Derivada do arco secante hiperbólico

Aqui você descobrirá como calcular a derivada do arco secante hiperbólico de uma função. Além disso, você poderá ver exemplos resolvidos da derivada do arco secante hiperbólico.

Fórmula derivada do arco secante hiperbólico

A derivada do arco secante hiperbólico de x é igual a menos 1 dividido pelo produto de x vezes a raiz de um menos x ao quadrado.

f(x)=\text{arcsech}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{-1}{x\sqrt{1-x^2}}

Portanto, a derivada do arco secante hiperbólico de uma função é menos a derivada dessa função dividida pelo produto da função vezes a raiz de um menos a função quadrada.

f(x)=\text{arcsech}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{-u'}{u\sqrt{1-u^2}}

Resumindo, a fórmula para a derivada da função arcosecante hiperbólica é:

derivado do arco secante hiperbólico

Na verdade, ambas as expressões correspondem à mesma fórmula, mas a regra da cadeia é aplicada à segunda fórmula. Na verdade, se você substituir u pela função identidade x, obterá a primeira fórmula, pois a derivada de x é 1.

Exemplos de derivada do arco secante hiperbólico

Depois de ver qual é a fórmula da derivada do arco secante hiperbólico, resolveremos passo a passo dois exercícios deste tipo de derivadas trigonométricas inversas. Assim, você pode ver exatamente como derivar o arco secante hiperbólico de uma função.

Exemplo 1

Neste exemplo, determinaremos qual é a derivada do arco secante hiperbólico 2x.

f(x)=\text{arcsech}(2x)

No argumento do arco secante hiperbólico, temos uma função diferente de x, então precisamos usar a fórmula da regra da cadeia para derivá-la:

f(x)=\text{arcsech}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{-u'}{u\sqrt{1-u^2}}

A função 2x é linear, então sua derivada é 2. Portanto, para encontrar a derivada, simplesmente substituímos 2x por u e 2 por u’ na fórmula:

f(x)=\text{arcsech}(2x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{-2}{2x\sqrt{1-(2x)^2}}=\cfrac{-2}{2x\sqrt{1-4x^2}}

Exemplo 2

Neste segundo exercício, derivaremos o arco secante hiperbólico de uma função polinomial:

f(x)=\text{arcsech}(x^3-4x)

A função deste exercício é composta, pois o arco secante hiperbólico tem outra função em seu argumento. Portanto, precisamos usar a fórmula da derivada do arco secante hiperbólico com a regra da cadeia para fazer sua derivação:

f(x)=\text{arcsech}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{-u'}{u\sqrt{1-u^2}}

Portanto, no numerador da fração colocamos a derivada da função polinomial do argumento, e no denominador trocamos o u pela função polinomial:

\begin{aligned}f(x)=\text{arcsech}(x^3-4x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black}f'(x)&=\cfrac{-(3x^2-4)}{(x^3-4x)\sqrt{1-(x^3-4x)^2}}\\[1.5ex] &=\cfrac{-3x^2+4}{(x^3-4x)\sqrt{1-(x^3-4x)^2}}\end{aligned}

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