Aqui explicamos como derivar uma raiz (ou uma função radical). Você encontrará a fórmula de divisão de raízes e exercícios resolvidos passo a passo para derivadas de raízes.
Fórmula para a derivada de uma raiz
A derivada de uma raiz, ou função irracional, é igual à derivada do radicando (expressão abaixo do radical) dividida pelo produto do índice da raiz vezes a mesma raiz, subtraindo 1 do expoente do radicando.
No entanto, se o radicando raiz for apenas um x, as fórmulas serão simplificadas. A derivada raiz de x é, portanto, a seguinte:
Resumindo, existem duas fórmulas para derivar uma raiz: a primeira que sempre pode ser usada e a segunda que só pode ser usada quando o radicando for x.
Se você olhar de perto, o termo no numerador da fração é aquele que resulta da aplicação da regra da cadeia ao calcular a derivada da raiz. É por isso que quando o radicando é x, 1 aparece no denominador, pois é a derivada de x.
Exemplos de derivadas de raiz
Dada a fórmula da derivada de uma função radical, explicamos a seguir vários exemplos desse tipo de derivada para que você entenda como derivar uma raiz.
Exemplo 1: Derivada de uma raiz quadrada
Veremos então qual é a derivada de uma raiz quadrada:
Neste caso, a expressão dentro da raiz é apenas um x, então podemos usar a seguinte fórmula:
Portanto, a derivada de uma raiz quadrada é igual a 1 dividido pelo produto de 2 vezes a raiz quadrada de x:
Exemplo 2: Derivada de uma raiz cúbica
Neste exemplo, a expressão sob a raiz é x, então podemos aplicar a seguinte fórmula:
Portanto, a derivada de uma raiz cúbica é igual a 1 dividido por 3 vezes a raiz cúbica de x ao quadrado:
Exemplo 3: Derivada de uma raiz quarta
Agora não temos x sob o sinal radical, mas temos uma expressão algébrica mais complexa. Portanto, devemos usar a fórmula geral para a derivada de uma raiz:
A expressão sob o radical é uma função de primeiro grau, então sua derivada é 7. Assim, a derivada de toda a função é:
Exemplo 4: Derivação de uma raiz para outra
Para resolver a derivada desta raiz composta por outra raiz, devemos aplicar a seguinte fórmula:
Neste caso, você deve usar a mesma fórmula duas vezes seguidas para calcular a derivada:
Problemas resolvidos da derivada de uma raiz
Calcule as derivadas das seguintes raízes: