Nesta página explicamos o que é a matriz unitária e, além disso, ilustramos com diversos exercícios para que seja bem compreendida. Você também descobrirá quais são todas as propriedades desse tipo de matriz tão importantes para a álgebra linear.
O que é uma matriz unitária?
A definição de matriz unitária é a seguinte:
Uma matriz unitária é uma matriz complexa que multiplicada por sua matriz transposta conjugada é igual à matriz identidade. Ou seja, a seguinte condição é atendida:
Ouro
é uma matriz unitária e
sua transposta conjugada.
Portanto, esta condição implica que a inversa de uma matriz unitária é a sua transposta conjugada , pois, segundo a definição de uma matriz inversa, uma matriz é a inversa de outra se o seu produto for equivalente à matriz d’identificar .
Portanto, uma matriz unitária será sempre uma matriz regular ou não degenerada , pois sempre terá uma inversa.
Por outro lado, o análogo de uma matriz unitária num ambiente de números reais é a matriz ortogonal , e neste caso é verdade que a matriz unitária multiplicada pela sua transposta é igual à matriz identidade.
Portanto, neste caso a matriz inversa de U seria diretamente a sua matriz transposta (ou transposta).
Exemplos de matrizes unitárias
Exemplo de uma matriz unitária de dimensão 2×2
Depois de vermos o conceito de matriz unitária, veremos um exemplo de matriz unitária 2×2 para entendê-la bem:
Esta matriz é unitária porque a multiplicação dela mesma pela sua matriz conjugada dá a matriz Identidade (ou Unidade):
E, como vimos anteriormente, qualquer matriz unitária é comutável com sua transposta conjugada:
Exemplo de matriz diagonal unitária
A matriz diagonal composta apenas pelo número complexo i também é um exemplo de matriz unitária, independente da dimensão da matriz. Abaixo você tem um exercício resolvido que ilustra isso com uma matriz unitária de dimensão 3 × 3:
Observe que se resolvermos o produto da matriz por sua transposta conjugada, isso dá a matriz Identidade como solução:
E a mesma coisa acontece se multiplicarmos as matrizes ao contrário:
A característica desta matriz é que ela serve como exemplo de matriz unitária de qualquer dimensão, pois cada vez que a matriz é formada pelo número imaginário i na diagonal principal e os demais elementos são zero (0 ) será uma matriz unitária.
Propriedades de uma matriz unitária
As propriedades das matrizes unitárias são as seguintes:
- Obviamente, qualquer matriz unitária é uma matriz normal . Embora nem todas as matrizes normais sejam matrizes unitárias.
- Matrizes unitárias são sempre matrizes quadradas .
- Todas as matrizes unitárias são diagonalizáveis, ou seja, podem ser transformadas em matrizes diagonais.
- O valor absoluto do determinante de uma matriz unitária é sempre igual a 1.
- A matriz idêntica é uma matriz unitária.
- para todos
, o conjunto de todas as matrizes unitárias
com a operação de produto matricial, eles formam um grupo, denominado grupo de unidades.
- Portanto, a multiplicação de duas matrizes unitárias da mesma ordem dá outra matriz unitária.
- O módulo de todos os autovalores (ou autovalores) de uma matriz unitária é sempre igual a 1.
- Os autoespaços deste tipo de matriz são ortogonais.