Equações matriciais

Nesta página você aprenderá o que são equações matriciais e como resolvê-las. Além disso, você encontrará exemplos e exercícios resolvidos de equações com matrizes.

O que são equações matriciais?

As equações matriciais são como as equações normais, mas em vez de serem compostas de números, são compostas de matrizes. Por exemplo:

$\displaystyle AX=B$

Portanto, a solução X também será uma matriz.

Como você já sabe, as matrizes não podem ser divididas. Portanto, a matriz X não pode ser apagada dividindo a matriz que a multiplicou no outro lado da equação:

$\renewcommand{\CancelColor}{\color{red}} \xcancel{X =\cfrac{B}{A}}$

Pelo contrário, para limpar a matriz X, todo um procedimento deve ser seguido. Então vamos ver como resolver equações matriciais com um exercício resolvido:

Como resolver equações matriciais. Exemplo:

Resolva a seguinte equação matricial:

$\displaystyle AX+B = C$

$\displaystyle A =\begin{pmatrix}2 & 1 \\[1.1ex] 4 & 3 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\[1.1ex] 0 & 5 \end{pmatrix} \qquad C =\begin{pmatrix} 2 & 1 \\[1.1ex] 6 & -3\end{pmatrix}$

A primeira coisa que precisamos fazer é resolver a matriz X. Portanto, subtraímos a matriz B do outro lado da equação:

$\displaystyle AX+B = C$

$\displaystyle AX = C-B$

Para terminar a limpeza, a matriz não pode ser dividida. Mas devemos fazer o seguinte:

Devemos multiplicar ambos os lados da equação pelo inverso da matriz que multiplica a matriz X e, além disso, multiplicar ambos os lados pelo lado onde se encontra a referida matriz.

Nesse caso, a matriz que multiplica X é A e está à esquerda dela. Portanto, multiplicamos pela esquerda ambos os lados da equação pelo inverso de A (A ^-1 ):

$\displaystyle AX = C-B$

$\displaystyle \definecolor{vermell}{HTML}{F44336} \color{vermell}\bm{A^{-1}} \color{black} \cdot AX = \color{vermell}\bm{A^{-1}} \color{black} \cdot (C-B)$

Uma matriz multiplicada por sua inversa é igual à matriz identidade. Ainda

$\bm{A^{-1} \cdot A = I }:$

$\displaystyle IX = A^{-1} \cdot (C-B)$

Qualquer matriz multiplicada pela matriz identidade dá a mesma matriz. Ainda:

$\displaystyle X = A^{-1} \cdot (C-B)$

E desta forma já apagamos X. Agora é só fazer as operações com matrizes. Então, primeiro calculamos a matriz inversa 2 × 2 de A:

$\displaystyle A =\begin{pmatrix}2 & 1 \\[1.1ex] 4 & 3 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

Calculamos o adjunto da matriz A:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix}3 & -4 \\[1.1ex] -1 & 2 \end{pmatrix}^{\bm{t}}$

E uma vez encontrada a matriz adjunta, procedemos ao cálculo da matriz transposta para determinar a matriz inversa:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix}3 & -1 \\[1.1ex] -4 & 2 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \\[1.3ex] -2 & 1 \end{pmatrix}$

Agora substituímos todas as matrizes na expressão para calcular X:

$\displaystyle X = A^{-1} \cdot (C-B)$

$\displaystyle X = \begin{pmatrix} \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \\[1.3ex] -2 & 1\end{pmatrix} \cdot \left(\begin{pmatrix} \vphantom{\frac{3}{2}} 2 & 1 \\[1.3ex] 6 & -3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \vphantom{\frac{3}{2}}3 & -1 \\[1.3ex] 0 & 5 \end{pmatrix}\right)$

E procedemos à resolução das operações com matrizes. Primeiro calculamos os parênteses subtraindo as matrizes:

$\displaystyle X = \begin{pmatrix} \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \\[1.3ex] -2 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 2 \\[1.1ex] 6 & -8 \end{pmatrix}$

E, finalmente, multiplicamos as matrizes:

