Regra da cadeia (derivados)

Aqui você aprenderá o que é a regra da cadeia e como derivar funções usando a regra da cadeia. Além disso, você poderá ver vários exemplos de derivadas resolvidas com a regra da cadeia e ainda poderá praticar com exercícios resolvidos passo a passo sobre derivadas aplicando a regra da cadeia.

Qual é a regra da cadeia?

A regra da cadeia é uma fórmula usada para derivar funções compostas. A regra da cadeia afirma que a derivada de uma função composta f(g(x)) é igual à derivada f'(g(x)) multiplicada pela derivada g'(x) .

regra da cadeia

➤ Veja: função composta

Informalmente, costuma-se dizer que a regra da cadeia consiste em diferenciar a função e depois multiplicá-la pelo que está nela .

A fórmula da regra da cadeia permite-nos diferenciar funções compostas com muito mais facilidade, porque se diferenciássemos uma composição de funções utilizando o limite da definição da derivada, teríamos que fazer muitos cálculos.

Por outro lado, deve-se levar em consideração que esta regra só é utilizada para encontrar a derivada de funções compostas, e não de qualquer tipo de função ou operações com funções. Por exemplo, um erro muito comum é errar e aplicar a regra da cadeia em produtos funcionais como os seguintes:

\ln(x)\cdot x^2

❌

A regra da cadeia só pode ser usada quando temos uma função dentro de outra .

\ln(x^2)

✅

Exemplos de derivadas com a regra da cadeia

Dada a definição da regra da cadeia, derivaremos várias funções com a regra da cadeia como exemplo. Lembre-se que se em algum exemplo você não entender como a função é derivada com a regra da cadeia, pode nos perguntar nos comentários!

Exemplo 1

Neste exemplo, usaremos a regra da cadeia para derivar o logaritmo natural de x ao quadrado:

f(x)=\ln(x^2)

A derivada do logaritmo natural é igual a 1 vezes o seu argumento, então a derivada

f'\bigl(g(x)\bigr)

ser:

f(x)=\ln(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{u}

f\bigl(g(x)\bigr)=\ln(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'\bigl(g(x)\bigr)=\cfrac{1}{x^2}

Por outro lado, a derivada de x elevada à potência de dois é 2x:

g(x)=x^2\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} g'(x)=2x

Finalmente, calculamos a derivada de toda a função aplicando a regra da cadeia. A derivada da função composta será o produto das duas derivadas que acabamos de encontrar:

z(x)=f\bigl(g(x)\bigr) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black}z'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)

f(x)=\ln(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x^2}\cdot 2x = \cfrac{2x}{x^2}=\cfrac{2}{x}

Exemplo 2

Neste segundo exemplo, derivaremos uma função potencial baseada em um polinômio:

f(x)=\left(3x^2+4x-5\right)^3

Para derivar uma potência, precisamos colocar o expoente original na frente dele e subtrair uma unidade do expoente, de modo que a derivada da função potencial sem aplicar a regra da cadeia seria:

f\bigl(g(x)\bigr)=\left(3x^2+4x-5\right)^3 \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'\bigl(g(x)\bigr)=3\left(3x^2+4x-5\right)^2

Agora deduzimos o que está entre parênteses:

g(x)=3x^2+4x-5\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} g'(x)=6x+4

E por fim, utilizamos a regra da cadeia para resolver a derivada de toda a função, que será a multiplicação das duas derivadas calculadas anteriormente:

z(x)=f\bigl(g(x)\bigr) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black}z'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)

f(x)=\left(3x^2+4x-5\right)^3 \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=3\left(3x^2+4x-5\right)^2\cdot (6x+4)

Exemplo 3

Neste caso, resolveremos a derivada seno de x ao cubo mais 7x:

f(x)=\text{sen}(x^3+7x)

Na verdade, é uma composição de funções porque temos a função x 3 +7x dentro da função seno, podemos portanto usar a regra da cadeia para encontrar a derivada da função composta.

