Interpolação linear e quadrática

Nesta página você aprenderá o que significa interpolar uma função. Especificamente, a interpolação linear e a interpolação quadrática são explicadas. Além disso, você poderá ver vários exemplos para não ter dúvidas sobre como uma função é interpolada.

O que é interpolação de função?

A definição de interpolação é a seguinte:

Em matemática, a interpolação é um procedimento usado para aproximar o valor que uma função assume em um ponto de um intervalo cujos extremos são conhecidos.

Qual é a diferença entre interpolação e extrapolação?

Interpolar e extrapolar têm significados muito semelhantes, pois ambos envolvem estimar o valor de uma função em um ponto a partir de dois pontos conhecidos.

Porém, a interpolação consiste em fazer uma aproximação de um ponto localizado no intervalo formado por esses dois pontos conhecidos. Em vez disso, extrapolar significa estimar o valor da função em um ponto fora do intervalo em que consistem esses dois pontos conhecidos.

interpolação e extrapolação ou interpolação e extrapolação

Como você pode ver no gráfico acima, os pontos conhecidos são (2,3) e (6,5). Neste caso, queremos interpolar para x=4, porque está entre os pontos conhecidos, e, por outro lado, queremos extrapolar para x=8, porque está fora do intervalo conhecido.

Obviamente, um valor interpolado é muito mais confiável do que um valor extrapolado, porque na extrapolação assumimos que a função seguirá um caminho semelhante. No entanto, é possível que a inclinação da função mude fora dos limites do intervalo conhecido e a estimativa esteja errada.

Interpolação linear

A interpolação linear é um caso especial de interpolação polinomial newtoniana. Neste caso, utiliza-se um polinômio de primeiro grau, ou seja, uma função linear ou afim, para adivinhar o valor da função em um ponto.

Dados dois pontos conhecidos,

$P_1(x_1,y_1)$

$P_2(x_2,y_2)$

, a fórmula para realizar a interpolação linear é:

$y=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot(x-x_1) + y_1$

Ouro

$x$

$y$

são as coordenadas do ponto interpolado.

Podemos verificar que esta fórmula corresponde à equação ponto-inclinação da reta.

Exemplo de interpolação linear

A seguir veremos um problema como exemplo para finalizar o entendimento do conceito de interpolação linear:

Numa fábrica, 2 itens são produzidos em 4 horas e 10 itens em 8 horas. Se o número de itens produzidos tiver uma relação linear com as horas trabalhadas, quantos itens serão produzidos em 5 horas?

Primeiro, precisamos definir a função linear que relaciona as horas trabalhadas com os itens produzidos. Nesse caso, X serão horas trabalhadas e Y serão itens fabricados. Porque serão produzidos mais ou menos itens dependendo das horas trabalhadas, ou seja, a produção depende das horas, e não o contrário.

Pela afirmação sabemos que a função passa pelos pontos (4,2) e (8,10). É portanto suficiente aplicar a fórmula para interpolar no ponto

$x=5:$

$y=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot(x-x_1) + y_1$

Substituímos os valores dos pontos na equação:

$y=\cfrac{10-2}{8-4}\cdot(5-4) + 2$

E fazemos as operações:

$y=\cfrac{8}{4}\cdot1 + 2 = 2\cdot 1 +2 = 4$

$\bm{y=4}$

Portanto, 5 horas produzirão 4 itens .

interpolação quadrática

A interpolação quadrática envolve a interpolação com um polinômio de segundo grau em vez de um polinômio de grau 1. Portanto, neste caso, uma função quadrática ou parábola é usada.

$y = ax^2+bx+c$

Em geral, a interpolação de segunda ordem é mais precisa do que a interpolação de primeira ordem porque é de grau superior. Pelo contrário, é necessário mais um ponto para poder realizar a interpolação.

