Binomial ao cubo - Mathority

Aqui você encontrará a explicação da resolução do produto notável de um binômio ao cubo (fórmula), seja (a+b) ³ ou (ab) ³ . Além disso, você poderá ver exemplos e exercícios resolvidos passo a passo desde binômios até o cubo.

O que é um binômio ao cubo?

Um binômio ao cubo é um polinômio composto por dois termos elevado a 3. Consequentemente, a expressão algébrica de um binômio ao cubo pode ser (a+b) ³ ou (ab) ³ , dependendo se adicionamos ou subtraímos seus monômios.

Além disso, o binômio ao cubo é uma das identidades notáveis (ou produtos notáveis). Mais precisamente, corresponde a uma das identidades notáveis do cubo (ou cúbico).

fórmula do cubo binomial

Como vimos na definição de binômio ao cubo, esse tipo de identidade notável pode consistir em adição ou subtração. Portanto, a fórmula varia um pouco dependendo se é um binômio positivo ou um binômio negativo e, portanto, veremos cada caso separadamente.

cubo de uma soma

Quando uma soma é elevada ao cubo, podemos calculá-la usando a fórmula do cubo de uma soma:

De modo que um binômio ao cubo (adição) é igual ao cubo do primeiro, mais o triplo do quadrado do primeiro vezes o segundo, mais o triplo do primeiro vezes o quadrado do segundo, mais o cubo do segundo.

Outro método para calcular o cubo de um binômio é o binômio de Newton (ou teorema binomial). Deixamos o seguinte link com a explicação deste teorema porque é muito útil conhecer esta fórmula, pois funciona não só para potências de binômios de terceiro grau, mas também para expoentes superiores. Então clique neste link para conhecer e poder praticar com exercícios binomiais de Newton resolvidos .

cubo de uma diferença

Por outro lado, se em vez de uma soma tivermos uma diferença (ou subtração) elevada ao cubo, a fórmula do binômio ao cubo muda no sinal dos termos pares:

binômio de uma diferença ou subtração à fórmula do cubo

Portanto, um binômio ao cubo (subtração) é igual ao cubo do primeiro, menos três vezes o quadrado do primeiro pelo segundo, mais três vezes o primeiro ao quadrado do segundo, menos o cubo do segundo.

Assim, a única diferença entre as fórmulas do cubo de uma soma e do cubo de uma diferença é nos sinais do segundo e do quarto termos, pois no binômio de uma soma todos são positivos e, ao contrário, em os binômios de uma subtração são ambos negativos.

Acabamos de ver o que são o binômio de soma e o binômio de diferença. Pois bem, você deve saber que a soma por diferença de dois binômios também é uma identidade notável e, de fato, faz parte do top 3 (o mais importante). Você pode ver qual é a fórmula para uma soma vezes uma diferença e como ela é aplicada na página vinculada.

Exemplos de binômios cúbicos

Agora que conhecemos a fórmula do cubo de uma soma e a fórmula do cubo de uma diferença, veremos um exemplo de resolução de cada tipo de binômio ao cubo para finalizar a compreensão do conceito.

Exemplo do cubo de uma soma

Resolva o binômio para o seguinte cubo aplicando a fórmula:

$(x+2)^3$

Neste problema, temos um binômio cujos dois termos são positivos. Devemos, portanto, aplicar a fórmula para uma soma ao cubo:

$(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2 +b^3$

Agora precisamos encontrar o valor dos parâmetros

$a$

$b$

da fórmula. Nesse caso,

$a$

corresponde à variável

$x$

$b$

é o número 2.

$\left. \begin{array}{l} (a+b)^3\\[2ex] (x+2)^3 \end{array} \color{red} \right\} \quad \color{red}\bm{\longrightarrow}\quad \color{black} \begin{array}{c} a=x \\[2ex] b=2 \end{array}$

Portanto, calculamos o binômio ao cubo substituindo os valores de

$a$

e de

$b$

na fórmula:

exemplo de um binômio ao cubo de soma e diferença

Exemplo de um cubo de diferença

Calcule o próximo binômio ao cubo (diferença) usando sua fórmula correspondente:

$(3x-2)^3$

Neste exercício, temos um par com um elemento positivo e um elemento negativo. Devemos, portanto, usar a fórmula para uma diferença ao cubo:

$(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2 -b^3$

É portanto necessário identificar o valor das incógnitas

$a$

$b$

da fórmula. Nesse caso,

$a$

representa o monômio 3x e

$b$

é o termo independente do binômio, ou seja, 2.

$\left. \begin{array}{l} (a-b)^3\\[2ex] (3x-2)^3 \end{array} \color{red} \right\} \quad \color{red}\bm{\longrightarrow}\quad \color{black} \begin{array}{c} a=3x \\[2ex] b=2 \end{array}$

Observe que o parâmetro

$b$

é simplesmente igual a 2, sem o sinal negativo do número. É importante ter isso em mente para aplicar corretamente a fórmula.

Por fim, resolvemos o binômio ao cubo colocando os valores de

$a$

e de

$b$

na fórmula:

Prova da fórmula do cubo binomial

A seguir, demonstraremos a fórmula para um binômio ao cubo. Embora obviamente não seja necessário saber, é sempre bom entender a álgebra por trás de qualquer fórmula.

De um binômio ao cubo positivo:

$(a+b)^3$

A expressão acima pode ser decomposta matematicamente no produto do fator

$(a+b)$

pelo seu quadrado:

$(a+b)^3=(a+b)\cdot (a+b)^2$

Além disso, a dupla

$(a+b)$

elevado a 2 é uma identidade notável, portanto, podemos resolvê-la com a fórmula do quadrado de uma soma :

$(a+b)\cdot (a+b)^2=(a+b)\cdot (a^2+2ab+b^2)$

Agora multiplicamos os dois parênteses usando a propriedade distributiva:

$\begin{aligned} (a+b)\cdot (a^2+2ab+b^2) & = a\cdot a^2 +a\cdot 2ab + a\cdot b^2+b\cdot a^2 +b\cdot 2ab +b \cdot b^2 \\[2ex] & = a^3+2a^2b+ab^2+ba^2+2ab^2+b^3 \end{aligned}$

E, por fim, só temos que agrupar os termos que se parecem:

$a^3+2a^2b+ab^2+ba^2+2ab^2+b^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

Para que a fórmula de um binômio ao cubo seja verificada:

$(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2 +b^3$

Logicamente, para deduzir a fórmula do cubo binomial negativo, siga os mesmos passos que acabamos de fazer, mas começando com o termo

$b$

sinal alterado.

Por outro lado, a fórmula de um binômio ao cubo também pode ser demonstrada usando o triângulo de Pascal (ou de Tartaglia) . Caso você não saiba o que é esse truque matemático, deixamos este link onde é explicado passo a passo. Além disso, você poderá ver todas as aplicações que possui e a história particular deste triângulo algébrico tão especial.

Problemas resolvidos de cubo binomial

Para que você possa praticar com a teoria que acabamos de ver sobre o cálculo de um binômio elevado à potência de 3, preparamos diversos exercícios resolvidos passo a passo sobre o binômio ao cubo.

Então não esqueça de nos contar o que achou dessa explicação! E você também pode nos tirar qualquer dúvida que surgir! 👍👍👍

Exercício 1

Encontre os seguintes binômios ao cubo:

$\text{A)} \ (x+4)^3$

$\text{B)} \ \left(x^2-5\right)^3$

$\text{C)} \ \left(2x-1\right)^3$

$\text{D)} \ (5x+2)^3$

veja solução

Para encontrar todas as identidades notáveis do problema, basta aplicar a fórmula binomial ao cubo, dependendo se é uma adição ou uma subtração:

$(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2 +b^3$

$(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

$\text{A)} \ \begin{aligned}(x+4)^3& =x^3+3\cdot x^2\cdot 4 +3\cdot x\cdot 4^2+4^3\\[2ex] & =x^3+3\cdot x^2\cdot 4 +3\cdot x\cdot 16+64 \\[2ex] & = \bm{x^3+12x^2+48x+64}\end{aligned}$

$\text{B)} \ \begin{aligned}\left(x^2-5\right)^3& =\left(x^2\right)^3-3\cdot \left(x^2\right)^2\cdot 5 +3\cdot x^2\cdot 5^2-5^3\\[2ex] & =x^6-3\cdot x^4\cdot 5 +3\cdot x^2\cdot 25-125 \\[2ex] & = \bm{x^6-15x^4+75x^2-125}\end{aligned}$

$\text{C)} \ \begin{aligned}\left(2x-1\right)^3& =\left(2x\right)^3-3\cdot \left(2x\right)^2\cdot 1 +3\cdot 2x\cdot 1^2-1^3\\[2ex] & =8x^3-3\cdot 4x^2\cdot 1 +3\cdot 2x\cdot 1-1 \\[2ex] & = \bm{8x^3-12x^2+6x-1}\end{aligned}$

$\text{D)} \ \begin{aligned}(5x+2)^3& =(5x)^3+3\cdot \left(5x\right)^2\cdot 2 +3\cdot 5x\cdot 2^2+2^3\\[2ex] & =125x^3+3\cdot 25x^2\cdot 2 +3\cdot 5x\cdot 4+8 \\[2ex] & = \bm{125x^3+150x^2+60x+8}\end{aligned}$

Exercício 2

Determine os seguintes binômios ao cubo de duas quantidades aplicando a fórmula correspondente:

$\text{A)} \ \left(4x^2-y^5\right)^3$

$\text{A)} \ \left(6x^3+2y^4\right)^3$

$\text{C)} \ \displaystyle \left(\frac{9}{2}x^2-\frac{4}{3}x\right)^3$

veja solução

Para calcular todos os produtos notáveis do exercício, você deve usar a fórmula para uma soma e uma subtração ao cubo:

$(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2 +b^3$

$(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

$\text{A)} \ \begin{aligned}\left(4x^2-y^5\right)^3& =\left(4x^2\right)^3-3\cdot \left(4x^2\right)^2\cdot y^5 +3\cdot 4x^2\cdot \left(y^5\right)^2-\left(y^5\right)^3\\[2ex] & =64x^6-3\cdot 16x^4\cdot y^5 +3\cdot 4x^2\cdot y^{10}-y^{15} \\[2ex] & = \bm{64x^6-48x^4y^5+12x^2y^{10}-y^{15}}\end{aligned}$

$\text{B)} \ \begin{aligned}\left(6x^3+2y^4\right)^3& =\left(6x^3\right)^3+3\cdot \left(6x^3\right)^2\cdot 2y^4 +3\cdot 6x^3\cdot \left(2y^4\right)^2+\left(2y^4\right)^3\\[2ex] & =216x^9+3\cdot 36x^6\cdot 2y^4 +3\cdot 6x^3\cdot 4y^8+8y^{12} \\[2ex] & = \bm{216x^9+216x^6y^4 +72x^3y^8+8y^{12}}\end{aligned}$

Os monômios do último binômio ao cubo possuem coeficientes fracionários, então para resolvê-lo precisamos usar as propriedades das frações:

$\text{C)} \ \displaystyle \begin{aligned}\left(\frac{9}{2}x^2-\frac{4}{3}x\right)^3 & =\left(\frac{9}{2}x^2\right)^3-3\cdot \left(\frac{9}{2}x^2\right)^2\cdot \frac{4}{3}x +3\cdot \frac{9}{2}x^2\cdot \left(\frac{4}{3}x\right)^2-\left(\frac{4}{3}x\right)^3\\[3ex] & =\frac{9^3}{2^3}x^6-3\cdot \frac{9^2}{2^2}x^4\cdot \frac{4}{3}x +3\cdot \frac{9}{2}x^2\cdot \frac{4^2}{3^2}x^2-\frac{4^3}{3^3}x^3 \\[3ex] &= \frac{729}{8}x^6-3\cdot \frac{81}{4}x^4\cdot \frac{4}{3}x +3\cdot \frac{9}{2}x^2\cdot \frac{16}{9}x^2-\frac{64}{27}x^3 \\[3ex] &= \frac{729}{8}x^6-3\cdot \frac{324}{12}x^5 +3\cdot \frac{144}{18}x^4-\frac{64}{27}x^3 \\[3ex] &= \frac{729}{8}x^6-3\cdot 27x^5 +3\cdot 8x^4-\frac{64}{27}x^3 \\[3ex] & = \mathbf{\frac{729}{8}}\bm{x^6-81x^5 +24x^4-}\mathbf{\frac{64}{27}}\bm{x^3}\end{aligned}$

Cubo binomial

O que é um binômio ao cubo?

fórmula do cubo binomial

cubo de uma soma

cubo de uma diferença

Exemplos de binômios cúbicos

Exemplo do cubo de uma soma

Exemplo de um cubo de diferença

Prova da fórmula do cubo binomial

Problemas resolvidos de cubo binomial

Exercício 1

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