▷ Derivada do cosseno (fórmula e exercícios resolvidos)

Aqui você descobrirá como derivar a função cosseno (fórmula). Você poderá ver exemplos de derivadas de funções cosseno e praticar exercícios passo a passo. Além disso, mostramos a prova da fórmula, qual é a segunda derivada do cosseno e até mesmo a derivada do cosseno inverso.

Qual é a derivada do cosseno?

A derivada da função cosseno é a função seno com sinal modificado. Em outras palavras, a derivada do cosseno de x é igual a menos o seno de x.

$f(x)=\text{cos}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\text{sen}(x)$

Se houver uma função no argumento do cosseno, a derivada do cosseno é o produto de menos o seno dessa função vezes a derivada da função.

$f(x)=\text{cos}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\text{sen}(u)\cdot u'$

A segunda fórmula é equivalente à primeira fórmula, mas aplicando a regra da cadeia. Então, em resumo, a fórmula da derivada do cosseno é a seguinte:

Exemplos de derivadas de cosseno

Agora que sabemos o que é a fórmula do cosseno, explicaremos vários exemplos desse tipo de derivadas trigonométricas para que você não tenha dúvidas sobre como derivar a função cosseno.

Exemplo 1: Derivada do cosseno de 2x

$f(x)=\text{cos}(2x)$

No argumento do cosseno não temos um único x, mas sim uma função mais complexa. Portanto, precisamos usar a seguinte fórmula para derivar o cosseno:

$f(x)=\text{cos}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\text{sen}(u)\cdot u'$

Como a derivada de 2x é 2, a derivada do cosseno de 2x será menos o seno de 2x multiplicado por 2.

$f(x)=\text{cos}(2x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\text{sen}(2x)\cdot 2=-2\text{sen}(2x)$

Exemplo 2: Derivada do cosseno de x ao quadrado

$f(x)=\text{cos}(x^2)$

Como no exemplo anterior, no argumento do cosseno temos uma função diferente de x, então usaremos a regra da cadeia para derivar o cosseno:

$f(x)=\text{cos}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\text{sen}(u)\cdot u'$

Então, a derivada de x ² é 2x, portanto, a derivada do cosseno de x elevado à potência de 2 é:

$f(x)=\text{cos}(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\text{sen}(x^2)\cdot 2x$

Exemplo 3: Derivada do cosseno ao cubo

$f(x)=\text{cos}^3(2x^6-5x^3)$

A função cosseno neste exemplo é composta por outra função, portanto precisamos aplicar a seguinte fórmula para resolver a derivada:

$f(x)=\text{cos}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\text{sen}(u)\cdot u'$

Assim, aplicando a fórmula, chegamos à derivada da função:

$\begin{aligned}f'(x)&=3\text{cos}^2(2x^6-5x^3)\cdot \bigl(-\text{sen}(2x^6-5x^3)\bigr)\cdot (12x^5-15x^2)\\[2ex]&=-3\text{cos}^2(2x^6-5x^3)\cdot \text{sen}(2x^6-5x^3)\cdot (12x^5-15x^2)\end{aligned}$

➤ Para derivar esta função, você também deve usar a fórmula da derivada de uma função potencial .

Segunda derivada do cosseno

A seguir veremos que a segunda derivada do seno pode ser facilmente calculada, graças às características das funções trigonométricas.

➤ Nota: Para entender o seguinte, você precisa saber qual é a derivada do seno .

A segunda derivada do cosseno de x é menos o cosseno de x. Isto pode parecer estranho, mas matematicamente é assim. Na verdade, a derivada do seno é o cosseno e, portanto, diferenciando duas vezes o cosseno de x, o cosseno é novamente obtido, mas com um sinal modificado.

$\begin{array}{c}f(x)=\text{cos}(x)\\[1.5ex] \quad\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex] f'(x)=-\text{sen}(x)\\[2ex] \quad\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex] f''(x)=-\text{cos}(x)\end{array}$

Esta propriedade muda se o argumento do cosseno não for x, pois neste caso arrastamos o termo da regra da cadeia:

$\begin{array}{c}f(x)=\text{cos}(u)\\[1.5ex] \quad\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex] f'(x)=-\text{sen}(u)\cdot u' \\[1.5ex] \quad\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex] f''(x)=-\text{cos}(u)\cdot u'^2 -\text{sen}(u)\cdot u'' \end{array}$

Derivada do cosseno inverso

Todas as funções trigonométricas têm uma função inversa e, como tal, a função cosseno também pode ser invertida. Da mesma forma, o cosseno inverso é diferenciável.

A derivada do cosseno inverso de uma função é menos a derivada da função dividida pela raiz quadrada de um menos o quadrado da referida função.

$f(x)=\text{cos}^{-1}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$

Lembre-se de que o cosseno inverso também é chamado de arco cosseno.

