Ângulo entre dois planos no espaço (fórmula)

Nesta página você descobrirá como calcular o ângulo formado por dois planos no espaço (fórmula). Além disso, você poderá ver exemplos e praticar com exercícios resolvidos.

Fórmula do ângulo entre dois planos

O ângulo entre dois planos é igual ao ângulo formado pelos vetores normais desses planos. Portanto, para encontrar o ângulo entre dois planos, calcula-se o ângulo formado por seus vetores normais, uma vez que são equivalentes.

Então, uma vez que sabemos exatamente qual é o ângulo entre dois planos, vejamos a fórmula para calcular o ângulo entre dois planos no espaço (em R3), que é deduzida da fórmula do ângulo entre dois vetores :

Dada a equação geral (ou implícita) de dois planos diferentes:

$\pi_1 : \ A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$

$\pi_2 : \ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$

O vetor normal de cada plano é:

$\vv{n}_1=(A_1,B_1,C_1)$

$\vv{n}_2=(A_2,B_2,C_2)$

E o ângulo formado por esses dois planos é determinado calculando o ângulo formado por seus vetores normais usando a seguinte fórmula:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}$

Portanto, para determinar o ângulo entre dois planos, você deve dominar o cálculo do produto escalar de dois vetores . Se você não lembra como foi feito, no link você encontrará os passos para resolver o produto escalar entre dois vetores. Além disso, você poderá ver exemplos e exercícios resolvidos passo a passo.

Por outro lado, quando os dois planos são perpendiculares ou paralelos, não é necessário aplicar a fórmula, pois o ângulo entre os 2 planos pode ser determinado diretamente:

O ângulo entre dois planos paralelos é 0º, pois seus vetores normais têm a mesma direção.
O ângulo entre dois planos perpendiculares é 90º, porque seus vetores normais também são perpendiculares (ou ortogonais) entre si e, portanto, formam um ângulo reto.

Exemplo de cálculo do ângulo entre dois planos

Aqui está um exemplo concreto para que você possa ver como determinar o ângulo entre dois planos diferentes:

Calcule o ângulo entre os dois planos a seguir:

$\pi_1 : \ 3x-5y+z+4=0$

$\pi_2 : \ 4x+2y+3z-1=0$

A primeira coisa que precisamos fazer é determinar o vetor normal de cada plano. Assim, as coordenadas X, Y, Z do vetor perpendicular a um plano coincidem respectivamente com os coeficientes A, B e C da sua equação geral (ou implícita):

$\vv{n}_1 = (3,-5,1)$

$\vv{n}_2 = (4,2,3)$

E uma vez conhecido o vetor normal a cada plano, calculamos o ângulo que eles formam com a fórmula:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}$

Devemos, portanto, encontrar a magnitude de cada vetor normal:

$\sqrt{3^2+(-5)^2+1^2}= \sqrt{9+25+1} = \sqrt{35}$

$\sqrt{4^2+2^2+3^2}= \sqrt{16+4+9} = \sqrt{29}$

Agora substituímos o valor de cada incógnita na fórmula:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}=\cfrac{\lvert (3,-5,1) \cdot (4,2,3)\rvert}{\sqrt{35} \cdot \sqrt{29} }$

Calculamos o cosseno do ângulo resolvendo o produto escalar dos dois vetores:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert 3\cdot 4 + (-5)\cdot 2 +1 \cdot 3 \rvert}{\sqrt{35}\cdot \sqrt{29} }=\cfrac{\lvert 12-10+3 \rvert}{\sqrt{1015}}= \cfrac{5}{31,86}=0,16$

E, por fim, determinamos o ângulo fazendo o inverso do cosseno usando a calculadora:

$\displaystyle \alpha = \cos^{-1}(0,16)=\bm{80,97º}$

Problemas resolvidos do ângulo entre dois planos

Exercício 1

Encontre o ângulo entre os dois planos a seguir:

$\pi_1 : \ x+2z-5=0$

$\pi_2 : \ 3x+y-4z+7=0$

veja solução

A primeira coisa que precisamos fazer é determinar o vetor normal de cada plano. Assim, as coordenadas X, Y, Z do vetor perpendicular a um plano são respectivamente equivalentes aos coeficientes A, B e C de sua equação geral (ou implícita):

$\vv{n}_1 = (1,0,2)$

$\vv{n}_2 = (3,1,-4)$

Uma vez conhecido o vetor normal de cada plano, calculamos o ângulo que eles formam com a fórmula:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}$

Devemos, portanto, encontrar a magnitude de cada vetor normal:

$\sqrt{1^2+0^2+2^2}= \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$

$\sqrt{3^2+1^2+(-4)^2}= \sqrt{9+1+16} = \sqrt{26}$

Substituímos o valor de cada incógnita na fórmula:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}=\cfrac{\lvert (1,0,2) \cdot (3,1,-4)\rvert}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{26} }$

Calculamos o cosseno do ângulo:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert 1\cdot 3 + 0\cdot 1 +2 \cdot (-4) \rvert}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{26} }=\cfrac{\lvert 3-8 \rvert}{\sqrt{130}}= \cfrac{5}{11,4}=0,44$

E finalmente, encontramos o ângulo entre os dois planos invertendo o cosseno com a calculadora:

$\displaystyle \alpha = \cos^{-1}(0,44)=\bm{63,99º}$

Exercício 2

Qual é o ângulo entre os dois planos a seguir?

$\pi_1 : \ 3x-2y+5z=0$

$\pi_2 : \ 6x+3y-z-2=0$

veja solução

A primeira coisa que precisamos fazer é determinar o vetor normal de cada plano. Assim, as coordenadas X, Y, Z do vetor perpendicular a um plano são respectivamente iguais aos parâmetros A, B e C de sua equação geral (ou implícita):

$\vv{n}_1 = (3,-2,5)$

$\vv{n}_2 = (6,3,-1)$

Uma vez conhecido o vetor normal de cada plano, calculamos o ângulo que eles formam com a fórmula:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}$

Devemos, portanto, encontrar a magnitude de cada vetor normal:

$\sqrt{3^2+(-2)^2+5^2}= \sqrt{9+4+25} = \sqrt{38}$

$\sqrt{6^2+3^2+(-1)^2}= \sqrt{36+9+1} = \sqrt{46}$

Substituímos o valor de cada variável na fórmula:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}=\cfrac{\lvert (3,-2,5) \cdot (6,3,-1)\rvert}{\sqrt{38} \cdot \sqrt{46} }$

Calculamos o cosseno do ângulo:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert 3\cdot 6 + (-2)\cdot 3 +5 \cdot (-1) \rvert}{\sqrt{38}\cdot \sqrt{46} }=\cfrac{\lvert 18-6-5 \rvert}{\sqrt{1748}}= \cfrac{7}{41,81}=0,17$