$\displaystyle X = \begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot (-1) + \left(-\frac{1}{2} \right) \cdot 6 & \frac{3}{2}\cdot 2 + \left(-\frac{1}{2} \right)\cdot (-8) \\[1.3ex] -2\cdot (-1)+1\cdot 6 & -2\cdot 2 +1\cdot (-8) \end{pmatrix}$

$\displaystyle X = \begin{pmatrix} -\frac{3}{2} -\frac{6}{2} & 3 + 4 \\[1.3ex] 2+6 & -4-8 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \bm{X =} \begin{pmatrix} \bm{-} \frac{\bm{9}}{\bm{2}} & \bm{7} \\[1.3ex] \bm{8} & \bm{-12} \end{pmatrix}$

Problemas resolvidos de equações matriciais

Para que você possa praticar e assim entender bem o conceito, deixamos abaixo várias equações matriciais resolvidas. Você pode tentar fazer os exercícios e ver se conseguiu as soluções. Não se esqueça que você também pode nos tirar qualquer dúvida que surgir nos comentários.

Exercício 1

Ser

$\displaystyle A$

$\displaystyle B$

as seguintes matrizes quadradas de dimensão 2×2:

$\displaystyle A =\begin{pmatrix} 3 & -1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\[1.1ex] -1 & 3 \end{pmatrix}$

Calcule a matriz

$X$

que satisfaz a seguinte equação matricial:

$\displaystyle AX=B$

veja solução

Você deve primeiro esvaziar a matriz

$X$

da equação matricial:

$\displaystyle AX=B$

$\displaystyle A^{-1} \cdot AX=A^{-1} \cdot B$

$\displaystyle IX=A^{-1} \cdot B$

$\displaystyle X=A^{-1} \cdot B$

Assim que tivermos a matriz

$X$

claro, basta operar com as matrizes. Portanto, primeiro calculamos a matriz inversa de A:

$\displaystyle A =\begin{pmatrix} 3 & -1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{1} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] 1 & 3 \end{pmatrix}^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{1} \cdot \begin{pmatrix}0 & 1 \\[1.1ex] -1 & 3 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[1.1ex] -1 & 3\end{pmatrix}$

Agora substituímos todas as matrizes na equação para calcular a matriz

$X :$

$\displaystyle X=A^{-1} \cdot B$

$\displaystyle X= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[1.1ex] -1 & 3\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 4 & 2 \\[1.1ex] -1 & 3 \end{pmatrix}$

E, por fim, fazemos a multiplicação das matrizes:

$\displaystyle \bm{X=} \begin{pmatrix}\bm{ -1} & \bm{3} \\[1.1ex] \bm{-7} & \bm{7}\end{pmatrix}$

Exercício 2

Ser

$\displaystyle A$

$\displaystyle B$

$\displaystyle C$

as seguintes matrizes de ordem 2:

$\displaystyle A =\begin{pmatrix} 3 & 6 \\[1.1ex] 2 & -1 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\[1.1ex] 3 & -3 \end{pmatrix}\qquad C = \begin{pmatrix} 6 & 4 \\[1.1ex] 3 & -2 \end{pmatrix}$

Calcule a matriz

$X$

que satisfaz a seguinte equação matricial:

$\displaystyle A+ XB=C$

veja solução

A primeira coisa que precisamos fazer é esvaziar a matriz.

$X$

da equação matricial:

$\displaystyle A+ XB=C$

$\displaystyle XB=C-A$

$\displaystyle XB \cdot B^{-1}=\left(C-A\right)\cdot B^{-1}$

$\displaystyle XI=\left(C-A\right)\cdot B^{-1}$

$\displaystyle X = \left(C-A\right)\cdot B^{-1}$

Depois de isolarmos a matriz

$X$

, é necessário operar com matrizes. Portanto, primeiro calculamos a matriz inversa de B:

$\displaystyle B =\begin{pmatrix} -2 & 1 \\[1.1ex] 3 & -3 \end{pmatrix}$

$\displaystyle B^{-1} = \cfrac{1}{\vert B \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(B)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle B^{-1} = \cfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} -3 & -3 \\[1.1ex] -1 & -2 \end{pmatrix}^{\bm{t}}$

