$4 \bigl(5 \cdot (-1) + 2 \cdot 6 \bigr)$

$4 \bigl(-5 + 12 \bigr)$

$4 \cdot 7$

$\bm{28}$

Exercício 5

Dados os seguintes três vetores bidimensionais:

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(-2,6) \qquad \vv{\text{v}} =(4,-3)\qquad \vv{\text{w}} =(-1,2)$

Calcule a seguinte operação:

$\vv{\text{w}} \cdot \bigl( 5 \vv{\text{u}}- 2 \vv{\text{v}}\bigr)$

veja solução

Primeiro, multiplicamos os vetores pelos escalares entre parênteses:

$\vv{\text{w}} \cdot \bigl( 5 \vv{\text{u}}- 2 \vv{\text{v}}\bigr)$

$(-1,2) \cdot \bigl( 5 (-2,6)- 2(4,-3)\bigr)$

$(-1,2) \cdot \bigl( (-10,30)- (8,-6)\bigr)$

Agora fazemos a subtração vetorial:

$(-1,2) \cdot (-10 -8,30-(-6))$

$(-1,2) \cdot (-18,36)$

E, finalmente, resolvemos o produto escalar:

$(-1)\cdot (-18) + 2 \cdot 36$

$18 + 72$

$\bm{90}$

Exercício 6

Calcule o valor de

$k$

de modo que os seguintes vetores sejam perpendiculares:

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(-2,-3) \qquad \vv{\text{v}} =(k,6)$

veja solução

Dois vetores perpendiculares formam um ângulo de 90º. Portanto o cosseno do ângulo deve ser zero, pois cos(90º)=0. Ainda:

$\displaystyle \cos(90º) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

$\displaystyle 0=\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

O denominador da fração divide todo o lado direito da equação, então podemos passá-lo multiplicando pelo outro lado:

$\displaystyle 0 \cdot \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

$\displaystyle 0 =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

Agora resolvemos o produto escalar:

$\displaystyle 0 =(-2,-3) \cdot (k,6)$

$\displaystyle 0 =-2 \cdot k + (-3)\cdot 6$

$\displaystyle 0 =-2 k -18$

E, por fim, esclarecemos o desconhecido:

$\displaystyle 2k =-18$

$\displaystyle k =\cfrac{-18}{2}$

$\displaystyle \bm{k =-9}$

Exercício 7

Calcular ângulos

$\alpha , \beta$

$\gamma$

que formam os lados do seguinte triângulo:

exercícios e problemas resolvidos passo a passo do produto escalar de dois vetores

veja solução

Os vértices que compõem o triângulo são os seguintes pontos:

$A(2,1) \qquad B(4,4) \qquad C(6,2)$

Para calcular os ângulos internos do triângulo, podemos calcular os vetores de cada um dos seus lados e, em seguida, determinar o ângulo que eles formam usando a fórmula do produto escalar.

Por exemplo, para encontrar o ângulo

$\alpha$

Calculamos os vetores de seus lados:

$\vv{AB} = B - A = (4,4)-(2,1)= (2,3)$

$\vv{AC} = C - A = (6,2)-(2,1)= (4,1)$

E encontramos o ângulo formado pelos dois vetores usando a fórmula do produto escalar:

$\lvert \vv{AB} \rvert = \sqrt{2^2+3^2} = \sqrt{13}$

$\lvert \vv{AC} \rvert = \sqrt{4^2+1^2} = \sqrt{17}$

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{AB} \cdot \vv{AC}}{\lvert \vv{AB} \rvert \cdot \lvert \vv{AC} \rvert}=\cfrac{ 2\cdot 4 + 3\cdot 1}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{17}} = \cfrac{11}{\sqrt{221}} =0,74$

$\bm{\alpha = 42,27º}$

Agora repetimos o mesmo procedimento para determinar o ângulo

$\beta:$

$\vv{BC} = C - B = (6,2)-(4,4)= (2,-2)$

$\lvert \vv{BC} \rvert = \sqrt{2^2+(-2)^2} = \sqrt{8}$

$\displaystyle \cos(\beta) =\cfrac{\vv{AB} \cdot \vv{BC}}{\lvert \vv{AB} \rvert \cdot \lvert \vv{BC} \rvert}=\cfrac{ 2\cdot 2 + 3\cdot (-2)}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{8}} = \cfrac{-2}{\sqrt{104}} =-0,20$

$\bm{\beta = 101,31º}$

Finalmente, para encontrar o último ângulo, podemos repetir o mesmo procedimento. No entanto, todos os ângulos em um triângulo devem somar 180 graus, então:

$\gamma = 180 -42,27-101,31 = \bm{36,42º}$

Como calcular o produto escalar entre dois vetores

Encontre o ângulo entre dois vetores usando o produto escalar

Propriedades do produto escalar de dois vetores

Resolvidos problemas de produto escalar entre dois vetores

Exercício 1

Exercício 2

Exercício 3

Exercício 4

Exercício 5

Exercício 6

Exercício 7

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