Por exemplo, a derivada do cosseno inverso de 3x é:

$f(x)=\text{cos}^{-1}(3x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{3}{\sqrt{1-(3x)^2}}=-\cfrac{3}{\sqrt{1-9x^2}}$

Exercícios resolvidos sobre a derivada do cosseno

Calcule a derivada das seguintes funções cosseno:

$\text{A) } f(x)=\text{cos}(4x)$

$\text{B) } f(x)=\text{cos}(2x^3-5x+1)$

$\text{C) } \displaystyle f(x)=9\text{cos}\left(\frac{x}{3}\right)$

$\text{D) } f(x)=\text{cos}^5(x^2+3x)$

$\text{E) } f(x)=\text{cos}\left(e^{5x}\right)$

$\text{F) } \displaystyle f(x)=9\text{cos}\left(\frac{e^x}{5x}\right)$

Veja a solução

$\text{A) } f'(x)=-\text{sen}(4x)\cdot 4 =-4\text{sen}(4x)$

$\text{B) } f'(x)=-\text{sen}(2x^3-5x+1)\cdot (6x^2-5)$

$\text{C) } \displaystyle f'(x)=-9\text{sen}\left(\frac{x}{3}\right)\cdot \frac{1}{3} =-3\text{sen}\left(\frac{x}{3}\right)$

$\text{D) } f'(x)=-5\text{cos}^4(x^2+3x)\cdot \text{sen}(x^2+3x)\cdot (2x+3)$

$\text{E) } f'(x)=-\text{sen}\left(e^{5x}\right)\cdot e^{5x}\cdot 5=-5\text{sen}\left(e^{5x}\right)\cdot e^{5x}$

$\begin{aligned}\text{F) }\displaystyle f'(x)&=-9\text{sen}\left(\frac{e^x}{5x}\right)\cdot \frac{e^x\cdot 5x-e^x\cdot 5}{(5x)^2}\\[2ex]&=-9\text{sen}\left(\frac{e^x}{5x}\right)\cdot \frac{5e^x(x-1)}{25x^2}\\[2ex]&=-9\text{sen}\left(\frac{e^x}{5x}\right)\cdot \frac{e^x(x-1)}{5x^2}\end{aligned}$

Prova da derivada do cosseno

Por fim, demonstraremos matematicamente a fórmula da derivada do cosseno de x. Para isso, utilizaremos a definição da derivada, que corresponde ao seguinte limite:

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Vamos provar o cosseno, então a função é cos(x):

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{\text{cos}(x+h)-\text{cos}(x)}{h}$

Não podemos resolver este limite por substituição, porque terminaríamos na indeterminação. No entanto, podemos expressar o cosseno de uma soma de outra forma, aplicando a seguinte identidade trigonométrica:

$\text{cos}(a+b)=\text{cos}(a)\text{cos}(b)-\text{sen}(a)\text{sen}(b)$

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{\text{cos}(x)\text{cos}(h)-\text{sen}(x)\text{sen}(h)-\text{cos}(x)}{h}$

O próximo passo é separar a fração em duas frações e pegar o fator comum do cosseno:

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\left[\frac{\text{cos}(x)\bigl(\text{cos}(h)-1\bigr)}{h}-\frac{\text{sen}(x)\text{sen}(h)}{h}\right]$

O limite de uma subtração é igual à subtração dos limites, portanto:

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{\text{cos}(x)\bigl(\text{cos}(h)-1\bigr)}{h}-\lim_{h \to 0}\frac{\text{sen}(x)\text{sen}(h)}{h}$

O cosseno de x e o seno de x não dependem de h, então podemos extraí-los fora dos limites:

$\displaystyle f'(x)=\text{cos}(x)\lim_{h \to 0}\frac{\text{cos}(h)-1}{h}-\text{sen}(x)\lim_{h \to 0}\frac{\text{sen}(h)}{h}$

Utilizando o cálculo dos limites por equivalentes infinitesimais, concluímos que o primeiro limite é 0 e o segundo limite é 1. Portanto:

$\displaystyle f'(x)=\text{cos}(x)\cdot 0-\text{sen}(x)\cdot 1$

$\displaystyle f'(x)=-\text{sen}(x)$

E já chegamos à fórmula da derivada da função cosseno, então a igualdade está provada.

Derivada de cosseno

Qual é a derivada do cosseno?

Exemplos de derivadas de cosseno

Exemplo 1: Derivada do cosseno de 2x

Exemplo 2: Derivada do cosseno de x ao quadrado

Exemplo 3: Derivada do cosseno ao cubo

Segunda derivada do cosseno

Derivada do cosseno inverso

Exercícios resolvidos sobre a derivada do cosseno

Prova da derivada do cosseno

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