Por um lado, a derivada do seno é o cosseno, então a derivada da função exterior será o cosseno com o mesmo argumento do seno:

f\bigl(g(x)\bigr)=\text{sen}(x^3+7x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'\bigl(g(x)\bigr)=\text{cos}(x^3+7x)

E por outro lado, a derivada de x 3 +7x é 3x 2 +7.

g(x)=x^3+7x\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} g'(x)=3x^2+7

Portanto, a derivada da função composta é o produto das duas derivadas:

z(x)=f\bigl(g(x)\bigr) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black}z'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)

f(x)=\text{sen}(x^3+7x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(x^3+7x)\cdot (3x^2+7)

Exercícios resolvidos sobre derivadas com a regra da cadeia

Exercício 1

Derive a seguinte função composta usando a regra da cadeia:

f(x)=\left(5x^2-6x\right)^3

A função exterior é uma função potencial, portanto para calcular sua derivada deve-se aplicar a seguinte fórmula:

f\bigl(g(x)\bigr)=a\bigl(g(x)\bigr)^n \ \longrightarrow \ f'\bigl(g(x)\bigr)=n\cdot a\bigl(g(x)\bigr)^{n-1}

f\bigl(g(x)\bigr)=\left(5x^2-6x\right)^3\ \longrightarrow \ f'\bigl(g(x)\bigr)= 3\left(5x^2-6x\right)^2

E então calculamos a derivada da função interna. É uma subtração de potências, portanto para calcular sua derivada deve-se aplicar a seguinte fórmula a cada um de seus termos:

f(x)=ax^n \ \longrightarrow \ f'(x)=n\cdot ax^{n-1}

g(x)=5x^2-6x\ \longrightarrow

g'(x)=2\cdot 5x^1-1 \cdot 6 x^0 =10x-6

Resumindo, a derivada da função composta é o produto das duas derivadas encontradas:

z(x)=f\bigl(g(x)\bigr) \ \longrightarrow \ z'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)

f(x)=\left(5x^2-6x\right)^3 \ \longrightarrow \ \bm{f'(x)= 3\left(5x^2-6x\right)^2\cdot (10x-6)}

Exercício 2

Resolva a derivada da seguinte função composta usando a regra da cadeia:

f(x)=-3\left(5x^5+9x^3\right)^4

Primeiro, encontramos a derivada da função exterior:

\begin{aligned} f\bigl(g(x)\bigr) \ \longrightarrow \ f'\bigl(g(x)\bigr) & =4 \cdot ( -3) \left(5x^5+9x^3\right)^3 \\[1.5ex]&=-12\left(5x^5+9x^3\right)^3 \end{aligned}

E agora resolvemos a derivada da função interior:

g(x)=5x^5+9x^3\ \longrightarrow \ g'(x)=25x^4+27x^2

A derivada de toda a função é, portanto:

z(x)=f\bigl(g(x)\bigr) \ \longrightarrow \ z'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)

f(x)=-3\left(5x^5+9x^3\right)^4 \ \longrightarrow \ \bm{f'(x)=-12\left(5x^5+9x^3\right)^3\cdot \left(25x^4+27x^2\right)}

Exercício 3

Calcule a derivada da seguinte composição de funções com a regra da cadeia:

f(x)=e^{2x^3}

É uma função exponencial, portanto para calcular sua derivada deve-se aplicar a seguinte fórmula:

f(x)=e^{x} \ \longrightarrow \ f'(x)=e^{x}

f\bigl(g(x)\bigr)=e^{2x^3} \ \longrightarrow \ f'\bigl(g(x)\bigr)= e^{2x^3}

Também diferenciamos a função do expoente da função:

g(x)=2x^3 \ \longrightarrow \ g'(x)=6x^2

E usamos a regra da cadeia para encontrar a derivada da função composta inteira:

z(x)=f\bigl(g(x)\bigr) \ \longrightarrow \ z'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)

f(x)=e^{2x^3} \ \longrightarrow \ \bm{f'(x)= e^{2x^3}\cdot 6x^2}

Exercício 4

Encontre a derivada da seguinte função composta usando a regra da cadeia:

f(x)=\sqrt[3]{\text{sen}(x) +x }

Esta é uma composição de funções, pois temos uma função senoidal e uma função linear no argumento de uma função irracional. Então primeiro calculamos a derivada da raiz:

f(x)=\sqrt[n]{x} \ \longrightarrow \ f'(x)=\cfrac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}

f\bigl(g(x)\bigr)=\sqrt[3]{\text{sen}(x) +x } \ \longrightarrow \ f'\bigl(g(x)\bigr)= \cfrac{1}{3\sqrt[3]{\bigl(\text{sen}(x) +x\bigr)^2 }}