O matemático Lagrange desenvolveu uma fórmula para encontrar a função de interpolação de ordem n. Para o caso de segunda ordem, o polinômio de interpolação de Lagrange é o seguinte:

$y=\cfrac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x-x_2)}\cdot y_0+ \cfrac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_0-x_2)}\cdot y_1+ \cfrac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}\cdot y_2$

onde os pontos conhecidos

$P_1(x_1,y_1)$

$P_2(x_2,y_2)$

$P_3(x_3,y_3)$

Eles são usados para encontrar o valor da função na abcissa

$x.$

Porém, na prática, o método de interpolação de Lagrange geralmente não é utilizado, mas a função quadrática é calculada a partir dos 3 pontos observados, e então o ponto a ser interpolado na função é avaliado. Aqui está um exercício resolvido para ver como isso é feito:

Exemplo de interpolação quadrática

Determine a função quadrática que passa pelos pontos (0,1), (1,0) e (3,4) e interpole o valor de
$x=-1.$

Como as funções quadráticas são polinômios de segunda ordem, a função de interpolação será a seguinte:

$y = ax^2+bx+c$

Portanto, é necessário calcular os coeficientes

$a$

$b$

$c$

. Para fazer isso, substituímos as coordenadas dos pontos conhecidos na função:

$\left.\begin{array}{l} 1 = a\cdot 0^2+b\cdot 0+c \\[2ex] 0 = a\cdot 1^2+b\cdot 1+c \\[2ex] 4 = a\cdot 3^2+b\cdot 3+c \end{array} \right\} \longrightarrow \left.\begin{array}{l} 1 = c \\[2ex] 0 = a+b+c \\[2ex] 4 = 9a+3b+c \end{array} \right\}$

Agora resolvemos o sistema de equações:

$\left.\begin{array}{l} 1 = c \\[2ex] 0 = a+b+c \\[2ex] 4 = 9a+3b+c \end{array} \right\} \begin{array}{l} \\[2ex] \xrightarrow{c \ = \ 1} \\[2ex] & \end{array} \left.\begin{array}{l} c=1 \\[2ex] 0 = a+b+1 \\[2ex] 4 = 9a+3b+1 \end{array}\right\}$

Já sabemos o valor de

$c$

, podemos, portanto, resolver o sistema com o método de substituição: apagamos a incógnita

$a$

da segunda equação e substitua a expressão encontrada na última equação:

$\left.\begin{array}{l} a=-b-1 \\[2ex] 4 = 9a+3b+1 \end{array}\right\}\longrightarrow \left.\begin{array}{l} a=-b-1 \\[2ex] 4 = 9(-b-1)+3b+1 \end{array}\right\}$

encontramos o desconhecido

$b$

da última equação:

$4 = -9b-9+3b+1$

$12 =-6b$

$b=\cfrac{12}{-6} = -2$

e encontre o valor de

$a$

com a segunda equação do sistema:

$a=-(-2)-1 = 1$

A função quadrática é, portanto, a seguinte:

$\bm{y = x^2-2x+1}$

Finalmente, interpolamos a abcissa

$x=-1$

para calcular o valor da função neste ponto:

$y=(-1)^2-2\cdot(-1)+1=1+2+1=\bm{4}$

Aplicações de interpolação

Embora possa não parecer, a interpolação é muito útil em matemática e estatística. Por exemplo, serve para tentar prever o valor de uma função: a partir de uma série de dados coletados, a linha de regressão é calculada e com ela você pode ter uma aproximação de quanto valerá a função em cada ponto.

A interpolação de uma função pode ser feita manualmente, como vimos, ou com programas de computador como Excel ou MATLAB. Obviamente, é muito mais confortável e rápido fazer isso usando um computador.

Por outro lado, a interpolação também é usada para simplificar os cálculos. Existem alguns programas de software que precisam realizar cálculos complexos com funções muito longas; portanto, às vezes, a interpolação linear dessas funções é realizada para simplificar as operações.