▷ Como é calculado o ângulo entre dois vetores? (fórmula) ✅

Nesta página você descobrirá como calcular o ângulo entre dois vetores. Além disso, você também verá exemplos e poderá praticar com exercícios e problemas resolvidos passo a passo.

Fórmula para o ângulo entre dois vetores

ângulo entre dois vetores de produto escalar

Se nos lembrarmos da definição do produto escalar , ele pode ser calculado usando a seguinte equação:

$\displaystyle \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(\alpha )$

Desta igualdade podemos obter a fórmula que nos ajudará a encontrar diretamente o ângulo formado por dois vetores:

O cosseno do ângulo formado por dois vetores é igual ao produto escalar entre os dois vetores dividido pelo produto dos módulos dos dois vetores.

Em outras palavras, a fórmula para determinar o ângulo formado por dois vetores é a seguinte:

Portanto, para encontrar o ângulo formado por dois vetores, é fundamental que você saiba calcular o módulo de um vetor . Neste link você encontrará a fórmula, exemplos e exercícios resolvidos para o módulo de um vetor, então se você ainda não domina esta operação vetorial, recomendamos que dê uma olhada.

Esta fórmula funciona tanto para o plano (em R2) quanto para o espaço (em R3). Ou seja, podemos utilizá-lo de forma intercambiável para vetores de duas ou três componentes.

Porém, às vezes não é necessário aplicar esta fórmula porque o ângulo entre os vetores pode ser deduzido:

O ângulo entre dois vetores perpendiculares (que têm a mesma direção) é 0º.
O ângulo entre dois vetores ortogonais (ou perpendiculares) é 90º.

Exemplo de como encontrar o ângulo entre dois vetores

Como exemplo, calcularemos o ângulo formado pelos dois vetores a seguir:

$\vv{\text{u}} = (4,-1) \qquad \vv{\text{v}} = (2,5)$

Devemos primeiro calcular o módulo de cada vetor:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{4^2+(-1)^2}= \sqrt{17}$

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{2^2+5^2}= \sqrt{29}$

Agora usamos a fórmula para calcular o cosseno do ângulo entre os dois vetores:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}=\cfrac{ 4\cdot 2 + (-1)\cdot 5}{\sqrt{17}\cdot \sqrt{29}} = \cfrac{3}{\sqrt{493}} = 0,14$

E finalmente, encontramos o ângulo correspondente fazendo o inverso do cosseno usando a calculadora:

$\displaystyle \cos^{-1}(0,14) = \bm{81,95º}$

Os dois vetores formam, portanto, um ângulo de 81,95º.

Exercícios resolvidos sobre ângulos entre vetores

Exercício 1

Calcule o ângulo entre os dois vetores a seguir:

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(5,3) \qquad \vv{\text{v}} =(1,2)$

Veja a solução

Primeiramente devemos calcular o módulo dos dois vetores:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{5^2+3^2}= \sqrt{34}$

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{ 1^2+2^2}= \sqrt{5}$

Usamos a fórmula para calcular o cosseno do ângulo formado pelos vetores:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}=\cfrac{ 5\cdot 1 + 3\cdot 2}{\sqrt{34}\cdot \sqrt{5}} = \cfrac{11}{\sqrt{170}} = 0,84$

Finalmente, encontramos o ângulo correspondente fazendo o inverso do cosseno com a calculadora:

$\displaystyle \cos^{-1}(0,84) = \bm{32,47º}$

Exercício 2

Determine o ângulo que existe entre os dois vetores a seguir:

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(-2,-7) \qquad \vv{\text{v}} =(-1,5)$

Veja a solução

Primeiramente precisamos encontrar os módulos dos vetores:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{ (-2)^2+(-7)^2}= \sqrt{53}$

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{ (-1)^2+5^2}= \sqrt{26}$

Usamos a fórmula para obter o cosseno do ângulo que os vetores possuem:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}=\cfrac{ (-2)\cdot (-1) + (-7)\cdot 5}{\sqrt{53}\cdot \sqrt{26}} = \cfrac{-33}{\sqrt{1378}} = -0,89$

E, finalmente, encontramos o ângulo correspondente fazendo o inverso do cosseno com a calculadora:

$\displaystyle \cos^{-1}(-0,89) = \bm{152,74º}$

Exercício 3

Calcule o valor de

$k$

de modo que os seguintes vetores sejam perpendiculares:

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(6,3) \qquad \vv{\text{v}} =(-4,k)$

Veja a solução

Dois vetores perpendiculares formam um ângulo de 90º. Ainda:

$\displaystyle \cos(90º) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

$\displaystyle 0=\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

O denominador da fração divide todo o lado direito da equação, então podemos multiplicá-lo pelo outro lado:

$\displaystyle 0 \cdot \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

$\displaystyle 0 =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

Agora resolvemos o produto escalar:

$\displaystyle 0 =(6,3) \cdot (-4,k)$

$\displaystyle 0 =6 \cdot (-4) + 3\cdot k$

$\displaystyle 0 =-24 +3k$

E finalmente, esclarecemos o mistério:

$\displaystyle -3k =-24$

$\displaystyle k =\cfrac{-24}{-3}$

$\displaystyle \bm{k =8}$

Exercício 4

Encontre o valor que as constantes devem ter

$a$

$b$

de modo que os seguintes vetores são perpendiculares e, além disso, é verdadeiro

$\lvert \vv{\text{u}} \rvert =10.$

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(-6,a) \qquad \vv{\text{v}} =(b,3)$

Veja a solução

Primeiro usaremos a condição de módulo para encontrar o valor de

$a:$

$\lvert \vv{\text{u}} \rvert =10$

$\sqrt{(-6)^2+a^2}=10$

$\sqrt{36+a^2}=10$

Elevamos ambos os lados da equação para remover a raiz quadrada:

$\left(\sqrt{36+a^2}\right)^2=10^2$

$36+a^2=100$

E esclarecemos o mistério:

$a^2=100 -36$

$a^2=64$

$a=\sqrt{64}$

$\bm{a=8}$

Uma vez que sabemos o valor de

$a$

, encontre o valor de

$b$

aplicando a fórmula do ângulo de dois vetores, pois o enunciado nos diz que eles devem ser perpendiculares, ou o que equivale, devem formar 90º.

$\displaystyle \cos(90º) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

$\displaystyle 0=\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

O denominador da fração divide todo o lado direito da equação, então podemos multiplicá-lo pelo outro lado:

$\displaystyle 0 \cdot \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

$\displaystyle 0 =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

Agora vamos tentar resolver o produto escalar:

$\displaystyle 0 =(-6,8) \cdot (b,3)$

$\displaystyle 0 =-6 \cdot b +8\cdot 3$

$\displaystyle 0 =-6b +24$

E finalmente, esclarecemos o mistério:

$\displaystyle 6b =24$

$\displaystyle b =\cfrac{24}{6}$

$\displaystyle \bm{b =4}$

Exercício 5

Calcular ângulos

$\alpha , \beta$

$\gamma$

que formam os lados do seguinte triângulo:

exercícios e problemas resolvidos passo a passo do produto escalar de dois vetores

Veja a solução

Os vértices que compõem o triângulo são os seguintes pontos:

$A(2,1) \qquad B(4,4) \qquad C(6,2)$

Para calcular os ângulos internos do triângulo, podemos calcular os vetores de cada um dos seus lados e depois determinar o ângulo que eles formam utilizando a fórmula do produto escalar.

Por exemplo, para encontrar o ângulo

$\alpha$

Calculamos os vetores de seus lados:

$\vv{AB} = B - A = (4,4)-(2,1)= (2,3)$

$\vv{AC} = C - A = (6,2)-(2,1)= (4,1)$

E encontramos o ângulo formado pelos dois vetores usando a fórmula do produto escalar:

$\lvert \vv{AB} \rvert = \sqrt{2^2+3^2} = \sqrt{13}$

$\lvert \vv{AC} \rvert = \sqrt{4^2+1^2} = \sqrt{17}$

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{AB} \cdot \vv{AC}}{\lvert \vv{AB} \rvert \cdot \lvert \vv{AC} \rvert}=\cfrac{ 2\cdot 4 + 3\cdot 1}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{17}} = \cfrac{11}{\sqrt{221}} =0,74$

$\bm{\alpha = 42,27º}$

Agora repetimos o mesmo procedimento para determinar o ângulo

$\beta:$

$\vv{BC} = C - B = (6,2)-(4,4)= (2,-2)$

$\lvert \vv{BC} \rvert = \sqrt{2^2+(-2)^2} = \sqrt{8}$

$\displaystyle \cos(\beta) =\cfrac{\vv{AB} \cdot \vv{BC}}{\lvert \vv{AB} \rvert \cdot \lvert \vv{BC} \rvert}=\cfrac{ 2\cdot 2 + 3\cdot (-2)}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{8}} = \cfrac{-2}{\sqrt{104}} =-0,20$

$\bm{\beta = 101,31º}$

Finalmente, para encontrar o último ângulo podemos repetir o mesmo procedimento. No entanto, todos os ângulos em um triângulo devem somar 180 graus, então:

$\gamma = 180 -42,27-101,31 = \bm{36,42º}$

Como calcular o ângulo entre dois vetores

Fórmula para o ângulo entre dois vetores

Exemplo de como encontrar o ângulo entre dois vetores

Exercícios resolvidos sobre ângulos entre vetores

Exercício 1

Exercício 2

Exercício 3

Exercício 4

Exercício 5

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