Diferença (ou subtração) de cubos

Nesta página explicamos como fatorar uma diferença de cubos (fórmula). Além disso, você poderá ver diversos exemplos e até praticar com exercícios resolvidos passo a passo.

Qual é a diferença entre cubos?

Em matemática, a diferença (ou subtração) de cubos é um binômio (polinômio com apenas dois monômios) composto por um termo positivo e um termo negativo cujas raízes cúbicas são exatas. Em outras palavras, a expressão algébrica para uma diferença de cubos é a ³ -b ³ .

Da mesma forma, a diferença em cubos perfeitos corresponde a um produto notável. Caso você não saiba o que são, deixamos esta página onde é explicado quais são os produtos notáveis , como são calculados e para que servem.

Diferença de fórmula de cubos

Dada a definição de diferença ou subtração de cubos, veremos qual é a fórmula para este tipo de igualdade notável:

fórmula para diferença ou subtração de cubos

Portanto, subtrair dois termos do cubo é igual à diferença desses dois termos multiplicada pelo quadrado do primeiro termo, mais o produto das duas quantidades, mais o quadrado do segundo termo.

Portanto, quando aplicamos a fórmula da diferença de cubos, estamos na verdade fatorando um polinômio de grau 3 , porque estamos transformando um polinômio em um produto de dois fatores. Clique no link acima para saber mais sobre fatoração de polinômios.

Exemplos de diferença de cubo

Para finalizar a compreensão do conceito de diferença de cubos perfeitos, veremos vários exemplos de fatoração da subtração de cubos utilizando sua fórmula:

Exemplo 1

Fatore a seguinte diferença de cubos usando a fórmula:

$x^3-8$

Na verdade, é uma diferença de cubos porque a raiz cúbica do monômio

$x^3$

é exato (não fornece número decimal) e o número 8 também:

$\sqrt[3]{x^3} = x$

$\sqrt[3]{8} = 2$

$x^3-8=x^3-2^3$

Podemos, portanto, usar a fórmula da diferença de cubos perfeitos para transformar a expressão cúbica em um produto de um binômio e um trinômio:

$a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$

$x^3 -2^3 = (x-2)(x^2+x \cdot 2 + 2^2)$

E agora só nos resta fazer a multiplicação e a potência:

$x^3-2^3 = (x-2)(x^2+2x + 4)$

A partir da expressão obtida, podemos facilmente determinar que

$x=2$

é uma raiz do polinômio. É importante entender completamente esse conceito, então se você não tiver total clareza sobre isso, recomendo ver como tirar a raiz de um polinômio .

Exemplo 2

Fatore o seguinte binômio negativo usando a fórmula de subtração de cubo perfeito.

$8x^3-1$

O binômio deste problema também é uma diferença de cubos, pois a raiz cúbica do monômio

$8x^3$

do termo independente 1 são exatos:

$\sqrt[3]{8x^3} = 2x$

$\sqrt[3]{1} = 1$

$8x^3-1 =(2x)^3-1^3$

Podemos, portanto, aplicar a fórmula de subtração de cubos perfeitos para simplificar a expressão polinomial:

$a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$

$(2x)^3-1^3 = (2x-1)\bigl((2x)^2+2x \cdot 1 + 1^2\bigr)$

E, por fim, só nos resta calcular as operações resultantes:

$(2x)^3-1^3 = (2x-1)(4x^2+2x + 1\bigr)$

Embora pareçam conceitos semelhantes, a diferença de cubos não deve ser confundida com um binômio cúbico, pois este último é uma identidade diferente (e mais importante). Deixamos este link para que você possa ver o que é a fórmula binomial ao cubo e quais são as diferenças entre essas duas identidades notáveis.

Problemas resolvidos de diferença de cubo

Para que você entenda perfeitamente como resolver uma diferença de cubos, preparamos diversos exercícios resolvidos passo a passo. Não se esqueça de que você pode nos fazer qualquer pergunta na seção de comentários (abaixo).⬇⬇

Exercício 1

Fatore a seguinte diferença de cubos usando sua fórmula:

$x^6-27x^3$

veja solução

A expressão corresponde a uma diferença de cubos porque as raízes cúbicas dos dois elementos do polinômio são exatas:

$\sqrt[3]{x^6} = x^2$

$\sqrt[3]{27x^3} = 3x$

$x^6-27x^3=\bigl(x^2\bigr)^3-(3x)^3$

Portanto, podemos usar a fórmula da diferença de cubos perfeitos para fatorar a expressão cúbica em uma multiplicação de um binômio por um trinômio:

$a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$

$\bigl(x^2\bigr)^3-(3x)^3 = \left(x^2-3x\right)\left( \left(x^2\right)^2+x^2 \cdot 3x + (3x)^2\right)$

Com o qual resolvemos todas as operações e assim encontramos o polinômio fatorado:

$\bigl(x^2\bigr)^3-(3x)^3 = \left(x^2-3x\right)\left( x^4+3x^3 + 9x^2\right)$

Exercício 2

Expresse cada produto como uma diferença de cubos:

$\text{A)} \ (x-5)(x^2+5x+25)$

$\text{B)} \ (2x-7)(4x^2+14x+49)$

$\text{C)} \ (8x-y^2)(64x^2+8xy^2+y^4)$

veja solução

As expressões dos 3 exercícios respeitam a fórmula da diferença (ou subtração) de cubos perfeitos, portanto é suficiente resolver as multiplicações de polinômios:

$\text{A)} \ \begin{array}{l}(x-5)(x^2+5x+25) = \\[2ex] = x^3+5x^2+25x-5x^2-25x-125 = \\[2ex] = x^3 -125\end{array}$

$\text{B)} \ \begin{array}{l}(2x-7)(4x^2+14x+49) = \\[2ex] = 8x^3+28x^2+98x-28x^2-98x-343 = \\[2ex] = 8x^3-343\end{array}$

$\text{C)} \ \begin{array}{l}(8x-y^2)(64x^2+8xy^2+y^4) = \\[2ex] =512x^3+64x^2y^2+8xy^4-64x^2y^2-8xy^4-y^6= \\[2ex] = 512x^3-y^6\end{array}$

👉👉👉 Por fim, você também pode estar interessado em saber como calcular uma subtração de quadrados . Esta é outra identidade notável semelhante à que acabamos de ver (mas é muito mais usada). Descubra quais são as diferenças entre essas duas identidades notáveis clicando no link.

Qual é a diferença entre cubos?

Diferença de fórmula de cubos

Exemplos de diferença de cubo

Exemplo 1

Exemplo 2

Problemas resolvidos de diferença de cubo

Exercício 1

Exercício 2

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