E agora derivamos o argumento do radical. É uma soma de funções, então a derivada será a soma das derivadas de cada termo:

g(x)=\text{sen}(x) +x \ \longrightarrow \ g'(x)=\cos(x) + 1

Assim, a derivada de toda a função é igual à multiplicação das duas derivadas calculadas:

z(x)=f\bigl(g(x)\bigr) \ \longrightarrow \ z'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)

\begin{aligned}f(x)=\sqrt[3]{\text{sen}(x)+x} \ \longrightarrow \ f'(x)& = \cfrac{1}{3\sqrt[3]{\bigl(\text{sen}(x) +x\bigr)^2 }} \cdot \bigl(\cos(x) + 1 \bigr)\\[1.5ex]&=\cfrac{\bm{\cos(x) + 1}}{\bm{3\sqrt[3]{\bigl(\mathbf{sen}(x) +x\bigr)^2} }}\end{aligned}

Exercício 5

Derive a seguinte composição de funções usando a regra da cadeia:

f(x)=3^{x^2+5}

Para aplicar a regra da cadeia, você deve encontrar a derivada da potência e do polinômio e depois multiplicá-los. Assim, derivamos a potência usando a fórmula correspondente:

f(x)=a^x \ \longrightarrow \ f'(x)=a^x\cdot \ln (a)

f\bigl(g(x)\bigr)=3^{x^2+5} \ \longrightarrow \ f'\bigl(g(x)\bigr)= 3^{x^2+5}\cdot \ln(3)

Segundo, derivamos a função polinomial do expoente:

g(x)=x^2+5 \ \longrightarrow \ g'(x)=2x

E a regra da cadeia nos diz que a derivada de toda a função é o produto das derivadas que acabamos de encontrar:

z(x)=f\bigl(g(x)\bigr) \ \longrightarrow \ z'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)

f(x)=3^{x^2+5} \ \longrightarrow \ \bm{f'(x)= 3^{x^2+5}\cdot \ln(3) \cdot 2x}

Exercício 6

f(x)=\ln \bigl(4x^2 \cdot \cos(x) \bigr)

Obviamente, a função neste problema é composta, pois no argumento do logaritmo natural temos o produto de dois tipos diferentes de funções. Então primeiro diferenciamos o logaritmo:

f(x)=\ln(x) \ \longrightarrow \ f'(x)=\cfrac{1}{x}

f\bigl(g(x)\bigr)=\ln \bigl(4x^2 \cdot \cos(x) \bigr) \ \longrightarrow \ f'\bigl(g(x)\bigr)= \cfrac{1}{4x^2 \cdot \cos(x) }

Segundo, derivamos a função do argumento do logaritmo. Esta é uma multiplicação de duas funções, então você deve usar a seguinte fórmula para fazer a derivação:

z(x)=f(x) \cdot g(x) \ \longrightarrow \ z'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x) \cdot g'(x)

\begin{aligned}g(x)=4x^2 \cdot \cos(x) \ \longrightarrow \ g'(x) & = 8x\cdot \cos(x) + 4x^2 \cdot \bigl(- \text{sen}(x)\bigr) \\[2ex] & = 8x\cdot \cos(x) - 4x^2 \cdot \text{sen}(x)\end{aligned}

Assim, a derivada de toda a função, segundo a regra da cadeia, será o produto das duas derivadas:

z(x)=f\bigl(g(x)\bigr) \ \longrightarrow \ z'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)

\begin{aligned}f'(x)&= \cfrac{1}{4x^2 \cdot \cos(x) } \cdot \bigl( 8x\cdot \cos(x) - 4x^2 \cdot \text{sen}(x) \bigr)\\[1.5ex]&=\cfrac{8x\cdot \cos(x) - 4x^2 \cdot\text{sen}(x)}{4x^2 \cdot \cos(x)}\\[1.5ex]&=\cfrac{\bm{2\cos(x) - x \cdot }\mathbf{sen}\bm{(x)}}{\bm{x \cdot \cos(x) }}\end{aligned}

Exercício 7

Resolva a derivada da seguinte função usando a regra da cadeia:

f(x)=\log_9 (e^{x^2}-6x^7)

Esta é uma composição de funções, portanto vamos diferenciar o logaritmo e seu argumento separadamente e depois multiplicar as derivadas.

Então, primeiro, diferenciamos o logaritmo na base 9:

f(x)=\log_a (x) \ \longrightarrow \ f'(x)=\cfrac{1}{x\cdot \ln (a)}

f\bigl(g(x)\bigr)=\log_9 (e^{x^2}-6x^7) \ \longrightarrow \ f'\bigl(g(x)\bigr)=\cfrac{1}{\bigl(e^{x^2}-6x^7\bigr)\cdot \ln(9)}

E agora calculamos a derivada do argumento do logaritmo. Observe que o número e possui uma função em seu argumento, ou seja, é uma função composta, portanto também precisamos aplicar a regra da cadeia para derivar esta função:

z(x)=f\bigl(g(x)\bigr) \ \longrightarrow \ z'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)

h(x)=e^{x^2} \ \longrightarrow \ h'(x)=e^{x^2}\cdot \bigl(x^2\bigr)' =e^{x^2}\cdot 2x

Assim, a derivada do argumento inteiro do logaritmo será:

g(x)= e^{x^2}-6x^7\ \longrightarrow \ g'(x)=e^{x^2}\cdot 2x - 42x^6

E finalmente, a derivada de toda a função será o produto de f'(g(x)) e g'(x):

z(x)=f\bigl(g(x)\bigr) \ \longrightarrow \ z'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)

\begin{aligned}f'(x)&=\cfrac{1}{\bigl(e^{x^2}-6x^7\bigr)\cdot \ln(9)} \cdot \bigl(e^{x^2}\cdot 2x - 42x^6\bigr)\\[1.5ex]&=\cfrac{\bm{e^{x^2}\cdot 2x - 42x^6}}{\bm{\bigl(e^{x^2}-6x^7\bigr)\cdot \ln(9)}}\end{aligned}

Exercício 8

Derive a seguinte função composta usando a regra da cadeia:

f(x)=\text{sen}\biggl( \Bigl(9x^5 + \cos(x) \Bigr)^2 \biggr)

Neste exercício temos uma composição de diversas funções, portanto teremos que aplicar a regra da cadeia diversas vezes. Primeiro derivamos a função trigonométrica do seno, cuja derivada é cosseno:

f\bigl(g(x)\bigr)=\text{sen}\biggl( \Bigl(9x^5 + \cos(x) \Bigr)^2 \biggr)\ \longrightarrow \ f'\bigl(g(x)\bigr)=\cos\biggl( \Bigl(9x^5 + \cos(x) \Bigr)^2 \biggr)

E agora calculamos a derivada do argumento do seno usando a regra da cadeia:

z(x)=f\bigl(g(x)\bigr) \ \longrightarrow \ z'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)

\begin{aligned} g(x)= \Bigl( 9x^5 + \cos(x) \Bigr)^2 \cdot g'(x) &= 2\Bigl(9x^5 + \cos(x) \Bigr) \cdot \Bigl(9x^5 + \cos(x) \Bigr)' \\[1.5ex]&=2\Bigl(9x^5 + \cos(x) \Bigr) \cdot \Bigl(45x^4-\text{sen}(x)\Bigr)\end{aligned}

Finalmente, obtemos a derivada de toda a composição de funções aplicando novamente a regra da cadeia:

z(x)=f\bigl(g(x)\bigr) \ \longrightarrow \ z'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)

\bm{f'(x)=\cos } \bm{\biggl( \Bigl(9x^5 + \cos(x) \Bigr)^2 \biggr) \cdot 2\Bigl(9x^5 + \cos(x) \Bigr) \cdot \Bigl(45x^4-}\mathbf{sen}\bm{(x)\Bigr)}

Prova de Regra da Cadeia

Finalmente, provaremos a fórmula da regra da cadeia. Para fazer isso, partiremos da definição matemática de uma derivada:

\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Seja z uma função composta por duas funções:

z=f\bigl(g(x)\bigr)

Então a derivada da função z aplicando a definição seria:

\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f\bigl(g(x+h)\bigr)-f\bigl(g(x)\bigr)}{h}

Como você já sabe, você pode multiplicar e dividir uma fração pelo mesmo termo, pois isso não altera o resultado. Podemos, portanto, passar para a próxima etapa:

\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f\bigl(g(x+h)\bigr)-f\bigl(g(x)\bigr)}{h}\cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{g(x+h)-g(x)}

Reorganizamos os denominadores das frações:

\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f\bigl(g(x+h)\bigr)-f\bigl(g(x)\bigr)}{g(x+h)-g(x)}\cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h}

Ao aplicar as propriedades dos limites, podemos dividir o limite acima em dois. Como o limite de um produto é igual ao produto dos limites:

\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f\bigl(g(x+h)\bigr)-f\bigl(g(x)\bigr)}{g(x+h)-g(x)}\cdot \lim_{h \to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}

E esta expressão é equivalente ao seguinte:

\displaystyle z'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)

A fórmula da regra da cadeia está, portanto, comprovada, uma vez que chegamos a ela a partir da definição da derivada.

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