Calcule o ponto de intersecção ou intersecção entre duas linhas

Aqui você descobrirá como o ponto de corte (ou interseção) entre duas linhas é calculado. Você também verá exemplos e poderá praticar com exercícios resolvidos passo a passo.

Qual é o ponto de corte ou intersecção entre duas linhas?

O ponto de intersecção (ou corte) entre duas linhas é o ponto onde duas linhas diferentes se cruzam. Portanto, quando duas linhas diferentes têm uma intersecção ou um ponto de corte, significa que elas coincidem em um ponto.

Para que duas retas se cruzem em um ponto, elas devem ser retas que se cruzam, pois as retas paralelas não se tocam em nenhum ponto.

Se você não se lembra exatamente o que são linhas que se cruzam agora, recomendamos verificar nossa página Exemplos de linhas que se cruzam , onde você encontrará uma explicação detalhada do que são esses tipos de linhas e como saber se duas linhas se cruzam ou não.

Como calcular o ponto de corte ou intersecção entre duas linhas?

Depois de vermos a definição do ponto de intersecção ou intersecção entre duas retas, vamos agora ver como esse ponto é calculado.

Para encontrar o ponto de intersecção (ou intersecção) entre duas retas, você deve primeiro garantir que as duas retas não são paralelas, pois se forem duas retas paralelas não se cruzarão em nenhum ponto. Portanto, primeiro você precisa saber como determinar quando duas retas são paralelas e quando não são; Caso não se lembre de como fazer, você pode assistir novamente clicando no link.

Uma vez que sabemos que as duas retas não são paralelas, para determinar o ponto de intersecção (ou interseção) entre as duas retas, devemos resolver o sistema de equações formado pela equação de cada reta. E o resultado desse sistema de equações serão as coordenadas do ponto de intersecção (ou intersecção) entre as duas retas.

Exemplo de como encontrar o ponto de intersecção ou intersecção entre duas retas

Como exemplo, resolveremos um problema para que você veja como encontrar o ponto de intersecção (ou interseção) entre 2 retas:

• Encontre o ponto de intersecção entre as duas linhas a seguir:

Primeiro, as retas não são paralelas porque têm inclinações diferentes, portanto ambas se cruzam num ponto do plano cartesiano.

Para descobrir, devemos resolver o sistema de equações composto pela equação de cada reta:

Neste caso particular, resolveremos o sistema pelo método de equalização já que as duas incógnitas

já estão resolvidos (ambas as linhas estão na forma de equação explícita):

Excluímos o valor da variável

E quando você souber quanto vale a pena

Substituímos seu valor em qualquer equação para encontrar o valor de

Portanto, as coordenadas do ponto de intersecção entre as duas retas são:

Problemas resolvidos de ponto de intersecção ou intersecção entre duas linhas

Exercício 1

Qual é o ponto de intersecção ou intersecção entre as duas linhas a seguir?

Primeiro, as retas não são paralelas porque têm inclinações diferentes, portanto as duas retas se encontrarão em algum ponto do plano.

Para calcular esse ponto, é necessário resolver o sistema de equações formado pela equação de cada reta:

Neste caso, resolveremos o sistema de equações pelo método de equalização, pois as duas incógnitas

já estão resolvidos (ambas as linhas estão na forma de equação explícita):

Excluímos o valor da variável

E quando você souber quanto vale a pena

Substituímos seu valor em qualquer equação para encontrar o valor de

As coordenadas do ponto de intersecção entre as duas linhas são, portanto:

Exercício 2

Encontre o ponto de intersecção ou intersecção entre as duas linhas a seguir:

o certo

Ela é expressa na forma de uma equação implícita (ou geral), então primeiro a passaremos na forma de uma equação explícita para saber o valor de sua inclinação:

Portanto, as duas retas têm inclinações diferentes e, portanto, existe um ponto de intersecção entre elas.

Para calcular esse ponto, é necessário resolver o sistema de equações formado pela equação de cada reta:

Resolvemos o sistema de equações pelo método de equalização:

Excluímos o valor da variável

E quando você souber quanto vale a pena

Substituímos seu valor em qualquer equação para encontrar o valor de

As coordenadas do ponto de intersecção entre as duas linhas são, portanto:

Exercício 3

Determine o ponto de intersecção ou intersecção entre as duas linhas a seguir:

Em primeiro lugar, precisamos de saber se estas são duas retas paralelas ou não. Para fazer isso, veremos se os vetores diretores das duas retas são proporcionais.

o certo

é definido na forma de equações paramétricas, então os componentes de seu vetor de direção são os coeficientes na frente do parâmetro

E, por outro lado, a linha

é descrito na forma de uma equação implícita, então seu vetor de direção é:

Para que as componentes dos dois vetores de direção não sejam proporcionais entre si, as duas retas não são, portanto, paralelas.

E como as duas retas não são paralelas, isso implica que existe de facto um ponto de intersecção entre elas. Para calculá-lo, devemos resolver o sistema de equações formado pela equação de cada reta:

Neste caso, como a linha

está na forma de equações paramétricas, é necessário substituir a expressão de cada equação paramétrica na equação da outra reta:

Agora vamos resolver a equação resultante:

e substitua o valor de

encontrado nas equações paramétricas para encontrar as coordenadas do ponto de corte:

Portanto, o ponto de intersecção entre as duas retas é: