Função quadrática ou parábola

Esta página explica o que é uma função quadrática bem como todas as suas características: curvatura, vértice, pontos de intersecção com os eixos, etc. Você também aprenderá como representar uma função quadrática em um gráfico. E por fim, você pode praticar com exemplos, exercícios passo a passo e problemas sobre funções quadráticas.

O que é uma função quadrática?

A definição de uma função quadrática é a seguinte:

Em matemática, uma função quadrática (ou parabólica) é uma função polinomial de grau 2, ou seja, uma função em que o termo de maior grau é de segundo grau. Portanto, a fórmula para uma função quadrática é:

f(x)=ax^2+bx+c

Ouro:

  • ax^2

    é o termo quadrático.

  • bx

    é o termo linear.

  • c

    é o termo independente.

O domínio de uma função quadrática sempre consiste em números reais.

\text{Dom } f=\mathbff{R}

Concavidade e convexidade de uma função quadrática

Analisar a curvatura de uma função quadrática ou parabólica é muito simples, pois depende apenas do coeficiente quadrático.

  • Se o coeficiente

    a

    é positiva, a função quadrática é convexa (na forma

    \bm{\cup}

    ). A cimeira é, portanto, um mínimo.

  • Se o coeficiente

    a

    é negativo, a função quadrática é côncava (em forma

    \bm{\cap}

    ). O pico é, portanto, um máximo.

função quadrática ou parábola convexa
função quadrática ou parábola côncava

Nota: A comunidade matemática ainda não concorda plenamente e, por isso, alguns professores dizem o contrário: chamam uma função côncava aquela que tem a forma de um

\bm{\cup}

, e uma função convexa que tem a forma de

\bm{\cap}

. Em todo caso, o importante é qual forma tem a função, seja qual for o nome.


Vértice de uma função quadrática

Para representar graficamente uma função quadrática, é necessário conhecer as coordenadas do vértice da parábola.

Para encontrar o vértice de uma função quadrática, precisamos calcular a coordenada X do ponto usando a seguinte fórmula:

\displaystyle x=\frac{-b}{2a}

Então podemos encontrar a outra coordenada do vértice calculando a imagem da função naquele ponto:

\displaystyle f\left(\frac{-b}{2a}\right)

Assim, as coordenadas do vértice de uma função quadrática (ou parábola) são:

\displaystyle \left(\frac{-b}{2a} \ , \ f\left(\frac{-b}{2a}\right)\right)

Cortando pontos com os eixos de uma função quadrática

Uma parábola sempre intercepta o eixo y (eixo Y), e isso acontece quando

x=0.

Portanto, para calcular o ponto de corte de uma função quadrática com eixo Y, deve-se resolver

f(0).

Por exemplo, o ponto de intersecção com o eixo OY da seguinte função quadrática é:

f(x)=x^2-2x+1

f(0)=0^2-2\cdot 0+1 = 1

\bm{(0,1)}

Por outro lado, o ponto de corte de uma função quadrática com o eixo x (eixo X) ocorre quando

f(x)=0.

Então para calcular o ponto de intersecção com o eixo X você tem que resolver a equação

f(x)=0.

A título de exemplo, segue abaixo o cálculo do ponto de corte com o eixo OX da mesma função quadrática:

f(x)=x^2-2x+1

0=x^2-2x+1

Resolvemos a equação quadrática com a fórmula geral:

x=\cfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

x=\cfrac{-(-2)\pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot 1\cdot1}}{2\cdot 1} =\cfrac{2\pm 0}{2} = 1

O ponto de intersecção da função quadrática com o eixo X é, portanto:

\bm{(1,0)}

Neste caso, obtivemos apenas uma solução para a equação quadrática, mas poderíamos ter obtido duas soluções. Neste caso, isso significa que a função quadrática intercepta o eixo X em dois pontos diferentes.

Exemplo de representação de uma função quadrática ou parabólica


Vamos ver como representar uma função quadrática em um gráfico usando um exemplo.

  • Faça um gráfico da seguinte função:

f(x)=x^2-4x+5

A primeira coisa a fazer é calcular o vértice da parábola. Para fazer isso, usamos a fórmula que vimos acima:

x = \cfrac{-b}{2a} = \cfrac{-(-4)}{2\cdot 1}= \cfrac{4}{2}= 2

Depois de sabermos onde estará o vértice, precisamos construir uma tabela de valores:   Calculamos o valor da função no vértice e nos pontos que o rodeiam:

f(x)=x^2-4x+5

  • x= 2 \ \longrightarrow \ f(2) = 2^2-4\cdot2+5=1

  • x= 1 \ \longrightarrow \ f(1)=1^2-4\cdot1+5=2

  • x= 3 \ \longrightarrow \ f(3) = 3^2-4\cdot3+5=2

  • x= 0 \ \longrightarrow \ f(0) = 0^2-4\cdot0+5=5

  • x= 4 \ \longrightarrow \ f(4) = 4^2-4\cdot4+5=5

\begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 2 & 1 \\ 1 & 2 \\ 3 & 2 \\ 0 & 5 \\ 4 & 5 \end{array}

Você também pode calcular os pontos de corte da função quadrática com os eixos cartesianos para desenhar melhor a parábola, mas isso não é estritamente necessário.

Representamos agora os pontos obtidos em um gráfico :

exemplo de como representar uma função quadrática ou parabólica

E por fim, juntamos os pontos formando a parábola. Depois alongamos os ramos da parábola para indicar que ela continua para cima:

representação de uma função quadrática ou parabólica

Exercícios resolvidos sobre funções quadráticas

Exercício 1

Encontre o vértice da seguinte função quadrática:

f(x)=2x^2+8x+4

Exercício 2


Encontre os pontos de corte da seguinte função com os eixos:

f(x)=x^2-4x+3

Exercício 3

Faça um gráfico da seguinte função quadrática:

f(x)=-x^2+4x+1

Exercício 4

Faça um gráfico da seguinte função quadrática:

f(x)=-2x^2-8x-1

Exercício 5

Trace a seguinte função quadrática incompleta em um gráfico:

f(x)=x^2+2

Exercício 6

Resolva o seguinte problema relacionado a funções quadráticas:

O custo de produção de um produto é definido pela seguinte função:

f(x)=x^2-12x+76

Ouro

x

são as unidades produzidas (em milhares) e

f(x)

é o custo de produção das unidades (em milhares de euros).

  • Representa a função de custo de produção em um gráfico.
  • Determine quantos milhares de unidades devem ser produzidas para minimizar custos.

Exercício 7

Resolva o seguinte problema de função quadrática:

Um atleta realiza um lançamento de dardo cuja trajetória pode ser representada pela seguinte função:

h(x) = -0,025x^2+2x+2

Ouro

x

são os metros percorridos pelo dardo e

h

sua altura (também em metros).

Qual é a altura máxima que o dardo pode atingir?

Exercício 8

Resolva o seguinte problema relativo a funções quadráticas:

Os custos de produção (em euros) de uma empresa são definidos pela seguinte função:

C(q)=40000+20q+q^2

Ouro

q

são as unidades produzidas.

E o preço de venda de cada unidade é de 520€.

  • Quanto lucro a empresa terá se vender 150 unidades?
  • Quantas unidades devem ser vendidas para obter lucro máximo?


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