$\displaystyle B^{-1} = \cfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} -3 & -1 \\[1.1ex] -3 & -2 \end{pmatrix}$

$\displaystyle B^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & -\frac{1}{3} \\[1.3ex] -1 & -\frac{2}{3} \end{pmatrix}$

Agora substituímos todas as matrizes na equação para calcular a matriz

$X :$

$\displaystyle X=\left(C-A\right)\cdot B^{-1}$

$\displaystyle X=\left(\begin{pmatrix} 6 & 4 \\[1.3ex] 3 & -2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3 & 6 \\[1.3ex] 2 & -1 \end{pmatrix}\right)\cdot \begin{pmatrix} -1 & -\frac{1}{3} \\[1.3ex] -1 & -\frac{2}{3} \end{pmatrix}$

Resolvemos os parênteses subtraindo as matrizes:

$\displaystyle X=\begin{pmatrix} 3 & -2 \\[1.3ex] 1 & -1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -1 & -\frac{1}{3} \\[1.3ex] -1 & -\frac{2}{3} \end{pmatrix}$

E, finalmente, multiplicamos as matrizes:

$\displaystyle X=\begin{pmatrix} -3+2 & -1+\frac{4}{3} \\[1.3ex] -1+1 & -\frac{1}{3}+\frac{2}{3} \end{pmatrix}$

$\displaystyle \bm{X=} \begin{pmatrix}\bm{ -1} & \frac{\bm{1}}{\bm{3}} \\[1.3ex] \bm{0} & \frac{\bm{1}}{\bm{3}} \end{pmatrix}$

Exercício 3

Ser

$\displaystyle A$

$\displaystyle B$

$\displaystyle C$

as seguintes matrizes de segunda ordem:

$\displaystyle A =\begin{pmatrix} -1 & 1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix}\qquad C = \begin{pmatrix} 6 & 4 \\[1.1ex] 22 & 14 \end{pmatrix}$

encontre a matriz

$X$

que satisfaz a seguinte equação matricial:

$\displaystyle AXB=C$

veja solução

Primeiro precisamos limpar a matriz

$X$

da equação matricial:

$\displaystyle AXB=C$

$\displaystyle A^{-1}\cdot AXB\cdot B^{-1}=A^{-1}\cdot C\cdot B^{-1}$

$\displastyle IXI=A^{-1}\cdot C\cdot B^{-1}$

$\displastyle X=A^{-1}\cdot C\cdot B^{-1}$

Depois de esvaziarmos a matriz

$X$

, é necessário operar com matrizes. Portanto, primeiro calculamos a matriz inversa de A:

$\displaystyle A =\begin{pmatrix} -1 & 1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{-1} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] -1 & -1 \end{pmatrix}^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{-1} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] -1 & -1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 \end{pmatrix}$

E também invertemos a matriz B:

$\displaystyle B =\begin{pmatrix} 4 & -2 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle B^{-1} = \cfrac{1}{\vert B \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(B)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle B^{-1} = \cfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] 2 & 4 \end{pmatrix}^{\bm{t}}$

$\displaystyle B^{-1} = \cfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 2 \\[1.1ex] -1 & 4 \end{pmatrix}$

$\displaystyle B^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[1.3ex] -\frac{1}{2} & 2 \end{pmatrix}$

Agora substituímos todas as matrizes na expressão para calcular a matriz

$X :$

$\displaystyle X=A^{-1}\cdot C\cdot B^{-1}$

$\displaystyle X=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\[1.3ex] 1 & 1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 6 & 4 \\[1.3ex] 22 & 14 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[1.3ex] -\frac{1}{2} & 2 \end{pmatrix}$

Primeiro resolvemos a multiplicação à esquerda

$\displaystyle X=\begin{pmatrix} 0+22 & 0+14 \\[1.3ex] 6+22 & 4+14 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[1.3ex] -\frac{1}{2} & 2 \end{pmatrix}$

$\displaystyle X=\begin{pmatrix} 22 & 14 \\[1.3ex] 28 & 18 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[1.3ex] -\frac{1}{2} & 2 \end{pmatrix}$

E, por fim, fazemos a multiplicação restante:

$\displaystyle X=\begin{pmatrix} 0-7 & 22+28 \\[1.3ex] 0-9 & 28+36 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \bm{X=} \begin{pmatrix}\bm{-7} & \bm{50} \\[1.3ex] \bm{-9} & \bm{64} \end{pmatrix}$

Exercício 4

Ser

$\displaystyle A$

$\displaystyle B$

as seguintes matrizes de dimensão 3×3:

$\displaystyle A =\begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\[1.1ex] 0 & -1 & 0 \\[1.1ex] 1 & 2 & 2 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\[1.1ex] 2 & 3 & -2 \\[1.1ex] -3 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

Calcule a matriz

$X$

que satisfaz a seguinte equação matricial:

$\displaystyle B^{t}- AX=B$

veja solução

Primeiro limpamos a matriz

$X$

da equação matricial:

$\displaystyle B^t- AX=B$

$\displaystyle B^t- B=AX$

$\displaystyle A^{-1}\cdot \left(B^t- B \right)=A^{-1}\cdot AX$

$\displaystyle A^{-1}\cdot \left(B^t- B \right)=IX$

$\displaystyle A^{-1}\cdot \left(B^t- B \right)=X$

$\displaystyle X=A^{-1}\cdot \left(B^t- B \right)$

Depois de isolarmos a matriz

$X$

, é necessário operar com matrizes. Portanto, primeiro calculamos a matriz inversa de A:

$\displaystyle A =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\[1.1ex] 0 & -1 & 0 \\[1.1ex] 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{-1} \cdot \begin{pmatrix} \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}\\[4ex] -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1 & 1\\ 1 & 2 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} \\[4ex] \begin{vmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 1 & 1\\ 0 & 0 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} \end{pmatrix}^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{-1} \cdot \begin{pmatrix} -2 & 0 & 1 \\[1.1ex] 2 & 1 & -2 \\[1.1ex] 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = -1 \cdot \begin{pmatrix} -2 & 2 & 1 \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 1 & -2 & -1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -2 & -1 \\[1.1ex] 0 & -1 & 0 \\[1.1ex] -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

Agora substituímos todas as matrizes na expressão para calcular X:

$\displaystyle X=A^{-1}\cdot \left(B^t- B \right)$

$\displaystyle X=\begin{pmatrix} 2 & -2 & -1 \\[1.1ex] 0 & -1 & 0 \\[1.1ex] -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}\cdot \left(\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\[1.1ex] 2 & 3 & -2 \\[1.1ex] -3 & 1 & -1 \end{pmatrix}^t- \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\[1.1ex] 2 & 3 & -2 \\[1.1ex] -3 & 1 & -1 \end{pmatrix} \right)$

Transpomos a matriz B:

$\displaystyle X=\begin{pmatrix} 2 & -2 & -1 \\[1.1ex] 0 & -1 & 0 \\[1.1ex] -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}\cdot \left(\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\[1.1ex] -1 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & -2 & -1 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\[1.1ex] 2 & 3 & -2 \\[1.1ex] -3 & 1 & -1 \end{pmatrix} \right)$

Resolvemos os parênteses subtraindo matrizes:

$\displaystyle X=\begin{pmatrix} 2 & -2 & -1 \\[1.1ex] 0 & -1 & 0 \\[1.1ex] -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 0 & 3 & -3 \\[1.1ex] -3 & 0 & 3 \\[1.1ex] 3 & -3 & 0 \end{pmatrix}$

E por fim, fazemos a multiplicação de matrizes:

$\displaystyle \bm{X=}\begin{pmatrix} \bm{3} & \bm{9} & \bm{-12} \\[1.1ex] \bm{3} & \bm{0} & \bm{-3} \\[1.1ex] \bm{-3} & \bm{-6} & \bm{9} \end{pmatrix}$

O que são equações matriciais?

Como resolver equações matriciais. Exemplo:

Problemas resolvidos de equações matriciais

Exercício 1

Exercício 2

Exercício 3

Exercício 4

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